- 2021-05-12 发布 |
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文档介绍
2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书:第四章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、知识梳理 1.角的有关概念 (1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角. (2)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角. (3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为β=2kπ+α,k∈Z. 2.弧度制 (1)定义:在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零. (2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad,1 rad=°. (3)扇形的弧长公式:l=|α|r,扇形的面积公式:S=lr=|α|r2. 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 y叫作α的正弦,记作sin α x叫作α的余弦,记作cos α 叫作α的正切,记作tan α 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 常用结论 1.一个口诀 三角函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.一个结论 若α∈,则tan α>α>sin α. 3.三角函数定义的推广 设点P(x,y)是角α终边上任意一点且不与原点重合,r=|OP|,则sin α=,cos α=,tan α=. 4.象限角 5.轴线角 二、教材衍化 1.角-225°=________弧度,这个角在第________象限. 答案:- 二 2.设角θ的终边经过点P(4,-3),那么2cos θ-sin θ=________. 解析:由已知并结合三角函数的定义,得sin θ=-, cos θ=,所以2cos θ-sin θ=2×-=. 答案: 3.一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为________弧度. 答案: 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)三角形的内角必是第一、第二象限角.( ) (3)不相等的角终边一定不相同.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 二、易错纠偏 (1)终边相同的角理解出错; (2)三角函数符号记忆不准; (3)求三角函数值不考虑终边所在象限. 1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2kπ-45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 解析:选C.与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有C正确.故选C. 2.若sin α<0,且tan α>0,则α是第____象限角. 解析:由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上;由tan α>0知α的终边在第一或第三象限,故α是第三象限角. 答案:三 3.已知角α的终边在直线y=-x上,且cos α<0,则tan α=________. 解析:如图, 由题意知,角α的终边在第二象限,在其上任取一点P(x,y),则y=-x, 由三角函数的定义得tan α===-1. 答案:-1 象限角及终边相同的角(自主练透) 1.给出下列四个命题: ①-是第二象限角; ②是第三象限角; ③-400°是第四象限角; ④-315°是第一象限角. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C.-是第三象限角,故①错误; =π+,所以是第三象限角,故②正确; -400°=-360°-40°,所以-400°是第四象限角,故③正确; -315°=-360°+45°,所以-315°是第一象限角,故④正确,故选C. 2.若角α是第二象限角,则是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 解析:选C.因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, 所以+kπ<<+kπ,k∈Z. 当k为偶数时,是第一象限角; 当k为奇数时,是第三象限角. 所以是第一或第三象限角. 3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 解析:选C.当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与π+≤α≤π+表示的范围一样,故选C. 4.在-720°~0°范围内所有与45°终边相同的角为________. 解析:所有与45°终边相同的角可表示为: β=45°+k×360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z), 得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z), 解得-≤k<-(k∈Z),从而k=-2和k=-1, 代入得β=-675°和β=-315°. 答案:-675°和-315° 5.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为________. 解析:如图, 在坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个:,; 在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-,-,故满足条件的角α构成的集合为. 答案: (1)终边在某直线上角的求法4步骤 ①数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线; ②按逆时针方向写出[0,2π]内的角; ③再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合; ④求并集化简集合. (2)判断象限角的2种方法 ①图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角; ②转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角. (3)确定kα,(k∈N*)的终边位置3步骤 ①用终边相同角的形式表示出角α的范围; ②再写出kα或的范围; ③然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置. [提醒] 终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍. 扇形的弧长及角度公式(师生共研) 已知一扇形的圆心角为α ,半径为R,弧长为l. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角; (3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? 【解】 (1)α=60°=rad, 所以l=α·R=×10=(cm). (2)由题意得⇒(舍去)或 故扇形圆心角为 rad. (3)由已知得l+2R=20, 所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25, 所以当R=5 cm时,S取得最大值25 cm2, 此时l=10 cm,α=2 rad. 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.sin 2 C. D.2sin 1 解析:选C.如图, ∠AOB=2弧度,过O点作OC⊥AB于点C,并延长OC交于D. 则∠AOD=∠BOD=1弧度, 且AC=AB=1, 在Rt△AOC中, AO==,即r=, 从而的长为l=α·r=.故选C. 2.(2020·四川乐山、峨眉山二模) 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧对弦长,“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径长为4的弧田(如图所示),按照上述公式计算出弧田的面积为________. 解析:由题意可得∠AOB=,OA=4.在Rt△AOD中,易得∠AOD=,∠DAO=,OD=OA=×4=2,可得矢=4-2=2.由AD=AOsin =4×=2,可得弦AB=2AD=4.所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2. 答案:4+2 三角函数的定义(多维探究) 角度一 利用三角函数的定义求值 已知角α的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sin α=,求cos α,tan α的值. 【解】 设P(x,y).由题设知x=-,y=m, 所以r2=|OP|2=(-)2+m2(O为原点),r=, 所以sin α===, 所以r==2,3+m2=8,解得m=±. 当m=时,r=2,x=-,y=, 所以cos α==-,tan α=-; 当m=-时,r=2,x=-,y=-, 所以cos α==-,tan α=. 角度二 判断三角函数值的符号 (1)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 (2)若sin αtan α<0,且<0,则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】 (1)因为<2<3<π<4<, 所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0. 所以sin 2·cos 3·tan 4<0,所以选A. (2)由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号, 则α为第二象限角或第三象限角. 由<0可知cos α,tan α异号,则α为第三象限角或第四象限角.综上可知,α为第三象限角. 【答案】 (1)A (2)C 角度三 以三角函数定义为背景的创新题 如图所示,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( ) 【解析】 因为P0(,-),所以∠P0Ox=-. 因为角速度为1,所以按逆时针方向旋转时间t后,得∠POP0=t,所以∠POx=t-. 由三角函数定义,知点P的纵坐标为2sin, 因此d=2. 令t=0,则d=2=. 当t=时,d=0,故选C. 【答案】 C (1)用定义法求三角函数值的两种情况 ①已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解; ②已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标, 求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求解. (2)判断三角函数值符号及角位置的方法 已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置,注意终边在坐标轴上的特殊情况. (3)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 ①用边界值定出角的终边位置; ②根据不等式(组)定出角的范围; ③求交集,找单位圆中公共的部分; ④写出角的表达式. 1.(2020·江西九江一模)若sin x<0,且sin(cos x)>0,则角x是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:选D.因为-1≤cos x≤1,且sin(cos x)>0,所以0查看更多