2018届二轮复习平面向量课件

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第 3 讲　平面向量 专题三 　 三角函数、解三角形与平面向量 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　平面向量的线性运算 1. 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化 . 2. 在用三角形加法法则时，要保证 “ 首尾相接 ” ，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证 “ 同起点 ” ，结果向量的方向是指向被减向量 . 答案 解析 √ 思维升华 思维升华　 对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用 . 答案 解析 思维升华 √ 思维升华　 运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系 . 答案 解析 √ 解得 k ＝ 2 ， m ＝－ 1 ，故选 B. 答案 解析 (2)(2017 届福建连城县二中期中 ) 已知平面向量 a ＝ (1,2) ， b ＝ ( － 2 ， m ) ，且 a ∥ b ，则 2 a ＋ 3 b 等于 A.( － 5 ，－ 10) B .( － 4 ，－ 8) C.( － 3 ，－ 6) D .( － 2 ，－ 4 ) √ 解析　 因为 a ＝ (1,2) ， b ＝ ( － 2 ， m ) ，且 a ∥ b ， 所以 m ＋ 4 ＝ 0 ， m ＝－ 4 ， 2 a ＋ 3 b ＝ 2(1 ， 2 ) ＋ 3( － 2 ，－ 4) ＝ ( － 4 ，－ 8) ，故选 B. 热点二　平面向量的数量积 1. 数量积的定义： a · b ＝ | a || b |cos θ . 2. 三个结论 √ 思维升华　 数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义 . 答案 解析 思维升华 思维升华　 可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算 . √ 可得 | a － b | 2 ＝ 5 ，即 | a | 2 ＋ | b | 2 － 2 a · b ＝ 5 ，解得 a · b ＝ 0. | a ＋ 2 b | 2 ＝ | a | 2 ＋ 4| b | 2 ＋ 4 a · b ＝ 1 ＋ 16 ＝ 17 ， 答案 解析 思维升华 答案 解析 √ 图 ① 解析　 方法一 　 ( 解析法 ) 建立平面直角坐标系如图 ① 所示 ， 则 A ， B ， C 三点的坐标分别为 A (0 ， ) ， B ( － 1,0) ， C (1,0). 设 P 点的坐标为 ( x ， y ) ， 故选 B. 图 ② 方法二 　 ( 几何法 ) 故选 B. 答案 解析 2 故 a · b ＝ 2cos 〈 a ， b 〉＝－ 1 ， 则 ( a ＋ 2 b ) 2 ＝ a 2 ＋ 4 a · b ＋ 4 b 2 ＝ 4 － 4 ＋ 4 ＝ 4 ，即 | a ＋ 2 b | ＝ 2. 热点三　平面向量与三角函数 平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的 “ 双重型 ” ，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件 . 例 3 　 (2017· 江苏 ) 已知向量 a ＝ (cos x ， sin x ) ， b ＝ (3 ，－ ) ， x ∈ [ 0 ， π] . (1) 若 a ∥ b ，求 x 的值； 若 cos x ＝ 0 ，则 sin x ＝ 0 ，与 sin 2 x ＋ cos 2 x ＝ 1 矛盾， 故 cos x ≠ 0. 解答 (2) 记 f ( x ) ＝ a · b ，求 f ( x ) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值 . 解答 思维升华 思维升华　 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题 . 跟踪演练 3 　 已知平面向量 a ＝ (sin x ， cos x ) ， b ＝ (sin x ，－ cos x ) ， c ＝ ( － cos x ，－ sin x ) ， x ∈ R ，函数 f ( x ) ＝ a· ( b － c ). (1) 求函数 f ( x ) 的单调递减区间； 解答 解　 因为 a ＝ (sin x ， cos x ) ， b ＝ (sin x ，－ cos x ) ， c ＝ ( － cos x ，－ sin x ) ， 所以 b － c ＝ (sin x ＋ cos x ， sin x － cos x ) ， f ( x ) ＝ a· ( b － c ) ＝ sin x (sin x ＋ cos x ) ＋ cos x (sin x － cos x ) ＝ sin 2 x ＋ 2sin x cos x － cos 2 x 解答 Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 北京改编 ) 设 m ， n 为非零向量，则 “ 存在负数 λ ，使得 m ＝ λ n ” 是 “ m·n <0 ” 的 ___________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ” “ 必要不充分 ” “ 充要 ” “ 既不充分也不必要 ” ) 答案 解析 1 2 3 充分不必要 4 解析　 方法一 　由题意知 | m | ≠ 0 ， | n | ≠ 0. 设 m 与 n 的夹角为 θ . 若存在负数 λ ，使得 m ＝ λ n ， 则 m 与 n 反向共线， θ ＝ 180° ， ∴ m · n ＝ | m || n |cos θ ＝－ | m || n | ＜ 0. 当 90° ＜ θ ＜ 180° 时， m · n ＜ 0 ，此时不存在负数 λ ，使得 m ＝ λ n . 故 “ 存在负数 λ ，使得 m ＝ λ n ” 是 “ m · n ＜ 0 ” 的充分不必要条件 . 方法二 　 ∵ m ＝ λ n ， ∴ m · n ＝ λ n · n ＝ λ | n | 2 . ∴ 当 λ ＜ 0 ， n ≠ 0 时， m · n ＜ 0. 1 2 3 4 故 “ 存在负数 λ ，使得 m ＝ λ n ” 是 “ m · n ＜ 0 ” 的充分不必要条件 . 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 解析　 由题意知 | e 1 | ＝ | e 2 | ＝ 1 ， e 1 · e 2 ＝ 0 ， 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 1 2 3 4 4.(2017· 北京 ) 已知点 P 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上，点 A 的坐标为 ( － 2,0) ， O 为原点 ， 则 的 最大值为 ____. 答案 解析 6 1 2 3 4 解析　 方法一 　根据题意作出图象，如图所示， A ( － 2,0) ， P ( x ， y ). 由点 P 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 Q ， 则点 Q 的坐标为 ( x ， 0 ). 点 P 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上，所以 x ∈ [ － 1,1 ]. 1 2 3 4 1 2 3 4 方法二 　如图所示，因为点 P 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上， 所以可设 P (cos α ， sin α )(0 ≤ α ＜ 2π) ， 当且仅当 cos α ＝ 1 ，即 α ＝ 0 ， P (1,0) 时 “ ＝ ” 号成立 . 押题预测 答案 解析 押题依据　 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示 ( 用基底或坐标 ) 是向量应用的基础 . 押题依据 1 2 3 4 √ 1 2 3 解析　 因为 DE ∥ BC ，所以 DN ∥ BM ， 4 因为 M 为 BC 的中点， 答案 解析 押题依据　 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式 . 押题依据 1 2 3 √ 4 1 2 3 4 1 2 3 答案 解析 押题依据　 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点 . 押题依据 √ 4 1 2 3 4 1 2 3 4 押题依据　 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中 . 1 2 3 4 答案 解析 押题依据 又因为 ∠ AOB ＝ 60° ， OA ＝ OB ， 所以 ∠ OBA ＝ 60° ， OB ＝ 1. 1 2 3 4