【数学】2020届一轮复习人教A版复数学案

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【数学】2020届一轮复习人教A版复数学案

高考总复习:复数 ‎ ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件;‎ ‎2.了解复数的代数表示形式及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。‎ ‎3.会进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体相加、相减的几何意义.‎ ‎【知识网络】‎ ‎ 【考点梳理】‎ 考点一、复数的有关概念 ‎1.虚数单位:‎ ‎(1)它的平方等于,即;‎ ‎(2)与-1的关系: 就是-1的一个平方根,即方程的一个根,方程的另一个根是;‎ ‎(3)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立;‎ ‎(4)的周期性:,,,().‎ ‎2. 概念 形如()的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部。‎ 说明:这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。‎ ‎3.复数集 全体复数所成的集合叫做复数集,用字母表示;复数集与其它数集之间的关系:‎ ‎4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系:‎ 对于复数(),‎ 当且仅当时,复数是实数;‎ 当且仅当时,复数叫做虚数;‎ 当且仅当且时,复数叫做纯虚数;‎ 当且仅当时,复数就是实数0.‎ 所以复数的分类如下:‎ ‎  ()‎ ‎5.复数相等的充要条件 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等。即:‎ 如果,那么.‎ 特别地: .‎ 应当理解:‎ ‎(1)一个复数一旦实部、虚部确定,那么这个复数就唯一确定;反之一样.‎ ‎(2)复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.‎ 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小;也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 ‎ ‎6.共轭复数:‎ 两个复数的实部相等,而且虚部相反,那么这两个复数叫做共轭复数。即:‎ 复数和()互为共轭复数。‎ 考点二:复数的代数表示法及其四则运算 ‎1.复数的代数形式: ‎ 复数通常用字母表示,即(),把复数表示成的形式,叫做复数的代数形式。‎ ‎2.四则运算 ‎;‎ ‎;‎ 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数:。‎ 考点三:复数的几何意义 ‎1. 复平面、实轴、虚轴:‎ 点的横坐标是,纵坐标是,复数()可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴。‎ 实轴上的点都表示实数。 ‎ 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为,它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。‎ 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 复数复平面内的点 这是因为,每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。‎ ‎2.复数的几何表示 ‎(1)坐标表示:在复平面内以点表示复数();‎ ‎(2)向量表示:以原点为起点,点为终点的向量表示复数.‎ 向量的长度叫做复数的模,记作.即.‎ 要点诠释:‎ ‎(1)向量与点以及复数有一一对应;‎ ‎(2)两个复数不全是实数时不能比较大小,但它们的模可以比较大小。‎ ‎3.复数加法的几何意义: ‎ 如果复数、分别对应于向量、,那么以、为两边作平行四边形,对角线表示的向量就是的和所对应的向量。‎ ‎4.复数减法的几何意义:‎ 两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。‎ 要点诠释:‎ ‎1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行;‎ ‎2.求解计算时,要充分利用i的性质计算问题;‎ ‎3.在复数的求解过程中,要注意复数整体思想的把握和应用;‎ ‎4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一:复数的有关概念 ‎【例1】设复数,试求实数取何值时,复数分别满足:‎ ‎(1)是纯虚数; (2)对应的点位于复平面的第二象限。‎ ‎【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。‎ ‎【答案】 ‎ ‎(1)当即时,复数是纯虚数;‎ ‎(2)当即或时,复数对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】‎ 复习中,概念一定要结合意义落实到位,对复数的分类条件要注意其充要性,对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样;对一些概念的等价表达式要熟知。比如:‎ ‎();是纯虚数(); ‎ 举一反三:‎ ‎【变式1高清视频例题1】复数为纯虚数,则实数a为(  ).‎ A.2 B.-2 C.- D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ 由纯虚数的概念知:=0,∴a=2.‎ ‎【变式2】求当实数取何值时,复数分别是:‎ ‎(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数。‎ ‎【解析】 ‎ ‎(1)当即或时,复数为实数;‎ ‎(2)当即且时,复数为虚数;‎ ‎(3)当即时,复数为纯虚数.‎ ‎【变式2】已知复数满足且,则复数( )‎ A.必为纯虚数    B.是虚数但不一定是纯虚数 C.必为实数      D.可能是实数也可能是虚数 ‎【答案】‎ ‎[法1] 设(),有,.‎ 则,故应选C。‎ ‎[法2] ∵,∴.‎ ‎[法3] ∵,∴ .‎ 类型二:复数相等 ‎【例2】已知集合M={(a+3)+(b2-1)i, 8},集合N={3,(a2-1)+(b+2)}同时满足M∩NM,M∩N≠Φ,求整数a,b ‎【思路点拨】先判断两集合元素的关系,再列方程组,进而解方程组,最后检验结果是否符合条件。‎ ‎【解答】‎ ‎…………………………①‎ 或…………………………………………②‎ 或…………………………③‎ 由①得a=-3,b=±2,经检验,a=-3,b=-2不合题意,舍去。∴a=-3,b=2‎ 由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意,∴a=3,b=-2;‎ 由③得,此方程组无整数解。‎ 综合①②③得a=-3,b=2或a=3,b=-2。‎ ‎【总结升华】‎ ‎1、a+bi=c+di.‎ ‎2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。‎ 注:对于复数z,如果没有给出代数形式,可设z= a+bi(a,b∈R)。‎ 举一反三:‎ ‎【变式】已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.‎ ‎【解析】设z2=a+2i(a∈R),由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i,又已知z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数,则虚部4-a=0,即a=4,则复数z2=4+2i.‎ 类型三:复数的代数形式的四则运算 ‎【例3】计算:‎ ‎【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。‎ ‎【解析】 ‎ ‎【总结升华】复数除法关键是把分母实数化,通常上下同乘分母的共轭复数,利用进行运算。‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】‎ ‎【答案】:原式=‎ ‎     ‎ ‎【变式2】复数( )‎ ‎. B. C. D.‎ ‎【解析】选C 解法一: ‎ 解法二:验证法 验证每个选项与1-2i的积,正好等于5i的便是答案.‎ ‎【例4】已知z1,z2为复数,(3+i)z1为实数,且|z2|=求z2.‎ ‎【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.‎ z1=z2(2+i),(3+i)z1=z2(2+i)(3+i)=z2(5+5i)∈R,‎ ‎∵|z2|=‎ ‎∴|z2(5+5i)|=50,‎ ‎∴z2(5+5i)=±50,‎ ‎【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.‎ ‎(2)记住以下结论,可提高运算速度:‎ ‎①(1±i)2=±2i;‎ ‎⑤i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).‎ ‎2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简单的形式,在运算过程中,要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】设,(为虚数单位),则的值为 ‎ ‎【解析】因为,‎ 所以 ‎【答案】8‎ ‎【变式2】设i为虚数单位,则复数 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】选D. .‎ 类型三:复数的几何意义 例5.(2015春 江苏校级其中)已知复数,,在复平面内对应的点分别为.‎ (1) 若是纯虚数,求m值;‎ (2) 若在复平面内对应的点位于第四象限,求m的取值范围.‎ ‎【思路点拨】在复平面内以点表示复数(),所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。‎ ‎【解析】(1)复数是纯虚数,‎ ‎ 解得m=0.‎ ‎(2)复数在复平面内对应的点位于第四象限 解之得 ‎【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应。‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】(2015春 徐州期末)已知是虚数单位,复数满足 ‎ ‎(1)求;(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限,求实数x的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由得 ‎ ‎(2) ‎ 对应的点在第一象限 ‎ 解得 实数的取值范围是.‎ ‎【变式2高清视频复数例题2】在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(  ).‎ A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i ‎【答案】C ‎【解析】复数6+5i对应的点为A(6,5),复数-2+3i对应的点为 B(-2,3).利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4),故点C 对应的复数为2+4i.‎ 类型四:化复数问题为实数问题 ‎【例6】已知互为共轭复数,且,求.‎ ‎【思路点拨】设()代入条件,把复数问题转化为实数问题,易得、的两个方程。‎ ‎【解析】设(),则, 代入原等式得:‎ ‎∴,解得:或或或,‎ ‎∴ 或 或 或。‎ ‎【总结升华】‎ 复数定义:“形如()的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样,求一个复数,使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实;设出复数的代数形式,把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】已知复数,求实数使 ‎【答案】:∵, ∴‎ ‎ ‎ ‎ ∵, ∴,解得或 ‎【变式2】令,求使方程成立的复数.‎ ‎【答案】:令(),则原方程化为:‎ 即,‎ ‎∴ ,解之有或(舍去)‎ ‎∴当时,复数.‎ ‎【例8】求使关于的方程至少有一个实根的实数.‎ ‎【思路点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程,虚系数有实根用两复数相等,化虚为实。‎ ‎【解析】设为方程的一个实根,则有 即 ‎∴,解得.‎ ‎【总结升华】设出实根,化虚为实,再利用两复数相等。 ‎ 举一反三:‎ ‎【变式】已知方程有实根,求实数.‎ ‎【答案】:设实根为, 则 ‎,即 ‎∴ ,解得 ‎∴ 为所求.‎ ‎【变式2】已知,方程的两根为、,求.‎ ‎【答案】:∵,∴ 方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。‎ ‎ (1)当,即时,方程的根、为实数根,‎ ‎ 由韦达定理 ‎ 又∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当时,,‎ ‎ ②当时,.‎ ‎ (2)当,即时,方程的根、为虚根。‎ ‎ ‎
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