2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章 1

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章 1

1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第 1 课时 空间向量与平行关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解空间中点、直线和平面的 向量表示． 2．掌握直线的方向向量，平面 的法向量的概念及求法．(重点) 3．熟练掌握用方向向量，法向 量证明线线、线面、面面间的 平行关系．(重点、难点) 1.通过空间中点、直线和平面的向量表示的 学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心 素养． 2．通过直线的方向向量和平面法向量的学 习，培养学生数学运算的核心素养． 3．借助利用空间向量解决平行问题的学习， 提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素 养. (1)如何确定一个点在空间的位置？ (2)在空间中给一个定点 A 和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位 置吗？ (3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ (4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ 1．空间中点、直线和平面的向量表示 点 P 的位 置向量 在空间中，取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 可以 用向量OP → 表示，我们把向量OP → 称为点 P 的位置向量. 空间直线 的向量表 示式 a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取AB →＝a，取定空间中的任意 一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使OP → ＝OA → ＋ta，也可以表示为OP → ＝OA → ＋tAB → .这两个式子称为空间直 线的向量表示式. 空间平面 ABC 的向 量表示式 设两条直线相交于点 O，它们的方向向量分别为 a 和 b，P 为平 面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP → ＝xa＋ yb.那么取定空间任意一点 O，可以得到，空间一点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使OP → ＝OA → ＋xAB →＋yAC →，这就 是空间平面 ABC 的向量表示式. 2.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向 量有无数个． (2)平面的法向量的定义 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面α的法向量． 思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？ [提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线 向量． 3．空间中平行关系的向量表示 线线 平行 设两条不重合的直线 l1，l2 的方向向量分别为 u1＝(a1，b1，c1)，u2 ＝(a2，b2，c2)，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面 平行 设 l 的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为 n＝(a2，b2，c2)， 则 l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面 平行 设α，β的法向量分别为 n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β ⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 l 的方向向量 a 一定是单位向量． ( ) (2)直线 l 的一个方向向量为 a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为 n＝(－1，－ 1,1)，l⊄α，则 l∥α. ( ) (3)若 n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则 n1∥n2⇔α∥β. ( ) (4)若点 A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的向量参数方程可以为AP →＝ tAB → . ( ) [提示] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．已知向量 a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2 则( ) A．x＝9 2 ，y＝15 B．x＝3，y＝15 2 C．x＝3，y＝15 D．x＝9 2 ，y＝15 2 D [由 l1∥l2，得 a∥b， 即3 2 ＝x 3 ＝y 5. 解得 x＝9 2 ，y＝15 2 ，故选 D.] 3．若直线 l 的方向向量 a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线 l 与平面α的位置关系是________． l⊂α或 l∥α [∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或 l∥α.] 4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β， 则 k＝________. 4 [由α∥β得 1 －2 ＝ 2 －4 ＝－2 k ，解得 k＝4.] 求平面的法向量 【例 1】 四边形 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝ AB＝BC＝2，AD＝1. 在如图所示的坐标系 Axyz 中，分别求平面 SCD 和平面 SAB 的一个法向量． [解] A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面 SAB，∴AD → ＝(1,0,0) 是平面 SAB 的一个法向量．设平面 SCD 的法向量为 n＝(1，y，z)，则 n·DC → ＝(1， y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－1 2.又 n·DS →＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝1 2.∴n＝ 1，－1 2 ，1 2 即为平面 SCD 的一个法向量． 求平面法向量的步骤 (1)设法向量 n＝(x，y，z)； (2)在已知平面内找两个不共线向量 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； (3)建立方程组 n·a＝a1x＋a2y＋a3z＝0， n·b＝b1x＋b2y＋b3z＝0； (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量 的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量． [跟进训练] 1．已知三点 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量． [解] 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由题意得AB →＝(－1,1,0)，BC →＝(1,0，－1)． 因为 n⊥AB →，n⊥BC →， 所以 n·AB →＝－x＋y＝0， n·BC →＝x－z＝0. 令 x＝1，得 y＝z＝1，所以平面 ABC 的一个法向量 n＝(1,1,1). 利用空间向量证明线线平行 【例 2】 (1)已知 a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若 a∥b，则λ与μ的值可以 是( ) A．2，1 2 B．1 3 ，1 2 C．－3,2 D．2,2 (2)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S 分别 是 AA1，D1C1，AB，CC1 的中点． 求证：PQ∥RS. [思路探究] (1)利用空间向量共线的充要条件求值．(2)可采用两种方法：一 是向量法，二是坐标法，要证 PQ∥RS，只要证PQ → ∥RS →，也就是要证PQ → ＝λRS →即 可． (1)A [若 a∥b，则 2μ－1＝0 且λ＋1 6 ＝ 2 2λ ，解得μ＝1 2 且λ＝2 或λ＝－3，故选 A.] (2)[证明] 法一：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 则 P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，PQ → ＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)， ∴PQ → ＝RS →，∴PQ → ∥RS →，即 PQ∥RS. 法二：RS →＝RC →＋CS →＝1 2DC → －DA → ＋1 2DD1 → ， PQ → ＝PA1 → ＋A1Q → ＝1 2DD1 → ＋1 2DC → －DA → ， ∴RS →＝PQ → ，∴RS →∥PQ → ，即 RS∥PQ. 证明两直线平行的方法 法一：平行直线的传递性 法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量 m，n，证明 m∥n，即 m＝λn. 法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如 m1 ＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明 m1＝λm2，即 x1＝λx2 且 y1＝λy2 且 z1＝λz2. [跟进训练] 2.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为 DD1 和 BB1 的中点．求 证：四边形 AEC1F 是平行四边形． [证明] 以点 D 为坐标原点，分别以DA → ，DC → ，DD1 → 为正交基底建立空间直角坐 标系，不妨设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，E 0，0，1 2 ，C1(0,1,1)，F 1，1，1 2 ， ∴AE →＝ －1，0，1 2 ， FC1 → ＝ －1，0，1 2 ，EC1 → ＝ 0，1，1 2 ，AF →＝ 0，1，1 2 ， ∴AE →＝FC1 → ，EC1 → ＝AF →， ∴AE →∥FC1 → ，EC1 → ∥AF →， 又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形 AEC1F 是平行四边形. 利用空间向量证线面、面面平行 [探究问题] 1．在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ [提示] 可设几何体的棱长为 1 或 a，再求点的坐标． 2．依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗？ [提示] 不唯一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组 n·AB →＝0， n·AC →＝0 有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为 法向量即可． 3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？ [提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条 相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意一条直线，因此，求 法向量的坐标只要满足两个方程就可以了． 【例 3】 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 CC1，B1C1 的中点．求 证：MN∥平面 A1BD. [思路探究] [证明] 法一：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， M 0，1，1 2 ，N 1 2 ，1，1 ， 于是DA1 → ＝(1,0,1)，DB → ＝(1,1,0)， MN → ＝ 1 2 ，0，1 2 . 设 平 面 A1BD 的 法 向 量 为 n ＝ (x ， y ， z) ， 则 n⊥DA1 → ， n⊥DB → ， 即 n·DA1 → ＝x＋z＝0， n·DB → ＝x＋y＝0， 取 x＝1，则 y＝－1，z＝－1，∴平面 A1BD 的一个法向量 为 n＝(1，－1，－1)． 又MN → ·n＝ 1 2 ，0，1 2 ·(1，－1，－1)＝0，∴MN → ⊥n.∴MN∥平面 A1BD. 法二：MN → ＝C1N → －C1M → ＝1 2C1B1 → －1 2C1C → ＝1 2(D1A1 → －D1D → )＝1 2DA1 → ，∴MN → ∥DA1 → ， ∴MN∥平面 A1BD. 法 三 ： MN → ＝ C1N → － C1M → ＝ 1 2 C1B1 → － 1 2 C1C → ＝ 1 2 DA → － 1 2 A1A → ＝ 1 2 DB → ＋BA → － 1 2 A1B → ＋BA → ＝1 2DB → －1 2A1B → . 即MN → 可用A1B → 与DB → 线性表示，故MN → 与A1B → ，DB → 是共面向量，故 MN∥平面 A1BD. 1．本例中条件不变，试证明平面 A1BD∥平面 CB1D1. [证明] 由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)， 则CD1 → ＝(0，－1,1)，D1B1 → ＝(1,1,0)， 设平面 CB1D1 的法向量为 m＝(x1，y1，z1)， 则 m⊥CD1 → m⊥D1B1 → ，即 m·CD1 → ＝－y1＋z1＝0， m·D1B1 → ＝x1＋y1＝0， 令 y1＝1，可得平面 CB1D1 的一个法向量为 m＝(－1,1,1)， 又平面 A1BD 的一个法向量为 n＝(1，－1，－1)． 所以 m＝－n，所以 m∥n，故平面 A1BD∥平面 CB1D1. 2．本例条件不变，证明：AC1 → 是平面 A1BD 的一个法向量． [证明] 根据例题建立的空间直角坐标系知 D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)， A(1,0,0)，C1(0,1,1)． 则AC1 → ＝(－1,1,1)，DB → ＝(1,1,0)，DA1 → ＝(1,0,1)． 由于AC1 → ·DB → ＝－1＋1＋0＝0， AC1 → ·DA1 → ＝－1＋0＋1＝0， ∴AC1 → ⊥DB → 且AC1 → ⊥DA1 → . 所以AC1 → 是平面 A1BD 的一个法向量． 1．向量法证明线面平行的三个思路 (1)设直线 l 的方向向量是 a，平面α的法向量是 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0. (2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量 与已知直线的方向向量是共线向量即可． (3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量， 那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线 和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线 性表示即可． 2．证明面面平行的方法 设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为 v，则α∥β⇔μ∥v. 1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． (3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面 向量基本定理证明线面平行． 2．证明面面平行的方法 设平面α的法向量为 n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为 n2＝(a2，b2，c2)，则 α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 3．直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向 量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量． 1．已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段 AB 与坐标平 面( ) A．xOy 平行 B．xOz 平行 C．yOz 平行 D．yOz 相交 C [AB →＝(0,5，－3)，坐标平面 yOz 的一个法向量为 n＝(1,0,0)，因为AB → ·n＝0， 所以AB →⊥n. 故线段 AB 与坐标平面 yOz 平行．] 2．已知直线 l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为 1，1 2 ，2 ，且 l∥α， 则 m＝________. －8 [∵l∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直． ∴(2，m,1)× 1，1 2 ，2 ＝2＋1 2m＋2＝0. 解得 m＝－8.] 3．与向量 a＝(2，－1,3)共线的单位向量是________． 14 7 ，－ 14 14 ，3 14 14 或 － 14 7 ， 14 14 ，－3 14 14 [∵|a| ＝ 22＋－12＋32 ＝ 14，所以与 a 共线的方向向量为± 1 14(2，－1,3)＝± 14 7 ，∓ 14 14 ，±3 14 14 .与向量 a 共线的方向向量为 14 7 ，－ 14 14 ，3 14 14 或 － 14 7 ， 14 14 ，－3 14 14 .] 4．已知平面α经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个 法向量． [解] 因为 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以AB →＝(1，－2，－4)，AC → ＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为 n＝(x，y，z)，则有 n·AB →＝0， n·AC →＝0， 即 x－2y－4z＝0， 2x－4y－3z＝0. 得 z＝0，x＝2y，令 y＝1，则 x＝2，所以平面α的一个法向量为 n＝(2,1,0)．