2019届二轮复习等比数列的前n项和学案（全国通用）

2019届二轮复习等比数列的前n项和学案（全国通用）

‎【情景激趣我爱读】‎ ‎（1）富人30天内的每天所借给穷人的钱构成了一个首项为10000，公差为10000的等差数列.‎ ‎（2）穷人30天内每天还富人的钱构成了一个首项为1，公比为2的等比数列.‎ ‎（3）帮助穷人其实就是比较两个数列的前项和的大小问题，从而引入等比数列的前项和.‎ ‎【学习目标我预览】‎ 学习目标 实现地点 ‎ 1.掌握等比数列的前项和的求法，并能用公式解决简单的问题.‎ ‎“基础知识我填充”→1；“基础题型我先练”→1,2；“典型例题我剖析”→典例1；“变式思维我迁移”→1；“方法技巧我感悟”→1、2；“易错问题我纠错”→1；“课后巩固我做主”→1、2、4、6、7、9、10、11、‎ ‎2.掌握等比数列前项和的性质，并能灵活利用性质解题.‎ ‎“基础知识我填充”→2；“基础题型我先练”→3；“典型例题我剖析”→典例2；“变式思维我迁移”→2；“方法技巧我感悟”→3；“课后巩固我做主”→3、5、8、9、12‎ ‎【基础知识我填充】‎ ‎1.，，.‎ ‎2.（1） ， ‎ ‎ （2），‎ ‎【数列求和的常用方法】‎ 2. 公式法：等差和等比数列的求和.‎ 3. 错位相消法：通项由一个等比数列和等差数列相乘的那种类型可用此法.学 ‎ 4. 分组求和法：若数列的通项和拆为几个特殊数列，则可分组求和.‎ 5. 裂项法：通项可分裂成两项或者几项的差，通过相加过程相互抵消，剩下有限项的和.‎ ‎【基础题型我先练】‎ ‎1. 答案：B 解析：由得 ‎【典型例题我剖析】‎ 典例1：‎ 我的感悟点评：在等比数列中，一共涉及五个量，其中是基本量（就像前面的等差数列是基本量一样），用列出前n项和或者通项的方程组求解，始终是最基本的方法.同时，每次在运用等比数列前n项和公式时，都不要忘记考虑公比是否等于1，否则就会出错后者不完善.‎ 典例2：‎ 我的基本思路：借鉴例1从方程的思想来考虑则可直接利用前n项和公式列方程组求解；如果注意到下标的规律可联想到等比数列前n项和的性质来求解.‎ 我的解题过程：解法一：设首项为，公比为，由已知可得 解得，‎ 所以 ‎【变式思维我迁移】‎ 1. 我的基本思路：等比数列的前n项和公式有两种形式，由于本题涉及的关系，故可以选择的形式建立方程求解.‎ 我的解题过程：因为，‎ 又 所以可以解得或，显然.‎ 若，由得 ‎，解得.‎ 由得，所以.‎ 若，同理解得.‎ 综上可知，，公比或.‎ 我的感悟点评：等比数列的前n项和公式的两种基本形式对五个量能够知三求二，因此选用公式时，要根据题目特征而定.一般地，只涉及时，选用；涉及时，选用.‎ ‎.‎ 解法二：设，，‎ ‎，则又成等比数列，，‎ 所以.‎ 我的感悟点评：通过两种解法的比较可以看出，利用等比数列前n项和的性质解题，整体处理问题，减少了运算量，提高了正确率，因此解题时要紧盯下标特征有意识的运用相关性质.同时，对于等比数列Sn， S2n－Sn，S3n－S2n， 还经常会有其他形式，比如数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a6， 等，不要被表面形式困住了.‎ ‎【易错问题我纠错】‎ 错解剖析：公式中隐含着限制条件，只有当符合的表达式时可以合并为一个式子，否则应分段表示.‎ 正解：当时 由得：‎ ‎，‎ 即 是以为首项、以2为公比的等比数列，即 当时，上式不适用，故 ‎【方法技巧我归纳】‎ ‎1.教材上的推导方法叫做错位相减法，该方法是也可以用来求解由一个等比数列和一个等差数列相对应的项的乘积构成的新数列的和；我们可以介绍一种等比定理法：‎ 根据等比的性质，有 即.学 ‎ 2. 等比数列的前n项和公式的完整形式应该是 学 ]‎ ‎，因此在应用或者时一定要注意它的前提.‎ ‎3.盯住等比数列项的下标和前n项和的下标，利用等比数列的性质整体求解，是简化运算的一个重要途径.‎ ‎【课后巩固我做主】‎ A层 ‎1.答案：D.解析：由a3＋a6＋a9＋…＋a3n＝可得.‎ ‎2.答案：C解析：由题设可得，‎ 所以，解得或.‎ 2. 答案：A 解析：由成等比数列 可得，，‎ 即，解得.‎ 3. 答案：123 解析：由a8＝a1q7，得128＝q7，‎ ‎∵27＝128，∴q＝2，S6＝＝27－2＝126. 学 ]‎ 4. 答案： 11 解析：设等比数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.又a1＋a2＋a3＝(1－q3)＝1，∴＝，∴S15＝(1－q15)＝[1－(q3)5]＝× [1－(－2)5]＝11.‎ ‎6.解：设1＋a＋a2＋…＋a10‎ ‎①当＝0时，＝1；‎ ‎②当＝1时，＝11；‎ B层 ‎ 11．解：由题设知a1≠0，Sn＝，则 由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0.‎ ‎(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，‎ 因为q<1，解得q＝－1或q＝－2.‎ 当q＝－1时，代入①得a1＝2，‎ 通项公式an＝2×(－1)n－1.‎ 当q＝－2时，代入①得a1＝，通项公式an＝×(－2)n－1.‎ 综上，当q＝－1时， an＝2×(－1)n－1,当q＝－2时，an＝×(－2)n－1. 学 . ‎ ‎③当≠0，≠1时，＝.‎ 当＝0时也符合＝.‎ 综上，1＋a＋a2＋…＋a10=11或.‎ ‎7.解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差d＝－2的等差数列．‎ ‎ 所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，‎ Sn＝19n＋·(－2)＝－n2＋20n.‎ 1. 由题意bn－an＝3n－1，‎ 所以bn＝3n－1－2n＋21，‎ Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)‎ ‎＝－n2＋20n＋.‎ ‎ ]‎ ‎【命题规律我总结】‎ 知识点 命题方式 我的应对策略 ‎（1）等比数列的求和公式 考查求和公式的直接应用或者求和公式的适用前提问题.‎ 在把握公式分和的两种情形的基础上，注意运用方程思想和整体思想来突破和简化运算.‎ ‎（2）等比数列前n项和的性质 将一个等比数列的多个前n项和组合在一起 当等比数列的多个前n项和组合在一起时，观察下标规律，寻求适合的性质简化运算.‎ ‎（3）求和问题的综合 等比等差综合在一块，或者非特殊数列的求和 等差、等比数列的和是基础，非特殊数列的前n项和可以转化为特殊数列的和，或者利用错位相减法、分组求和法、裂项法等来求和. ‎ ‎【疑难问题我存档】‎ 我的疑难问题 我的思维成果 如何选择数列的求和方法？‎ 1. 等差、等比数列用求和公式.‎ 2. ‎，数列为等差数列或者等比数列，则用分组转化法3.，数列分别为等差数列和等比数列，采用错位相减法.‎ ‎4.通项可化为的可用裂项相消法.‎