2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(三)作业(1)

2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(三)作业(1)

中难提分突破特训(三)‎ ‎1．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，∠B1BC＝60°，B1C1⊥AB1.‎ ‎(1)证明：AB＝AC；‎ ‎(2)若AB⊥AC，且AB1＝BB1，求二面角A1－CB1－C1的余弦值．‎ 解　(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO，OB1.‎ 因为BC＝BB1，∠B1BC＝60°，‎ 所以△BCB1是等边三角形，‎ 所以B1O⊥BC，‎ 又BC∥B1C1，B1C1⊥AB1，‎ 所以BC⊥AB1，‎ 所以BC⊥平面AOB1，‎ 所以BC⊥AO，由三线合一可知△ABC为等腰三角形，‎ 所以AB＝AC.‎ ‎(2)设AB1＝BB1＝2，则BC＝BB1＝2.‎ 因为AB⊥AC，所以AO＝1.‎ 又因为OB1＝，‎ 所以OB＋AO2＝AB，所以AO⊥OB1.‎ 以O为坐标原点，向量的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，C(－1,0,0)，A1(－1，，1)，B1(0，，0)，＝(0，，1)，＝(1，，0)，‎ 设平面A1B1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即可取n＝(，－1，)，‎ 由(1)可知，平面CB1C1的法向量可取＝(0,0,1)，‎ 所以cos〈，n〉＝＝，‎ 由图示可知，二面角A1－CB1－C1为锐二面角，‎ 所以二面角A1－CB1－C1的余弦值为.‎ ‎2．已知函数f(x)＝2sinxsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，角A的平分线交BC于D，直线x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，AD＝BD＝2，求边a.‎ 解　(1)∵f(x)＝2sinxsin，‎ ‎∴f(x)＝2sinxsinx·＋2sinxcosx· ‎＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋ ‎＝sin＋.‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得 ‎－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)∵x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，‎ ‎∴2A－＝＋kπ，k∈Z.∴A＝＋，k∈Z.‎ 又△ABC是锐角三角形，∴A＝.‎ 在△ABD中，∠BAD＝，BD＝，AD＝2，‎ 由正弦定理，得＝，‎ ‎∴sinB＝.∴B＝.‎ ‎∴C＝π－－＝.∠CDA＝＋＝.‎ ‎∴AC＝AD＝2.‎ 在△ABC中，由正弦定理，得＝，‎ ‎∴BC＝a＝.‎ ‎3．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；‎ ‎(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？‎ ‎(3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为 ‎，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．‎ 参考公式和数据：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.‎ 临界值表：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 解　(1)＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.‎ 估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．‎ ‎(2)列联表如下：‎ K2＝≈4.762>3.841，‎ 因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．‎ ‎(3)若选方案一：则需付款10×12－10＝110元；‎ 若选方案二：设付款X元，则X的可能取值为84,96,108,120.‎ P(X＝84)＝C3＝，‎ P(X＝96)＝C2×＝，‎ P(X＝108)＝C××2＝，‎ P(X＝120)＝C3＝，‎ 所以E(X)＝84×＋96×＋108×＋120×＝102.‎ 因为102<110，所以选择方案二更划算．‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．‎ 解　(1)由参数方程(θ为参数)，‎ 得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ 所以C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.‎ ‎(2)不妨设直线l1：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，M，则ρM＝|OM|＝4sin＝2，‎ 又直线l2：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，N，‎ 则ρN＝|ON|＝4sin＝2.‎ 又∠MON＝，‎ 所以S△OMN＝|OM|·|ON|＝×2×2＝2.‎ ‎5．已知函数f(x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式：f(x)<4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m>0，n>0，m＋n＝1，若对任意的x∈R，m>0，n>0，不等式|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求正数a的取值范围．‎ 解　(1)由题意得不等式为|3x＋2|＋|x－1|<4.‎ ‎①当x≥1时，原不等式化为4x＋1<4，解得x<，不符合题意；‎ ‎②当－－，∴－0，n>0，m＋n＝1，‎ ‎∴＋＝(m＋n)‎ ‎＝2＋＋≥2＋2＝4.‎ 当且仅当＝且m＋n＝1，m>0，n>0，‎ 即m＝n＝时等号成立，∴min＝4.‎ 由题意得|x－a|－|3x＋2|≤4(a>0)恒成立，‎ ‎①当x≥a时，可得x－a－3x－2≤4恒成立，即－a≤2x＋6恒成立，∴－a≤(2x＋6)min＝2a＋6，‎ 由a>0，可得上式显然成立；‎ ‎②当－，∴a≤；‎ ‎③当x≤－时，可得a－x＋3x＋2≤4恒成立，即a≤2－2x恒成立，∴a≤(2－2x)min＝.‎ 综上可得0

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