黑龙江省大庆中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

黑龙江省大庆中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

2019----2020 学年度上学期期中考试 高二年级理科数学试题 考试范围：必修 1，2，3，4，5 选修 2-1；考试时间：120 分钟；试卷总分：150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分） 已知集合 ， ，则 （ ） 设命题 ，则 为（ ） 如果 ，那么下列不等式中错误的是（ ） 下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是（ ） 两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ） 甲、乙两人的各科平均分相同 甲的中位数是 ，乙的中位数是 甲的众数是 ，乙的众数为 甲各科成绩比乙各科成绩稳定 已知 ， ， ，若 ，则 （ ） 某同学根据一组 ， 样本数据，求出线性回归方程푦=푏x+푎和相关系数 ，下列说法正确 的是（ ） 与 是函数关系 与 是函数关系 1. 2{ | 4 }A x x x= < { | 2 5}B x x= < < A B = .A )2,0( .B (2,4) .C (0,5) .D (4,5) 2. 0:p x∃ < 0, 0 0 1xe x− > p¬ .A 0 0 00, 1xx e x∃ ≥ − ≤ .B 0 0 00, 1xx e x∃ < − ≤ .C 0, 1xx e x∀ ≥ − > .D 0, 1xx e x∀ < − ≤ 3. 0 a b< < .A a c b c+ < + .B a b< .C 2 2ac bc< .D 1 1 a b > 4. .A x xy e e−= + .B 1y x x = − .C ln | |y x= .D sin xy x = 5. .A .B 83 85 .C 89 87 .D 6. (2,3)a = ( , 1)b m m= − ( ,3)c m= / /a b  b c⋅ =  .A 5 .B 1 .C 1− .D 5− 7. x y r .A y x .B y x 只能大于 越接近 ，两个变量相关关系越弱 已知 ， ，则 （ ） 如图，在三棱锥 中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， ．若 是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） 设 ， ， 是 与 的等比中项，则 的最小值是（ ） 已 知 圆 ： 和 点 ， 若 圆 上 存 在 两 点 使 得 ，则 实数 的取值范围是（ ） 已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， ， 为双曲线左支上一点， 为 等腰三角形且其外接圆的半径为 ，则该双曲线的离心率为（ ） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 点 是抛物线 ： 上一点，若 到 的焦点的距离为 ，则 ______________. 如果椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是______________. ．如图，设△ 的内角 所对的边分别为 ， .C r 0 .D | |r 1 8. (0, )2 πα ∈ 2sin 2 1 cos2α α= − cosα = .A 1 5 .B 5 5 .C 3 3 .D 2 5 5 9. 1 1 1ABC A B C− 14, 6AB AA= = E 1BB 1A E 1AC .A 13 13 .B 2 13 13 .C 5 13 13 .D 8 13 13 10. 0a > 0b > 3 3a 3b 1 2 a b + .A 3 .B 4 .C 4 2 .D 3+2 2 11. C ( ) ( )2 21 2 2x y− + − = ( )0 0P x ， C A B， 3APB π∠ = 0x .A [ 3 1]− ， .B [ 1 3]− ， .C [ 2 3]− ， .D [ 2 4]− ， 12. 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A B P ABP∆ 5a .A 15 5 .B 15 4 .C 15 3 .D 15 2 13. ( )0 0,P x y C 2 8y x= P C 8 0x = 14. 2 2 14 2 x y+ = ( )1,1 15 ABC , ,A B C , ,a b c ，且 .若点 是 △ 外一点， ， ，则四边形 面积的最 大值为_________. ．过球面上 ， ， 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 ， 则球的体 积为______________. 三、解答 题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，18、19、20、21、22 每题 12 分，共 70 分） 为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生 中抽出 60 名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出 如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题： （1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点 值为代表） 已知数列 是等差数列，满足 ， ，数列 是公比为 3 的等比数列， 且 ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和 ． [来源:学科网] 已知点 满足 ,设点 的轨迹是曲线 ． （1）求曲线 的方程．[来源:Z_xx_k.Com] 3( cos cos ) 2 sina C c A b B+ = 3CAB π∠ = D ABC 1DC = 3DA = ABCD 16 A B C 3AB BC CA= = = 17. 18. { }na 2 5a = 4 9a = { }n nb a+ 1 3b = { }na { }nb { }nb nS 19. ( , )M x y 2 2( 1) | 1|x y x− + = + M C C （2）直线 过焦点与曲线 交于两点 ， ， ，求直线 的方程. ．如图，在 中，边 ， ，且点 在线段 上， （1）若 ，求线段 的长； （2）若 ， ，求 的面积. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ， ， 点 是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小. 已知椭圆 ： 经过点 ，离心率为 .　 （1）求椭圆 的标准方程； （2）过坐标原点 作直线 交椭圆 于 、 两点，过椭圆右焦点 作 的平行线交 椭圆 于 、 两点. l C A B | | 8AB = l 20 ABC∆ 2AB = 1cos 3B = D BC 3 4ADC π∠ = AD 2BD DC= sin 4 2sin BAD CAD ∠ =∠ ABD∆ 21. P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD PD DC= E PC / /PA BDE BD PBC 30° C PB D− − 22. C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ( )6,2 3 3 C O PQ C P Q 2F PQ C A B ①是否存在常数 ，满足 ？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由； ②若 的面积为 ， 的面积为 ，且 ，求 的最大值. λ 2AB OPλ= 2AF P∆ 1S 2OF B∆ 2S 1 2S S S= + S 2019----2020 学年度上学期期末考试 高二年级理科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C B[来源:Zxxk.Com] C D B B A D B C 二、填空题 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．解：(1)因为各组的频率和等于 1， 所以第四组的频率为 . 补全的频率分布直方图如图所示． (2)众数：75，中位数： 因为抽取学生的平均分约为 45×0.1＋5 5×0.156＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝ 71(分)，所以可估计这次考试的平均分为 71 分． 18．解：（1）设等差数列 的公差为 d． 由 ， ，得 ，解得 ． 所以 ． 即 的通项公式为： ， ． 由于 是公比为 3 的等比数列，且 ， 所以 ． 0 6x = 2 3 0x y+ − = 5 3 32 + 32 3 π 1 0.025 0.015 2 0.010 0.0( )05 10 0.3− − × + + × = 1733 { }na 2 5a = 4 9a = 9 5 2d= + 2d = 2 ( 2) 5 2( 2) 2 1na a n d n n= + − = + − = + { }na 2 1na n= + *n∈N { }n nb a+ 1 1 6b a+ = 1 1 1 1( ) 3 6 3n n n nb a b a − −+ = + ⋅ = × 从而 ． （Ⅱ）由（Ⅰ） ． 数列 的前 n 项和 ．[来源:Z&xx&k.Com] 19．（1）由已知得点 M 的轨迹是以点 为焦点的抛物线 ∴ ∴ 所以曲线 的方程为 （2） 20．（I）由 可得 由 ,可得 , 在三角形 ADB 中,由正弦定理 可得 , 所以 . （II）由 得 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 在 中，由余弦定理得 ， 即 ，可得 或 （舍去）， 所以 . 21．（1）连接 交 于 ，连接 ， 1 1 *6 3 6 3 (2 1),n n n nb a n n− −= × − = × − + ∈N 1 *6 3 (2 1),n nb n n−= × − + ∈N { }nb 16(1 3 3 ) [3 5 (2 1)]n nS n−= + + + − + + + +  6(1 3 ) [3 (2 1)] 1 3 2 n n n− + += −− 1 23 3 2n n n+= − − − ( )1,0F 12 p = 2p = c 2 4y x= 1 0 1 0x y x y− − = + − =或 1cos 3B = 2 2sin 3B = ， 3 4ADC π∠ = 3 4 4ADB π ππ∠ = − = ,sin sin AD AB ABD ADB =∠ ∠ 2 2 2 2 3 2 AD = 8 3AD = 2BD DC= ， 2BAD CAD S S ∆ ∆ = 1 sin2 21 sin2 AB AD BAD AC AD CAD ⋅ ∠ = ⋅ ∠ sin 4 2 2sin BAD ABCAD ∠ = =∠ ， 4 2AC = ABC∆ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B= + − ⋅ 23 4 84 0BC BC− − = 6BC = 14 3BC = − 1 1 2 2 8 24 sin 2 42 2 3 3ABDBD S AB BD B∆= = ⋅ = × × × =， AC BD O OE 由题意可知， ， ， 又 在平面 外， 平面 ，所以 平面 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 ，设 ， ，则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 由 ，得 ，取 ， 又由直线 与平面 所成的角为 ， 得 ，解得 ， 同理可得平面 的法向量 ， 由向量的夹角公式，可得 ， 又因为二面角 为锐二面角，所以二面角 的大小为 . 22．（1） 得到 ，结合 得到 ， 将点 代入椭圆方程中，解得 所以椭圆方程为： ,PE EC AO OC= = / /PA EO∴ PA BED EO ⊂ BED / /PA BED ( )2 D , ,DA DC DP x y z D xyz− 1PD CD= = AD a= ( ,0,0)A a ( ,1,0) (0,1,0)B a C， 1(0 )0,P ， ( ,1,0)DB a= ( , )1, 1PB a= − ( )0,1, 1PC = − PBC ( , )n x y z= ， · 0 · 0 PB n PC n  =  =     0 0 ax y z y z + − =  − = (0,1,1)n = BD PBC 30 2 1 1cos , 21 2 DB n DB n DB n a = = = + ×       1a = PBD 1, )0( 1,m = − 1 1cos , 22 2 n mn m n m = = = ×      C PB D− − C PB D− − 60° 3 ,3 ce a = = 3a c= 2 2 2 ,a b c= + 2b c= ( )6,2 2, 2 3, 2 2c a b= = = 2 2 112 8 x y+ = （2） ①当 OP 直线斜率不存在时 当 OP 直线斜率存在时 ，设 OP 直线方程为 ，结合椭圆方程 ，代入 得到 ，设 设 AB 的直线方程为 ，代入椭圆方程，计算 出 ，结合 ，代入 可得 ②分析图可知，所求面积之和实则为 ，故 设直线 AB 的方程为 ，则 其中 d 为圆心 O 到直线 AB 的距离，则 则 将直线方程代入椭圆方程，得到 3 3 λ = y kx= 2 2 112 8 x y+ = 2 2 2 24 24 3 2 kOP k += + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )2y k x= − 2 2 3 84 3 3 3 2 kAB k = − ⋅ + 2AB OPλ= 3 3 λ = S∆ΟΑΒ 2x my= + 1 2S d AB∆ΟΑΒ = ⋅ 2 2 0 0+2 2 1+ 1 md m m + ⋅= = + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 + 1AB x x y y my my y y m y y= − + − = + − − − = + − ( )22 1 2 1 21 + 4m y y y y= + − ( )2 22 3 8 16 0m y my+ + − = 解得 ，代入 中，得到 ，令 ，得到 ，[来源:学科网] 则当 时，该函数取到最大值，代入 中，得到 。 1 2 1 22 2 8 16,2 3 2 3 my y y ym m + = − = −+ + OABS∆ 2 2 8 3 3 2 +3OAB mS m∆ += 2 +1t m= 2 8 3 8 3 , 112 1 2 tS tt t t ∆ΟΑΒ = = ≥+ + 1t = OABS∆ 8 3 3S∆ΟΑΒ =