【数学】2019届一轮复习人教A版直接证明与间接证明教案
直接证明与间接证明
[必备知识]
考点1 直接证明
考点2 间接证明
1．反证法的定义
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
2．利用反证法证题的步骤
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；
(3)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．
[必会结论]
分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )
2．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )
3．用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．( )
4．证明不等式＋＜＋最适合的方法是分析法．( )
答案 1.× 2.× 3.× 4.√
二、小题快练
1．[课本改编]用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )
A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
答案 B
解析 注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”
，知需选B.
2．若实数a，b满足a＋b＜0，则( )
A．a，b都小于0
B．a，b都大于0
C．a，b中至少有一个大于0
D．a，b中至少有一个小于0
答案 D
解析 假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b＜0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.
3．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出<成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 <成立，即<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．
4．[2017·福建模拟]设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．
答案 m
0，n>0，则m2－n2＝a＋b－2－a＋b＝2b－2＝2－2<0，∴m28.
证明 因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，
所以－1＝＝>，①
－1＝＝>，②
－1＝＝>，③
又x，y，z为正数，由①×②×③，
得>8.
考向 分析法证明
例2 已知a>0，证明： －≥a＋－2.
[证明] 要证 －≥a＋－2，
只需证 ≥－(2－)．
因为a>0，所以－(2－)>0，
所以只需证2≥2，
即2(2－)≥8－4，
只需证a＋≥2.
因为a>0，a＋≥2显然成立＝1时等号成立，所以要证的不等式成立．
触类旁通
分析法证题的技巧
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．
【变式训练2】 △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A、
B、C的对边分别为a、b、c，求证：＋＝.
证明 要证＋＝，
即证＋＝3，也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
命题角度1 证明否定性命题
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
[解] (1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.
(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，
所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知g(1)＝1，g(b)＝b，即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有即解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．
命题角度3 证明唯一性命题
例5 已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，
∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.
(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.
∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.
∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，
∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．
故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.
触类旁通
1．反证法的解题原则
当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面．
2．用反证法证明问题的一般步骤
第一步：分清命题“p⇒q”的条件和结论；
第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；
第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真．
所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．
核心规律
1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3.分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
满分策略
1.当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法，但在证明中，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律．
2.当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．
3.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.
创新交汇系列6——分析法与综合法的交汇整合
[2016·长沙模拟]已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c
是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
[解题视点] (1)先判断它们的大小，可用特例法．(2)用分析法探寻证题思路．(3)用综合法完成证明．事实上，取a＝1，b＝2，c＝4，则f(a)＋f(c)＝f(1)＋f(4)＝log218，2f(b)＝2f(2)＝log216，于是由log218>log216，猜测f(a)＋f(c)>2f(b)．
要证f(a)＋f(c)>2f(b)，则只需证log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)，即证log2[(a＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2，也即证(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.展开整理得ac＋2(a＋c)>b2＋4b.
因为b2＝ac，所以只要证a＋c>2，显然是成立的．
[解] f(a)＋f(c)>2f(b)．
证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，
所以a＋c>2.
因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b，
即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，
从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.
因为f(x)＝log2x是增函数，
所以log2[(a＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2，
即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．
故f(a)＋f(c)>2f(b)．
答题启示 (1)综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程.有时要把分析法和综合法结合起来交替使用，才能成功.,(2)本题易错的原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范.将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法.
跟踪训练
[2016·安徽模拟](1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；
(2)11，∴x＝logab≥1，y＝logbc≥1，
由(1)知所证明的不等式成立．
