高中数学选修2-2教学课件第二章 3

高中数学选修2-2教学课件第二章 3

§3 　 计算导数 第二章　变化率与导数 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 会求函数在一点处的导数 . 2. 理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 导函数的概念 一般地，如果一个函数 f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f ′ ( x ) ： f ′ ( x ) ＝ ， 则 f ′ ( x ) 是 ， 称 f ′ ( x ) 为 f ( x ) 的导函数，通常也简称为导数 . 关于 x 的函数 函数 导函数 y ＝ c ( c 是常数 ) y ′ ＝ __ y ＝ x α ( α 为实数 ) y ′ ＝ y ＝ a x ( a >0 ， a ≠ 1) y ′ ＝ 特别 地 (e x ) ′ ＝ 2. 导数公式表 0 αx α － 1 a x ln a e x y ＝ log a x ( a >0 ， a ≠ 1) y ′ ＝ 特别地 (ln x ) ′ ＝ y ＝ sin x y ′ ＝ y ＝ cos x y ′ ＝ y ＝ tan x y ′ ＝ y ＝ cot x y ′ ＝ cos x － sin x 探要点 · 究 所然 情境导学 在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题 . 探究点一　函数在一点处的导数计算 思考 1 　函数 f ( x ) 在一点处的导数有什么实际意义？ 答　 函数 f ( x ) 在 x 0 处的导数就是在点 x 0 处的瞬时变化率，可以表示事物变化的快慢 . 思考 2 　物体自由落体的运动方程为 s ( t ) ＝ gt 2 ， g ＝ 9.8 m/s 2 ，若 s ′ (1) ＝ ＝ 9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是 ( 　　 ) A.9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速度 B.9.8 m/s 是物体从 1 s 到 (1 ＋ Δ t )s 这段时间内的速度 C.9.8 m/s 是物体在 t ＝ 1 s 这一时刻的速度 D.9.8 m/s 是物体从 1 s 到 (1 ＋ Δ t )s 这段时间内的 平均速度 C 例 1 　 已知 f ( x ) ＝ x 2 － 3. (1) 求 f ( x ) 在 x ＝ 2 处的导数 ； (2) 求 f ( x ) 在 x ＝ a 处的导数 . 反思与感悟　 计算函数 y ＝ f ( x ) 在一点 x 0 处的导数的步骤： (1) 确定函数值的增量： Δ y ＝ f ( x 0 ＋ Δ x ) － f ( x 0 ). (2) 确定平均变化 率 跟踪训练 1 　求函数 f ( x ) ＝ － x 在点 x ＝ 4 处的导数 . 探究点二　导函数 思考 1 　函数的导函数是怎样定义的 ？ 答　 如果一个函数 f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 上的每一点 x 处都有导数 f ′ ( x ) ： f ′ ( x ) ＝ ， 则 f ′ ( x ) 是 x 的函数，称为 f ( x ) 的导函数 . 思考 2 　函数的导函数和函数在一点处的导数有何区别和联系？ 答　 函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 f ′ ( x 0 ) 是一个确定的数；当 x 变化时， f ′ ( x ) 是 x 的一个函数，称为 f ( x ) 的导函数 ( 简称导数 ) ， f ′ ( x ) ＝ ， f ′ ( x 0 ) 是 f ′ ( x ) 当 x ＝ x 0 时的函数值 . 例 2 　 求函数 y ＝ f ( x ) ＝ ＋ 5 的导函数 f ′ ( x ) ，并利用 f ′ ( x ) 求 f ′ (2). 解　 ∵ Δ y ＝ f ( x ＋ Δ x ) － f ( x ) 反思与感悟　 f ′ ( x 0 ) 是 f ′ ( x ) 在 x ＝ x 0 处的函数值 . 计算 f ′ ( x 0 ) 可以直接使用定义，也可以先求 f ′ ( x ) ，然后求 f ′ ( x ) 在 x ＝ x 0 处的函数值 f ′ ( x 0 ). 跟踪训练 2 　 求函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 3 x 的导函数 f ′ ( x ) ，并利用 f ′ ( x ) 求 f ′ (3) ， f ′ ( － 1). 即 f ′ ( x ) ＝－ 2 x ＋ 3 ， ∴ f ′ (3) ＝－ 2 × 3 ＋ 3 ＝－ 3 ， f ′ ( － 1) ＝－ 2 × ( － 1) ＋ 3 ＝ 5. 探究点三　导数公式表的应用 思考 　利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？ 答　 可以使用给出的导数公式表进行求导，简化运算过程，降低运算难度 . 例 3 　 求下列函数的导数： 解　 y ′ ＝ 0 ； (2) y ＝ 5 x ； 解　 y ′ ＝ (5 x ) ′ ＝ 5 x ln 5 ； (5) y ＝ log 3 x . 反思与感悟　 对于教材中出现的几个导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解， 如 是 常数，而常数的导数一定为零，就不会 出现 这样 的错误结果 . 二是准确记忆，灵活变形 . 如根式、分式可转化为指数式，利用公式求导 . 跟踪训练 3 　求下列函数的导数： (1) y ＝ x 8 ； 解　 y ′ ＝ 8 x 7 ； 例 4 　 判断下面计算是否正确 . 求 f ( x ) ＝ cos x 在 x ＝ 处 的导数，过程如下： 解　 错误 . 应为 f ′ ( x ) ＝－ sin x ， 反思与感悟　 函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数等于 f ′ ( x ) 在点 x ＝ x 0 处的函数值 . 在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将 x 0 代入导函数求解，不能先代入后求导 . 跟踪训练 4 　求函数 f ( x ) ＝ 在 x ＝ 1 处的导数 . 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ④ 由 f ( x ) ＝ 3 x ，知 f ′ ( x ) ＝ 3 ， ∴ f ′ (1) ＝ 3 . ∴①③④ 正确 . 答案　 C 1 2 3 4 A 1 2 3 3. 设正弦曲线 y ＝ sin x 上一点 P ，以点 P 为切点的切线为直线 l ，则直线 l 的倾斜角的范围是 ( 　　 ) 4 1 2 3 解析　 ∵ (sin x ) ′ ＝ cos x ， k l ＝ cos x ， ∴ － 1 ≤ k l ≤ 1 ， 4 答案　 A 1 2 3 4 4. 曲线 y ＝ e x 在点 (2 ， e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 解析　 ∵ y ′ ＝ (e x ) ′ ＝ e x ， ∴ k ＝ e 2 ， ∴ 曲线在点 (2 ， e 2 ) 处的切线方程为 y － e 2 ＝ e 2 ( x － 2) ， 即 y ＝ e 2 x － e 2 . 1 2 3 4 当 x ＝ 0 时， y ＝－ e 2 ， 当 y ＝ 0 时， x ＝ 1. 呈 重点、现 规律 1. 利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式 . 解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归 . 2. 有些函数可先化简再应用公式求导 . 所以 y ′ ＝ (cos x ) ′ ＝－ sin x . 3. 对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看