2018-2019学年云南省云天化中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年云南省云天化中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年云南省云天化中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．若集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据集合的交集运算，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，集合，集合，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合表示方法，以及集合交集运算，其中解答中熟记集合的交集的概念与运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎2．已知,若则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，可得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，向量，‎ 因为，则，解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的垂直的坐标运算，其中解答中熟记向量的垂直的条件，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎3．已知 ，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式，化简即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式，‎ 可得：，‎ 解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎4．已知分别是的内角的对边，若，则锐角的大小是　 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理可得，则，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在中，由正弦定理可得，则，‎ 又由角C为锐角，所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中合理利用正弦定理，求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5．已知是四边形所在平面上任一点，且则四边形一定为(　　)‎ A．菱形 B．任意四边形 C．平行四边形 D．矩形 ‎【答案】C ‎【解析】根据向量的运算和共线向量的概念，可得且，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由，可得，即四边形中，‎ 又由，所以，即四边形中有一组对边平行且相等，‎ 所以四边形为平行四边形，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的运算和共线向量的应用，其中解答中熟记向量的运算法则和共线向量的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6．有如下命题：①函数中有两个在上是减函数；②函数有两个零点；③若则其中正确的个数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用幂函数的单调性判断①的真假，利用图像判断②的真假，利用对数的单调性判断③的真假.由此判断出真命题的个数.‎ ‎【详解】‎ 根据幂函数的性质可知，，在上是减函数，在上是增函数，故①为真命题.令，，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数有个交点，故有两个零点，即②为真命题.由得，而为定义域上的减函数，故，故③是真命题.综上所述，真命题的个数为个，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查幂函数的单调性，考查函数零点个数的判断方法，考查对数不等式的解法以及对数函数的单调性.对于幂函数，要熟悉时，个函数的图像与性质.可以将函数的零点问题，转化为两个函数图像的交点个数问题来求解.对数函数的单调性是由底数来决定.‎ ‎7．设函数，则下列结论错误的是（　　）‎ A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C．一个零点为 D．在单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】根据三角函数的图像与性质，逐一判定，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，可知最小正周期为，则也是函数的一个周期，所以A是正确的；‎ 令，可得（最大值），所以是函数的其中一条对称轴，所以B是正确的；‎ 令，则函数，所以是函数一个零点，所以C是正确的；‎ 当，则，函数函数在单调递增，所以D不正确，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理准确逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8．在等差数列中，若,则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列的性质，可得，即，且，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据等差数列的性质，可得，即 ‎ 又由，所以，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎9．函数的图象大致是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对数的运算性质，分类讨论，得当时，函数，当时，函数，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 当时，函数，‎ 当时，函数，‎ 所以函数图象只有选项D符合，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对于的运算性质，以及函数图象的识别，其中解答中根据对数的运算性质，合理化简函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎10．已知分别是的内角的对边，，则的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简可得，得出，求得，再利用面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 在中，可知，‎ 由正弦定理可得，‎ 即，即，‎ 又由，所以，‎ 所以，又由，则，‎ 所以，所以，‎ 又因为，所以三角形的面积为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，以及三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记正弦定理的边角互化，以及合理利用三角恒等变换的公式化简求解的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11．已知（其中）, 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角恒等变换的公式和三角函数的性质，求得，进而求得实数，，，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数 ‎，‎ 又由即，‎ 因为，所以，解得，即，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变换化简、运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式是解答关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎12．已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用题设条件，求出函数的解析式，结合函数的零点和三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，解得，故，‎ 因为，令，得，即，‎ 又由，得，‎ 因为，所以，所以，‎ 又由，则，所以 令，则由题意得在上有唯一的解， ‎ 根据正弦函数图象可得或，‎ 解得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数的零点问题的求解，其中解答中根据三角函数的性质，求得三角函数的取值，结合图象列出不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量满足且，则向量的夹角为_______________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据向量的运算，可得，再由向量的夹角公式，求得，即可得到向量的夹角，得打答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，向量，解得，‎ 所以向量的夹角为，‎ 又因为，所以，‎ 即向量的夹角为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的运算法则和向量的夹角公式是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎14．已知函数，对于任意都有，则的值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件得到函数的对称性，从而得到结果 ‎【详解】‎ ‎∵f＝f，‎ ‎∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．‎ ‎∴f＝±2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题.‎ ‎15．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中, 如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式_______________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图可知，由勾股定理可得 ‎,利用等差数列的通项公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 根据图形，‎ 因为都是直角三角形，‎ ‎,‎ 是以1为首项，以1为公差的等差数列，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.‎ ‎16．已知函数若存在实数当时，满足，则的取值范围是_________________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】画出分段函数的图象，作出直线，结合函数的图象可得实数的取值范围，再运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得和，利用二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 画出函数的图象，如图所示，‎ 令，则，‎ 由图象可知，设和函数的图象有四个交点，‎ 可得 ‎ 其中，则，解得，‎ 且，则 所以 ‎，其中，‎ 设，则函数，函数单调递增，‎ 则，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中正确作出函数的图象，结合图象，利用对数函数的运算性质以及余弦函数的对称性，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．设集合，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若集合，满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据指数函数的运算性质和对数函数的运算性质，分别求得集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.‎ ‎（2）由集合，得到，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，根据指数函数的运算性质，可得，‎ 由对数函数的运算性质，可得，‎ 所以.‎ ‎（2）由题意，可得集合，因为，‎ 所以，解得，即实数实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的额运算性质，正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．在等差数列中，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）根据等差数列的通项公式，列出方程组，求得，即可求解数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1），求得，再利用等差数列的求和公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，设等差数列的公差为，‎ 因为，，所以，解得，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，所以，‎ 所以数列是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎19．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．‎ ‎（1）用表示向量；‎ ‎（2）若向量与共线，求的值．‎ ‎【答案】（1）,；（2）‎ ‎【解析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；‎ ‎（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）为BC的中点，，‎ 可得，‎ 而 ‎（2）由（1）得，‎ 与共线，设 即，‎ 根据平面向量基本定理，得 解之得，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.‎ ‎20．已知函数。‎ ‎（1）求函数的最小正周期与对称轴；‎ ‎（2）当时，求函数的最值及单增区间.‎ ‎【答案】（1），；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（I）化简函数为，利用周期的公式和正弦函数的性质，即可求解；‎ ‎（II）由，得，根据正弦型函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由函数 ，‎ 所以函数最小正周期.‎ 令，解得，‎ 所以函数对称轴的方程为.‎ ‎（II）由，得，‎ 则当时，即时，函数有最小值，‎ 当时，即时，函数有最大值.‎ 当时，得函数的单增区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式准确化简函数的解析式，同时熟记正弦型函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎21．已知分别是锐角的内角的对边，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且边上的高为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】(1)在中，利用三角恒等变换的公式，化简得，进而得到，即可求解；‎ ‎(2)由的面积求得，再由余弦定理，求得，即可求解三角形的周长.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意，在中，，所以，‎ 因为为锐角三角形，故为锐角，，所以，‎ 得，故.‎ ‎ (2)由的面积，得，‎ 由余弦定理得，‎ 所以，所以周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式化简、运算，合理使用余弦定理和三角形的面积公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎22．已知函数，（为常数）.‎ ‎（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）讨论零点的个数.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】（1）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论；‎ ‎（2）由得，转化为，设，利用二次函数的性质，即可求解. ‎ ‎（3）把函数有个零点转化为方程有两个解，令，作的图像及直线图像，结合图象，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，且时，是单调递减的.‎ 证明：设，则 ‎ 又且，‎ 故当时，在上是单调递减的.‎ ‎（2）由得，变形为，即，‎ 设，令，则，‎ 由二次函数的性质，可得，所以，解得. ‎ ‎（3）由有个零点可得有两个解，‎ 转化为方程有两个解，‎ 令，作的图像及直线图像有两个交点，‎ 由图像可得：‎ i）当或，即或时，有个零点.‎ ii）当或或时，由个零点；‎ iii）当或时，有个零点. ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性的判定，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及合理分离参数和转化为图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题.‎