2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书:第四章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

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2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书:第四章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 ‎ ‎ 一、知识梳理 ‎1.角的有关概念 ‎(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角. ‎ ‎(2)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角.‎ ‎(3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为β=2kπ+α,k∈Z.‎ ‎2.弧度制 ‎(1)定义:在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零.‎ ‎(2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad,1 rad=°.‎ ‎(3)扇形的弧长公式:l=|α|r,扇形的面积公式:S=lr=|α|r2.‎ ‎3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 y叫作α的正弦,记作sin α x叫作α的余弦,记作cos α 叫作α的正切,记作tan α 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 常用结论 ‎1.一个口诀 三角函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.‎ ‎2.一个结论 若α∈,则tan α>α>sin α.‎ ‎3.三角函数定义的推广 设点P(x,y)是角α终边上任意一点且不与原点重合,r=|OP|,则sin α=,cos α=,tan α=.‎ ‎4.象限角 ‎5.轴线角 二、教材衍化 ‎1.角-225°=________弧度,这个角在第________象限.‎ 答案:- 二 ‎2.设角θ的终边经过点P(4,-3),那么2cos θ-sin θ=________. ‎ 解析:由已知并结合三角函数的定义,得sin θ=-,‎ cos θ=,所以2cos θ-sin θ=2×-=.‎ 答案: ‎3.一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为________弧度.‎ 答案: 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)小于90°的角是锐角.(  )‎ ‎(2)三角形的内角必是第一、第二象限角.(  )‎ ‎(3)不相等的角终边一定不相同.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)×‎ 二、易错纠偏 (1)终边相同的角理解出错;‎ ‎(2)三角函数符号记忆不准;‎ ‎(3)求三角函数值不考虑终边所在象限.‎ ‎1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(  )‎ A.2kπ-45°(k∈Z)     B.k·360°+π(k∈Z)‎ C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)‎ 解析:选C.与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有C正确.故选C.‎ ‎2.若sin α<0,且tan α>0,则α是第____象限角.‎ 解析:由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上;由tan α>0知α的终边在第一或第三象限,故α是第三象限角.‎ 答案:三 ‎3.已知角α的终边在直线y=-x上,且cos α<0,则tan α=________.‎ 解析:如图,‎ 由题意知,角α的终边在第二象限,在其上任取一点P(x,y),则y=-x,‎ 由三角函数的定义得tan α===-1.‎ 答案:-1‎ ‎      象限角及终边相同的角(自主练透)‎ ‎1.给出下列四个命题:‎ ‎①-是第二象限角;‎ ‎②是第三象限角;‎ ‎③-400°是第四象限角;‎ ‎④-315°是第一象限角.‎ 其中正确命题的个数为(  )‎ A.1          B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选C.-是第三象限角,故①错误;‎ =π+,所以是第三象限角,故②正确;‎ ‎-400°=-360°-40°,所以-400°是第四象限角,故③正确;‎ ‎-315°=-360°+45°,所以-315°是第一象限角,故④正确,故选C.‎ ‎2.若角α是第二象限角,则是(  )‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 解析:选C.因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,‎ 所以+kπ<<+kπ,k∈Z.‎ 当k为偶数时,是第一象限角;‎ 当k为奇数时,是第三象限角.‎ 所以是第一或第三象限角.‎ ‎3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(  )‎ 解析:选C.当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与π+≤α≤π+表示的范围一样,故选C.‎ ‎4.在-720°~0°范围内所有与45°终边相同的角为________.‎ 解析:所有与45°终边相同的角可表示为:‎ β=45°+k×360°(k∈Z),‎ 则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z),‎ 得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z),‎ 解得-≤k<-(k∈Z),从而k=-2和k=-1,‎ 代入得β=-675°和β=-315°.‎ 答案:-675°和-315°‎ ‎5.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为________.‎ 解析:如图,‎ 在坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个:,;‎ 在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-,-,故满足条件的角α构成的集合为.‎ 答案: ‎(1)终边在某直线上角的求法4步骤 ‎①数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线;‎ ‎②按逆时针方向写出[0,2π]内的角;‎ ‎③再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合;‎ ‎④求并集化简集合.‎ ‎(2)判断象限角的2种方法 ‎①图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角;‎ ‎②转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.‎ ‎(3)确定kα,(k∈N*)的终边位置3步骤 ‎①用终边相同角的形式表示出角α的范围;‎ ‎②再写出kα或的范围;‎ ‎③然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置.‎ ‎[提醒] 终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.  ‎ ‎      扇形的弧长及角度公式(师生共研)‎ ‎ 已知一扇形的圆心角为α ,半径为R,弧长为l.‎ ‎(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l;‎ ‎(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;‎ ‎(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?‎ ‎【解】 (1)α=60°=rad,‎ 所以l=α·R=×10=(cm).‎ ‎(2)由题意得⇒(舍去)或 故扇形圆心角为 rad.‎ ‎(3)由已知得l+2R=20,‎ 所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,‎ 所以当R=5 cm时,S取得最大值25 cm2,‎ 此时l=10 cm,α=2 rad.‎ 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 ‎(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.‎ ‎(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.‎ ‎(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.  ‎ ‎1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是(  )‎ A.2            B.sin 2‎ C. D.2sin 1‎ 解析:选C.如图,‎ ‎∠AOB=2弧度,过O点作OC⊥AB于点C,并延长OC交于D.‎ 则∠AOD=∠BOD=1弧度,‎ 且AC=AB=1,‎ 在Rt△AOC中,‎ AO==,即r=,‎ 从而的长为l=α·r=.故选C.‎ ‎2.(2020·四川乐山、峨眉山二模)‎ ‎《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧对弦长,“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径长为4的弧田(如图所示),按照上述公式计算出弧田的面积为________.‎ 解析:由题意可得∠AOB=,OA=4.在Rt△AOD中,易得∠AOD=,∠DAO=,OD=OA=×4=2,可得矢=4-2=2.由AD=AOsin =4×=2,可得弦AB=2AD=4.所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2.‎ 答案:4+2‎ ‎      三角函数的定义(多维探究)‎ 角度一 利用三角函数的定义求值 ‎ 已知角α的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sin α=,求cos α,tan α的值.‎ ‎【解】 设P(x,y).由题设知x=-,y=m,‎ 所以r2=|OP|2=(-)2+m2(O为原点),r=,‎ 所以sin α===,‎ 所以r==2,3+m2=8,解得m=±.‎ 当m=时,r=2,x=-,y=,‎ 所以cos α==-,tan α=-;‎ 当m=-时,r=2,x=-,y=-,‎ 所以cos α==-,tan α=.‎ 角度二 判断三角函数值的符号 ‎ (1)sin 2·cos 3·tan 4的值(  )‎ A.小于0       B.大于0‎ C.等于0 D.不存在 ‎(2)若sin αtan α<0,且<0,则角α是(  )‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎【解析】 (1)因为<2<3<π<4<,‎ 所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0.‎ 所以sin 2·cos 3·tan 4<0,所以选A.‎ ‎(2)由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,‎ 则α为第二象限角或第三象限角.‎ 由<0可知cos α,tan α异号,则α为第三象限角或第四象限角.综上可知,α为第三象限角.‎ ‎【答案】 (1)A (2)C 角度三 以三角函数定义为背景的创新题 ‎ 如图所示,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(  )‎ ‎【解析】 因为P0(,-),所以∠P0Ox=-.‎ 因为角速度为1,所以按逆时针方向旋转时间t后,得∠POP0=t,所以∠POx=t-.‎ 由三角函数定义,知点P的纵坐标为2sin,‎ 因此d=2.‎ 令t=0,则d=2=.‎ 当t=时,d=0,故选C.‎ ‎【答案】 C ‎(1)用定义法求三角函数值的两种情况 ‎①已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解;‎ ‎②已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,‎ 求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求解.‎ ‎(2)判断三角函数值符号及角位置的方法 已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置,注意终边在坐标轴上的特殊情况.‎ ‎(3)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 ‎①用边界值定出角的终边位置;‎ ‎②根据不等式(组)定出角的范围;‎ ‎③求交集,找单位圆中公共的部分;‎ ‎④写出角的表达式.  ‎ ‎1.(2020·江西九江一模)若sin x<0,且sin(cos x)>0,则角x是(  )‎ A.第一象限角    B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:选D.因为-1≤cos x≤1,且sin(cos x)>0,所以00,根据三角函数值的符号规律可知,角α的终边在第二象限.故选B.‎ ‎4.已知点P(sin x-cos x,-3)在第三象限,则x的可能区间是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.由点P(sin x-cos x,-3)在第三象限,可得sin x-cos x<0,即sin x0,tan θ<0.‎ 所以y=-1+1-1=-1.‎ ‎6.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则x=________.‎ 解析:因为cos α==x,所以x=0或x=或x=-,又α是第二象限角,所以x=-.‎ 答案:- ‎7.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是________.‎ 解析:设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,所以正方形边长为r,所以圆心角的弧度数是=.‎ 答案: ‎8.已知点P(sin θ,cos θ)是角α终边上的一点,其中θ=,则与角α终边相同的最小正角为________.‎ 解析:因为θ=,故P,故α为第四象限角且cos α=,所以α=2kπ+,k∈Z,所以与角α终边相同的最小正角为.‎ 答案: ‎9.已知=-,且lg(cos α)有意义.‎ ‎(1)试判断角α所在的象限;‎ ‎(2)若角α的终边上一点M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.‎ 解:(1)由=-,得sin α<0,‎ 由lg(cos α)有意义,可知cos α>0,‎ 所以α是第四象限角.‎ ‎(2)因为|OM|=1,所以+m2=1,解得m=±.‎ 又α为第四象限角,故m<0,从而m=-,‎ sin α====-.‎ ‎10.若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0).‎ ‎(1)求sin θ+cos θ的值;‎ ‎(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号.‎ 解:(1)因为角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0),‎ 所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,‎ 当a>0时,r=5a,sin θ+cos θ=-.‎ 当a<0时,r=-5a,sin θ+cos θ=.‎ ‎(2)当a>0时,sin θ=∈,‎ cos θ=-∈,‎ 则cos(sin θ)·sin(cos θ)‎ ‎=cos ·sin<0;‎ 当a<0时,sin θ=-∈,‎ cos θ=∈,‎ 则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos·sin >0.‎ 综上,当a>0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负;‎ 当a<0时,cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正.‎ ‎ [综合题组练]‎ ‎1.(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3)(sin α≠0),则cos α=(  )‎ A.   B.-   ‎ C.   D.- 解析:选A.由三角函数定义得tan α=,即=,得3cos α=2sin2α=2(1-cos2α),解得cos α=或cos α=-2(舍去).故选A.‎ ‎2.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是(  )‎ A.若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β B.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β C.若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β D.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β 解析:选D.由三角函数线可知选D.‎ ‎3.如图,‎ 在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点.若圆弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α弧度,则=________.‎ 解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为αr2,在Rt△POB中,PB=rtan α,则△POB的面积为r·rtan α,由题意得r·rtan α=2×αr2,所以tan α=2α,所以=.‎ 答案: ‎4.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l向右运动,Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是________.‎ 解析:设运动速度为m,运动时间为t,圆O的半径为r,‎ 则=AP=tm,根据切线的性质知OA⊥AP,‎ 所以S1=tm·r-S扇形AOB,S2=tm·r-S扇形AOB,‎ 所以S1=S2恒成立.‎ 答案:S1=S2‎ ‎5.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.‎ ‎(1)若点B的横坐标为-,求tan α的值;‎ ‎(2)若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;‎ ‎(3)若α∈,请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.‎ 解:(1)由题意可得B,‎ 根据三角函数的定义得tan α==-.‎ ‎(2)若△AOB为等边三角形,则∠AOB=,故与角α终边相同的角β的集合为.‎ ‎(3)若α∈,则S扇形=αr2=α,‎ 而S△AOB=×1×1×sin α=sin α,故弓形的面积S=S扇形-S△AOB=α-sin α,α∈.‎ ‎6.已知sin α<0,tan α>0.‎ ‎(1)求角α的集合;‎ ‎(2)求终边所在的象限;‎ ‎(3)试判断tan sin cos 的符号.‎ 解:(1)因为sin α<0且tan α>0,‎ 所以α是第三象限角,故角α的集合为 .‎ ‎(2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,‎ 故kπ+<0,cos <0,‎ 故tan sin cos >0,‎ 当是第四象限角时,‎ tan <0,sin <0,cos >0,‎ 故tan sin cos >0.‎ 法二:tan sin cos =·sin cos =sin2 .‎ 由于是第二象限角或第四象限角,‎ 所以sin2 >0,‎ 综上,tan sin cos 取正号.‎
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