2019届二轮复习第六章数列阶段自测卷四课件（37张）（全国通用）

2019届二轮复习第六章数列阶段自测卷四课件（37张）（全国通用）

阶段自测 卷 ( 四 ) 第六章 　 数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1.(2019· 衡水中学考试 ) 已知等差数列 { a n } 的公差为 2 ，前 n 项和为 S n ，且 S 10 ＝ 100 ，则 a 7 的值为 A.11 B.12 C.13 D.14 √ 所以 a 1 ＝ 1 . 所以 a n ＝ 2 n － 1 ， 故 a 7 ＝ 13 . 故 选 C. 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 解析　 设等差数列的首项为 a 1 ，公差为 d ， 则 a 3 ＝ a 1 ＋ 2 d ， a 7 ＝ a 1 ＋ 6 d . 因为 a 1 ， a 3 ， a 7 成等比数列， 所以 ( a 1 ＋ 2 d ) 2 ＝ a 1 ( a 1 ＋ 6 d ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 3.(2019· 四省联考 ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 6 ＝ 30 ， S 10 ＝ 10 ，则 S 16 等于 A. － 160 B . － 80 C.20 D.40 √ 解得 a 1 ＝ 10 ， d ＝－ 2 ， 故 S 16 ＝ 16 a 1 ＋ 120 d ＝ 16 × 10 ＋ 120 × ( － 2) ＝－ 80 ，故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 A. － 3 B.5 C . － 31 D.33 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5.(2019· 湖南五市十校联考 ) 已知数列 { a n } 满足 2 a n ＝ a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ( n ≥ 2) ， a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ＝ 12 ， a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 9 ，则 a 1 ＋ a 6 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 √ 解析　 由数列 { a n } 满足 2 a n ＝ a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ( n ≥ 2) 得数列 { a n } 为等差数列 ， 所以 a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ＝ 3 a 4 ＝ 12 ，即 a 4 ＝ 4 ， 同理 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 3 a 3 ＝ 9 ，即 a 3 ＝ 3 ， 所以 a 1 ＋ a 6 ＝ a 3 ＋ a 4 ＝ 7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析　 依题意可知，这个同学第 1 天，第 2 天， … 跑的路程依次成首项为 5 000 ，公差为 200 的等差数列 ， 6.(2019· 新乡模拟 ) 为了参加冬季运动会的 5 000 m 长跑比赛，某同学给自己制定了 7 天的训练计划：第 1 天跑 5 000 m ，以后每天比前 1 天多跑 200 m ，则这个同学 7 天一共将跑 A.39 200 m B.39 300 m C.39 400 m D.39 500 m √ A.38 B.20 C.10 D.9 解析　 因为 { a n } 是等差数列，所以 a m － 1 ＋ a m ＋ 1 ＝ 2 a m ， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由 S 2 m － 1 ＝ 38 知 a m ≠ 0 ，所以 a m ＝ 2 ， 即 (2 m － 1) × 2 ＝ 38 ，解得 m ＝ 10 ，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 解析　 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， ∵ 3 a 2 ， 2 a 3 ， a 4 成等差数列， ∴ 2 × 2 a 3 ＝ 3 a 2 ＋ a 4 ， ∴ 4 a 2 q ＝ 3 a 2 ＋ a 2 q 2 ，化为 q 2 － 4 q ＋ 3 ＝ 0 ， 解得 q ＝ 1 或 3. 又数列的各项均不相等， ∴ q ≠ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9.(2019· 广东六校联考 ) 将正奇数数列 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， … 依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： (1 ， 3) ， (5 ， 7 ， 9) ， (11 ， 13) ， (15 ， 17 ， 19) ， … ，称 (1 ， 3) 为第 1 组， (5 ， 7 ， 9) 为第 2 组，依此类推，则原数列中的 2 019 位于分组序列中的 A. 第 404 组 B . 第 405 组 C. 第 808 组 D . 第 809 组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析　 正奇数数列 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， … 的通项公式为 a n ＝ 2 n － 1 ， 则 2 019 为第 1 010 个奇数 ， 因为 按两项、三项分组 ， 故 按 5 个一组分组是有 202 组 ， 故 原数列中的 2 019 位于分组序列中的第 404 组，故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 A.1 290 B.1 280 C.1 281 D.1 821 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ ( n ＋ 1)2 n － 2 ＋ 1 ， 故 a 9 ＝ 10 × 128 ＋ 1 ＝ 1 281. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析　 由 S n ＝ n 2 ＋ 4 n ，可得 a n ＝ 2 n ＋ 3 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13. 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，其前 n 项和为 S n ，若 a 4 ＋ a 10 ＝ 0 ， 2 S 12 ＝ S 2 ＋ 10 ，则 d 的值为 _____. － 10 解析　 由 a 4 ＋ a 10 ＝ 0 ， 2 S 12 ＝ S 2 ＋ 10 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∴ a 1 ， a 2 ， … ， a n 分别为－ 1 ， 0 ， 5 ， 0 ，－ 9 ， 0 ， 13 ， 0 ，－ 17 ， 0 ， 21 ， 0 ， … ， 归纳可得，每相邻四项和为 4 ， ∴ S 2 019 ＝ 504 × 4 ＋ a 2 017 ＋ a 2 018 ＋ a 2 019 ＝ 2 016 ＋ [( 1 － 2 ×2 017 ) ＋ 0 ＋ ( 2 × 2 019 － 1 )] ＝ 2 016 ＋ 4 ＝ 2 020. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2 020 16.(2019· 长沙长郡中学调研 ) 已知点列 P 1 (1 ， y 1 ) ， P 2 (2 ， y 2 ) ， P 3 (3 ， y 3 ) ， … ， P n ＋ 1 ( n ＋ 1 ， y n ＋ 1 ) 在 x 轴上的投影为 Q 1 ， Q 2 ， … ， Q n ＋ 1 ，且点 P n ＋ 1 满足 y 1 ＝ 1 ，直线 P n P n ＋ 1 的 斜率 ＝ 2 n . 则多边形 P 1 Q 1 Q n ＋ 1 P n ＋ 1 的面积为 ____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 3 × 2 n － n － 3 解析　 根据题意可得 y n ＋ 1 － y n ＝ 2 n ，结合 y 1 ＝ 1 ，应用累加法，可以求得 y n ＋ 1 ＝ 2 n ＋ 1 － 1 ， 根据题意可以将该多边形分成 n 个直角梯形计算， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为 S ＝ 3(2 n － 1) － n ＝ 3 × 2 n － n － 3. 三、解答题 ( 本大题共 70 分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17.(10 分 ) 已知 { a n } 是以 a 为首项， q 为公比的等比数列， S n 为它的前 n 项和 . (1) 当 S 1 ， S 3 ， S 4 成等差数列时，求 q 的值； 解　 由已知，得 a n ＝ aq n － 1 ，因此 S 1 ＝ a ， S 3 ＝ a (1 ＋ q ＋ q 2 ) ， S 4 ＝ a (1 ＋ q ＋ q 2 ＋ q 3 ). 当 S 1 ， S 3 ， S 4 成等差数列时， S 4 － S 3 ＝ S 3 － S 1 ， 可得 aq 3 ＝ aq ＋ aq 2 ，化简得 q 2 － q － 1 ＝ 0. (2) 当 S m ， S n ， S l 成等差数列时，求证：对任意自然数 k ， a m ＋ k ， a n ＋ k ， a l ＋ k 也成等差数列 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 证明　 若 q ＝ 1 ，则 { a n } 的各项均为 a ， 此时 a m ＋ k ， a n ＋ k ， a l ＋ k 显然成等差数列 . 若 q ≠ 1 ，由 S m ， S n ， S l 成等差数列可得 S m ＋ S l ＝ 2 S n ， 整理得 q m ＋ q l ＝ 2 q n . 因此 a m ＋ k ＋ a l ＋ k ＝ aq k － 1 ( q m ＋ q l ) ＝ 2 aq n ＋ k － 1 ＝ 2 a n ＋ k ， 所以 a m ＋ k ， a n ＋ k ， a l ＋ k 成等差数列 . 解　 ∵ 4 S n ＝ 5 a n － 5 ， ∴ 4 a 1 ＝ 5 a 1 － 5 ， ∴ a 1 ＝ 5. 当 n ≥ 2 时， 4 S n － 1 ＝ 5 a n － 1 － 5 ， ∴ 4 a n ＝ 5 a n － 5 a n － 1 ， ∴ a n ＝ 5 a n － 1 ， ∴ { a n } 是以 5 为首项， 5 为公比的等比数列， ∴ a n ＝ 5·5 n － 1 ＝ 5 n . ∴ b n ＝ log 5 5 n ＝ n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18.(12 分 )(2019· 安徽皖南八校联考 ) 数列 { a n } 的前 n 项和记为 S n ，且 4 S n ＝ 5 a n － 5 ，数列 { b n } 满足 b n ＝ log 5 a n . (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19.(12 分 )(2019· 安徽皖中名校联考 ) 已知数列 { a n } 满足： a n ＋ 1 ＝ 2 a n － n ＋ 1 ， a 1 ＝ 3. (1) 设数列 { b n } 满足： b n ＝ a n － n ，求证：数列 { b n } 是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 又 b 1 ＝ a 1 － 1 ＝ 3 － 1 ＝ 2 ， ∴ { b n } 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 . (2) 求出数列 { a n } 的通项公式和前 n 项和 S n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解　 由 (1) 得 b n ＝ 2 n ， ∴ a n ＝ 2 n ＋ n ， ∴ S n ＝ (2 1 ＋ 1) ＋ (2 2 ＋ 2) ＋ … ＋ (2 n ＋ n ) ＝ (2 1 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n ) ＋ (1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n ) 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20.(12 分 )(2019· 湖南衡阳八中月考 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝ 2 a n － n ( n ∈ N * ). (1) 证明： { a n ＋ 1} 是等比数列； 证明　 当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ 2 a 1 － 1 ， ∴ a 1 ＝ 1. ∵ S n ＝ 2 a n － n ， ∴ S n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 － ( n ＋ 1) ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 2( a n ＋ 1) ， ∴ { a n ＋ 1} 是以 a 1 ＋ 1 ＝ 2 为首项， 2 为公比的等比数列 . 21 22 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 解　 由 (1) 得 a n ＋ 1 ＝ 2 n ， ∴ b n ＝ log 2 2 n ＝ n ， 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21.(12 分 )(2019· 青岛调研 ) 已知数列 { a n } 的各项均为正数，其前 n 项和为 S n . 21 22 (2) 若 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， b n ＝ a 2 n － 1 ＋ a 2 n ，且数列 { b n } 是公比为 3 的等比数列，求 S 2 n . 解　 S 2 n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 2 n ＝ ( a 1 ＋ a 2 ) ＋ ( a 3 ＋ a 4 ) ＋ … ＋ ( a 2 n － 1 ＋ a 2 n ) ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b n ， ∵ b 1 ＝ a 1 ＋ a 2 ＝ 3 ， { b n } 是公比为 3 的等比数列， 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22.(12 分 )(2019· 湖南岳阳一中质检 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S n ＝ 2 a n － 2. (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 21 22 解　 ∵ S n ＝ 2 a n － 2 ， ① ∴ S n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 － 2 ， ② ∴② － ① 得 a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 － 2 a n ( n ≥ 1) ， ∴ { a n } 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列 . ∴ a n ＝ 2 n . 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 当 n ＝ 1 时， b 1 ＝ 1 成立，