山西省朔州市应县第一中学校2019-2020学年高二上学期第四次月考数学（理）试题

山西省朔州市应县第一中学校2019-2020学年高二上学期第四次月考数学（理）试题

高二年级月考四 数学试题（理）2019．12‎ 一．选择题．‎ ‎1.倾斜角为120°，在x轴上的截距为的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由倾斜角可求出直线的斜率,结合直线过点,用点斜式可求出直线方程.‎ ‎【详解】由题意,直线的斜率,直线过点,‎ 则直线方程为,即.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查直线的方程,注意倾斜角与斜率的关系,属于基础题.‎ ‎2.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和x轴都相切，则该圆的标准方 程是 A. （x－3）2＋（y－1）2＝1‎ B. （x－2）2＋（y＋1）2＝1‎ C. （x＋2）2＋（y－1）2＝1‎ D. （x－2）2＋（y－1）2＝1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】设圆心坐标为由圆与直线相切，‎ 可得圆心到直线的距离,‎ 化简得,又圆与轴相切可得，解得或（舍去），‎ 把代入得或，解得或（舍去），‎ 圆心坐标为，则标准方程为，故选D.‎ ‎3.椭圆C的一个焦点为，并且经过点的椭圆的标准方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 椭圆焦点在轴上,设椭圆方程为,由椭圆的一个焦点,可求出另外一个焦点,然后结合及,可求出,从而可求出椭圆的方程.‎ ‎【详解】由题可知,椭圆的焦点在轴上,设椭圆方程为,‎ 一个焦点为,另一个焦点为,‎ 则,‎ 故椭圆中,,即,‎ 则.‎ 故椭圆C的方程为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程的求法,考查了椭圆定义的应用,注意焦点所在位置,属于基础题.‎ ‎4.已知椭圆C的中心为原点，焦点，在y轴上，离心率为，过点的直线交椭圆C于M，N两点，且的周长为8，则椭圆C的焦距为（ ）‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由椭圆的定义可知,的周长为,可求出,再结合离心率为,可求出,进而可求出椭圆C的焦距.‎ ‎【详解】由题可知,椭圆的焦点在轴上,‎ ‎,,‎ 则的周长为,即,‎ 又离心率,所以,‎ 故椭圆C的焦距为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆定义的应用,考查椭圆焦距的求法,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的渐近线为，渐近线的斜率，由于离心率，设，‎ ‎，，因此渐近线的斜率，故答案为C.‎ 考点：双曲线的性质.‎ ‎6.设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为△F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)，|MF1|＝|F1F2|，即4b2＋c2＝4c2，4a2＝7c2，e2＝，故e＝.选C ‎7.如图，椭圆的左、右焦点分别为，，P点在椭圆上，若，，则a的值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,可得,结合及可用表示,再结合余弦定理可得,代入计算可求得.‎ ‎【详解】由题意,椭圆中,,‎ ‎,,则,‎ 又,‎ 在中,由余弦定理得:,‎ 即,解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质,考查余弦定理的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎8.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点坐标可得方程，与椭圆方程联立求得交点坐标，利用 求得结果.‎ ‎【详解】由题意知：椭圆的右焦点为，则直线的方程为：.‎ 联立，解得交点为：，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查求解椭圆中的三角形面积问题，关键是能够通过直线与椭圆方程求得交点坐标，属于基础题.‎ ‎9.已知焦点在轴上的双曲线的中心是原点，离心率等于，以双曲线的一个焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由双曲线的一个焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相切可得,‎ 因,则令,故,所以,应选B.‎ ‎10.已知直线：和直线：，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当F，M，N三点共线时，动点M到直线的距离与到准线的距离之和最小，利用点到直线的距离公式，即可求得最小值．‎ ‎【详解】已知抛物线y2=4x，如图，则其焦点F（1,0），准线为 :x= -1，d1为动点M到准线的距离，d2为动点M到直线：4x-3y+6=0的距离，‎ 根据抛物线的定义，可知d1=|MF|,‎ 过点F作直线的垂线，垂足为N′与抛物线交点为M′,‎ 即当动点M位于M′位置时，到直线和直线的距离和最小，‎ d1 + d2的最小值|FN′|= .故选：D ‎【点睛】抛物线上一点到准线的距离，可以转化为该点到焦点的距离，构造出“一条直线”.‎ ‎11.已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，切点分别为，若四边形的面积最小值为，则的值为（ ）‎ A. 3 B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当且仅当垂直于时，四边形的面积最小，求出后可得最小面积，从而可求的值.‎ ‎【详解】圆方程为，圆心，半径为1．‎ 因为，为切线，‎ 且．‎ 当最小时，最小，‎ 此时最小且垂直于．‎ 又，，，故选D.‎ ‎【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.‎ ‎12.已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为(　　)‎ A. (0，－1) B. C. D. (－1,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用联想到正弦定理，结合椭圆定义找到的关系式，从而求得离心率的范围.‎ ‎【详解】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.‎ 因为为椭圆上一点，所以，即，‎ 整理得，所以，解得.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，求解离心率的值时，一般是构建的等式；求解离心率的范围时，一般是构建的不等关系.‎ 二．填空题．‎ ‎13.已知是过抛物线焦点的弦，，则中点的横坐标是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，设A、B到准线的距离为，所以，所以中点的横坐标是．‎ 考点：抛物线的定义；抛物线的简单性质．‎ 点评：熟记抛物线的焦半径公式：‎ ‎(1)若P()为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点则|PF|=；‎ ‎(2) 若P()为抛物线y2=-2px(p>0)上任意一点则|PF|=；‎ ‎(3) 若P()为抛物线x2=2py(p>0)上任意一点则|PF|=；‎ ‎(4)若P()为抛物线x2=-2py(p>0)上任意一点则PF=．‎ ‎14.过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线的右焦点，渐近线方程为，过双曲线右焦点且与轴垂直的直线，，可得，故答案为.‎ ‎15.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为直线恒过定点，所以圆心到直线的最大距离为，所以半径最大时的半径，所以半径最大的圆的标准方程为．‎ 考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系．‎ ‎【方法点睛】解决直线与圆的问题时，一方面，注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用．‎ ‎16.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则当|AF|＋4|BF|取得最小值时，直线AB的倾斜角的正弦值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎①过焦点的直线的斜率不存在时，则，即.‎ ‎②过焦点的直线的斜率存在时，设直线的方程为.‎ 联立，消去得.‎ 设，，则，.‎ ‎∴‎ 综上，.‎ 设，，则.‎ ‎∴，当且仅当时取等号.‎ ‎∴当取得最小值时，，即，，此时直线的斜率为，即直线的倾斜角的正弦值为.‎ 故答案为.‎ 点睛：本题考查抛物线的性质及应用，解答本题的关键是推出，进而利用基本不等式即可，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.‎ 三．解答题 ‎17.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，求该椭圆的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆方程为（,,且）,将,两点坐标代入椭圆方程，求出即可.‎ ‎【详解】设椭圆方程为（,,且）.‎ 椭圆经过,两点,则,解得,‎ 所以所求椭圆方程为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程,利用待定系数法可解决本题,需要注意将椭圆方程设为（,,且）,属于基础题.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线相切．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且，求直线MN方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用圆心到直线的距离，求出半径，即可求圆的方程；（2）若圆上有两点，关于直线对称，则设方程为，利用，可得圆心到直线的距离，即可求直线的方程.‎ 试题解析：(1)将圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m，因为圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线相切，所以圆心(－2，1)到直线的距离，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，则可设直线MN的方程为2x－y＋c＝0，因为，半径r＝2，所以圆心(－2，1)到直线MN的距离为，则，所以，所以直线MN的方程为.‎ ‎19.已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由离心率,可知双曲线的实轴、虚轴相等,可设双曲线方程为,将点代入可求出双曲线方程;‎ ‎（2）分别用坐标表示两个向量,将两个向量相乘,并结合点满足双曲线方程,可证明结论;‎ ‎（3）的底边长,高,结合三角形的面积公式可求出答案.‎ ‎【详解】（1）离心率,则,所以可设双曲线方程为．‎ 因为双曲线过点,所以,即,‎ 故双曲线方程为,即．‎ ‎（2）证明:双曲线的方程为,焦点,,则,．‎ 所以,‎ 因为M点在双曲线上,所以,即,所以．‎ ‎（3）双曲线中,,‎ 则的底边长．‎ 由（2）知,所以的高，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率、双曲线的方程,考查平面向量数量积的坐标运算,‎ 考查三角形面积公式的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎20.已知圆C过定点，且与直线相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：()相交于A，B两点．‎ ‎（1）求曲线E的方程；‎ ‎（2）当的面积等于时，求k的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）点C到定点和直线的距离相等,可知点C的轨迹是抛物线,求出方程即可;‎ ‎（2）设直线l与x轴交于点N,可得,设,,可得,然后将直线与抛物线方程联立并消去,结合根与系数关系,可求得,进而可得到的面积表达式,令其等于,可求出k的值．‎ ‎【详解】（1）由题意,点C到定点和直线的距离相等,故点C的轨迹是抛物线,为焦点,为准线,故E的方程为．‎ ‎（2）将直线方程与抛物线方程联立,消去x,整理得.设,,‎ 由根与系数关系.‎ 设直线l与x轴交于点N,则．‎ 所以.‎ 因为,所以.‎ 故,‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查根与系数关系的应用,考查三角形面积公式的应用,考查学生的计算能力与推理能力,属于基础题.‎ ‎21.椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当的面积为时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程． （2）由（1）知F1（-1，0），①当l的倾斜角是时，,不合题意；当l的倾斜角不是时，设l的方程为，由消去y得：，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．‎ ‎【详解】（1）椭圆过点 离心率为 ‎ 又,解得 椭圆C的方程.‎ ‎（2）由（1）知，①当l的倾斜角是时，l的方程为，‎ 交点，此时,不合题意；‎ ‎②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k,则其直线方程为，‎ 由消去y得：，‎ 设，则， ‎ ‎，‎ ‎ 又已知 ,‎ 解得， ‎ 故直线l的方程为，‎ 即或．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．‎ ‎22.已知椭圆C：的离心率为 ，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，理由见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由右焦点求得值，由离心率求得值，进而，从而确定椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，借助于根与系数的关系将转化为用两交点坐标来表示，进而转化为直线的斜率和点坐标来表示，观察关系式得到为定值时需满足的条件 试题解析：（1）由已知可得，解得，所求的椭圆方程为 ‎（2）设点且斜率为的直线的方程为 由得，则 解得 设，则 又，‎ ‎．‎ 设存在点，则，，‎ 所以 ‎，‎ 要使得（常数），只要，‎ 从而，‎ 即 由（1）得，‎ 代入（2）解得，从而，‎ 故存在定点，使恒为定值．‎ 考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 ‎ ‎ ‎ ‎