湖北省荆门市2020届高三下学期4月模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

湖北省荆门市2020届高三下学期4月模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年荆门市高三年级高考模拟考试 文科数学试题 一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.)‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的基本运算求即可.‎ ‎【详解】,.则,故 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算,所以基础题.‎ ‎2. 若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）‎ A. z的虚部为﹣i B. |z|=2‎ C. z表示的点在第四象限 D. z的共轭复数为﹣1﹣i ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得答案.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∴z的虚部为；|z|；z表示的点的坐标为,在第四象限；‎ z的共轭复数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念与复数模的求法,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.‎ - 23 -‎ ‎3. 对于实数m，“”是“方程1表示椭圆”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的标准方程满足条件入手得出m的取值范围,进而得出正确选项.‎ ‎【详解】由“方程1表示椭圆“可得,解得且,‎ 所以“”是 “方程1表示椭圆”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及充分必要条件的判定.‎ ‎4. 我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ）‎ A. 多斤 B. 少斤 C. 多斤 D. 少斤 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知各等人所得金数组成等差数列,根据等差数列的性质即可计算出问题答案.‎ ‎【详解】设十等人得金从高到低依次a1,a2,……,a10,则{an}为等差数列,‎ 设公差为d,则由题意可知；‎ ‎∴a2,a9=1,‎ - 23 -‎ ‎∴d；‎ ‎∴a1﹣a9=﹣8d.‎ 即等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多斤.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质,等差数列的应用,属于中档题.‎ ‎5. 店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄､白､蓝､红，黑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出总的事件个数,再求出符合题意的事件,求出概率.‎ ‎【详解】从黄､白､蓝､红,黑选2种颜色有(黄,白),(黄,蓝),(黄,红),(黄,黑),(白,蓝),‎ ‎(白,红),(白,黑),(蓝,红),(蓝,黑),(红,黑)共10中情况.‎ 选颜色中含有白色有(黄,白), (白,蓝) ,(白,红),(白,黑)共4中情况. ‎ 则从黄､白､蓝､红,黑选2种颜色,则所选颜色中含有白色的概率,‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查概率,属于基础题.‎ ‎6. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．‎ 根据该走势图，下列结论正确的是（ ）‎ - 23 -‎ A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差 D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】对于A，并无周期变化，故A错，‎ 对于B，并不是不断减弱，中间有增强．故B错，‎ 对于C，10月份的波动大小大于11月份，所以方差要大．故C错，‎ 对于D，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．故D正确，‎ 故选：D．‎ ‎7. 已知，满足，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的化简公式得到,由指数的运算公式得到=，由对数的性质得到>0,，进而得到结果.‎ ‎【详解】已知,=,>0, ‎ 进而得到.‎ 故答案为A.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系.‎ ‎8. 函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为偶函数,可排除C，D,由,可排除A,由此得出正确选项.‎ ‎【详解】函数的定义域为{x|x≠0},,则f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除C，D；‎ 又,可排除A.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数性质确定函数图象,属于基础题.‎ ‎9. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出的值为（ ）‎ - 23 -‎ A. 80 B. 192 C. 448 D. 36‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,该框图利用秦九韶算法计算变量v的值,根据算法功能反复执行循环体计算即可.‎ ‎【详解】初始：v=1， k=1；‎ 第一步：v=1×2+21=4，k=2；‎ 第二步：v=4×2+22=12，k=3；‎ 第三步：v=12×2+23=32，k=4；‎ 第四步：v=32×2+24=80，k=5；‎ 第五步：v=80×2+25=192，k=6；‎ 因为此时,故停止循环,输出v的值为192.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要是考查了程序框图的循环结构,注意本题中的k与v值计算式子中的k值相差1,容易出错.同时本题考查了学生的逻辑推理能力以及计算能力,属于基础题.‎ ‎10. 已知直线与抛物线相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与抛物线联立，利用判别式等于零求得的值，再由离心率公式可得结果.‎ ‎【详解】由，得，‎ 直线与抛物线相切，，‎ 双曲线方程为，‎ 可得，‎ 所以离心率，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及双曲线的方程及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ ‎11. 已知函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. (0，2) B. [0，1) C. (﹣∞，1] D. (0，1]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f(x)=lnx+ln(a﹣x)的图象关于直线x=1对称⇒f(2﹣x)=f(x),可求得a=2,利用复合函数的单调性解求得答案.‎ ‎【详解】∵函数f(x)=lnx+ln(a﹣x)的图象关于直线x=1对称,‎ ‎∴f(2﹣x)=f(x),即ln(2﹣x)+ln[a﹣(2﹣x)]=lnx+ln(a﹣x),‎ 即ln(x+a﹣2)+ln(2﹣x)=lnx+ln(a﹣x),‎ ‎∴a=2.‎ - 23 -‎ ‎∴f(x)=lnx+ln(2﹣x)=lnx(2﹣x),.‎ 由于y=x(2﹣x)=﹣(x﹣1)2+1为开口向下的抛物线,其对称轴为x=1,定义域为(0,2),‎ ‎∴它的递增区间为(0,1],‎ 由复合函数的单调性知,‎ f(x)=lnx+ln(2﹣x)的单调递增区间为(0,1],‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,突出考查复合函数的单调性的应用,考查推理与运算能力,属于中档题.‎ ‎12. 已知点M，N，P，Q在同一个球面上，且，则该球的表面积是，则四面体MNPQ体积的最大值为（ ）‎ A. 10 B. C. 12 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得△PNM为直角三角形,画出图形,可知要使四面体MNPQ体积取最大值,则球心O在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上,由球的表面积求得半径,利用勾股定理求出三棱锥的高,可得四面体MNPQ体积的最大值.‎ ‎【详解】如图,‎ 由MN=3,NP=4,MP=5,‎ 可知，所以∠PNM=90°‎ 设四面体MNPQ的外接球的半径为R,由球的表面积是,‎ - 23 -‎ 得,即R.‎ 要使四面体MNPQ体积取最大值,‎ 则球心O在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上,‎ 设QO′=h.‎ 在Rt△OO′P中,OP2=OO′2+O′P2,‎ ‎∴R2=(h﹣R)2,即,得h=5,‎ ‎∴四面体MNPQ体积的最大值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查多面体的外接球,考查数形结合的解题思想方法,考查计算能力,是中档题.‎ 二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 已知平面向量与的夹角为45°，，||=1，则=_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,由向量的坐标计算可得,又由数量积的计算公式可得,进而计算可得答案.‎ ‎【详解】根据题意,,则,‎ 又由与的夹角为45°, ,则,‎ 则；‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的计算,涉及向量模的计算,属于基础题.‎ ‎14. 已知数列的前n项和，，则数列的前项和_____.‎ ‎【答案】‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎2Sn=3an﹣1(n∈N*),n≥2时,可得：2an=2Sn﹣2Sn﹣1,化为：an=3an﹣1,又n=1时,2a1=3a1﹣1,解得a1.利用等比数列的通项公式可得an.可得bn.利用裂项求和即可得出.‎ ‎【详解】2Sn=3an﹣1(n∈N*),‎ n≥2时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3an﹣1﹣(3an﹣1﹣1),化为：an=3an﹣1,‎ 又n=1时,2a1=3a1﹣1,解得a1=1.‎ ‎∴数列{αn}是等比数列,公比为3,首项为1.‎ ‎∴an=3n﹣1.‎ bn=1+log3an=1+n﹣1=n.‎ ‎∴.‎ 则数列的前n项和Tn=1.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式､裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎15. 设锐角△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求C,然后结合锐角三角形可求B的范围,再结合正弦函数的性质可求.‎ ‎【详解】∵(acosB+bcosA)=2csinC,‎ 由正弦定理可得,(sinAcosB+sinBcosA)=2sinCsinC,‎ 即sin(A+B)=2sinCsinCsinC,‎ - 23 -‎ 所以sinC,‎ ‎∵C为锐角,则C,‎ 由题意可得,,‎ 故,‎ 由正弦定理可得,,‎ 所以csinB.‎ 故答案为：()‎ ‎【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理及和差角公式的运用,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎16. 直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：(x﹣2)2+(y﹣3)2=2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时，直线l：x﹣y﹣5=0上总存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意,点P在以C为圆心以1为半径的圆上,要使得∠APB恒成立,则点P在以AB为直径的圆内部,所以AB的最小值为圆的直径的最小值.‎ ‎【详解】因为P为MN的中点,所以CP⊥MN,‎ 又因为CM⊥CN,所以三角形CMN为等腰直角三角形,所以CP=1,‎ 即点P在以C为圆心,以1为半径的圆上,点P所在圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,‎ - 23 -‎ 要使得∠APB恒成立,则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部,‎ 而AB在直线l：x﹣y﹣5=0上,‎ C到直线l：x﹣y﹣5=0的距离d.‎ 所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r=31,‎ 所以AB的最小值为2r=62.‎ 故答案为：62.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的关系的应用,考查了点与圆的位置关系,圆的性质等,属于难题.‎ 三､解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)‎ ‎17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）点D为BC延长线上一点，CD=4，，求△ABC的面积.‎ ‎【答案】（1）.（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知结合和差角公式进行化简可求cosC,进而可求C；‎ ‎(2)由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】(1)∵sinBsinC=cos(A﹣C)+cosB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=2sinAsinC,‎ ‎∴sinB=2sinA,即b=2a,‎ ‎∵bcosC=﹣a,‎ ‎∴cosC,‎ ‎∵C∈(0,π),‎ ‎∴,‎ ‎(2)由余弦定理可得,AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD,‎ - 23 -‎ 所以13,‎ 解可得b=3或b=1,‎ 因为b=2a,‎ 所以或,‎ 当时,S△ABC,‎ 当时,S△ABC.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及和差角公式在求解三角形中的应用,属于中档试题.‎ ‎18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，PA=2AB=2，AC⊥CD，PD与平面PAC所成角的余弦值为.‎ ‎（1）证明：平面PAD；‎ ‎（2）点M为PB上一点，且，试判断点M的位置.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）点M的位置是靠近P的四等分点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）由PA⊥平面ABCD,得PA⊥CD,求解三角形证明∠CAD=60°,结合∠BCA=60°,得到BC∥AD,由直线与平面平行的判定可得BC∥平面PAD；‎ ‎（2）设,则VM﹣PCD=λVB﹣PCD=λVP﹣BCD,求出三棱锥P﹣BCD的体积,结合求得λ值,可得点M的位置.‎ ‎【详解】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,‎ 又AC⊥CD,CA∩PA=A,∴CD⊥平面PAC,‎ ‎∴PD与平面PAC所成角为∠DPC,‎ 在Rt△PCD中,cos∠DPC,‎ 在Rt△PAC中,∵PC,∴PD=2,‎ 在Rt△PAD中,∵PA=2,∴AD=2,‎ 在Rt△ACD中,求得∠CAD=60°.‎ 又∠BCA=60°,∴在平面ABCD中,得到BC∥AD,‎ 而AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,‎ ‎∴BC∥平面PAD；‎ ‎（2）解：∵点M在PB上,设.‎ 则VM﹣PCD=λVB﹣PCD=λVP﹣BCD,‎ ‎∵,‎ ‎∴,得.‎ ‎∴点M的位置是靠近P的四等分点.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题.‎ ‎19. 某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数“和“区分度“两个指标中，难度系数，区分度.‎ ‎（1）某次数学考试(满分为150分)，随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人的成绩分别为147，142，137；普通班三人的成绩分别为97，102，113.通过样本估计本次考试的区分度(精确0.01).‎ ‎（2）如表表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据：‎ 难度系数x ‎0.64‎ ‎0.71‎ ‎0.74‎ ‎0.76‎ ‎0.77‎ ‎0.82‎ 区分度y ‎0.18‎ ‎0.23‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.22‎ ‎0.15‎ ‎①计算相关系数r，|r|<0.75时，认为相关性弱；|r|≥0.75时，认为相关性强.通过计算说明，能否利用线性回归模型描述y与x的关系(精确到0.01).‎ ‎②ti=|xi﹣0.74|(i=1，2，…，6)，求出y关于t的线性回归方程，并预测x=0.75时y的值(精确到0.01).‎ 附注：参考数据：‎ - 23 -‎ 参考公式：相关系数r，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎【答案】（1）0.25；（2）①理由见解析，不能利用线性回归模型描述y与x的关系； ② 回归直线方程，预测值为0.24‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先求出平均成绩,即可求出区分度；‎ ‎（2）①由题意计算､,求出相关系数,即可判断两变量相关性强弱；‎ ‎②计算回归系数,写出线性回归方程,利用方程计算t=10时的值.‎ ‎【详解】（1）实验班三人成绩的平均值为,‎ 普通班三人成绩的平均值为,‎ 故估计本次考试的区分度为0.25,‎ ‎（2）①由题中的表格可知(0.64+0.71+0.74+0.76+0.77+0.82)=0.74,‎ ‎(0.18+0.23+0.24+0.24+0.22+0.15)=0.21,‎ 故r0.13.‎ 因为|r|<0.75,所以相关性弱,故不能利用线性回归模型描述y与x关系；‎ ‎②y与t的值如下表 ‎ t ‎0.10‎ ‎0.03‎ ‎0‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.08‎ 区别度y ‎0.18‎ ‎0.23‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.22‎ ‎0.15‎ - 23 -‎ 因为0.86,‎ 所以a0.21+0.860.25,‎ 所以所求回归直线方程y=﹣0.86t+0.25,‎ 当x=0.75时,此时t=0.01,则y≈0.24‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求法,考查线性相关关系强弱的判定,考查计算能力,是中档题.‎ ‎20. 已知函数，已知函数在x=1处的切线方程为.‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求证：当时，.‎ ‎【答案】（1）1.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先对函数求导,然后结合导数的几何意义即可求解；‎ ‎(2)要证原不等式成立,可考虑构造函数,然后转化为求解相应函数的范围,结合导数及函数性质可求.‎ ‎【详解】(1)f′(x)=ex﹣2ax,‎ 由题意可知,f′（1）=e﹣2a=e﹣2,‎ 所以a=1；‎ ‎(2)证明：∵函数在x=1处的切线方程为y=(e﹣2)x+1.‎ 故可猜想：当x>0且x≠1时,f(x)的图象恒在切线y=(e﹣2)x+1的上方,‎ 下证当x>0时,f(x)≥(e﹣2)x+1,‎ 设g(x)=f(x)﹣(e﹣2)x+1,x>0,则g′(x)=ex﹣2x﹣e+2,g″(x)=ex﹣2,‎ ‎∴g′(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,‎ 因为g′(0)=3﹣e,g′（1）=0,00,g(x)单调递增,‎ 当x∈(x0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,‎ 又g(0)=g（1）=0,‎ 所以g(x)=ex﹣x2﹣(e﹣2)x﹣1≥0,‎ 则g(x)=ex +(2-e)x﹣1≥x2，由 所以 令h(x)=x﹣lnx﹣1,x>0‎ 则,‎ 易得x=1是函数h(x)的极小值点,‎ 所以h(x)≥h（1）=0,‎ 故x≥lnx+1‎ 所以,当x=1时取等号,‎ 即证.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,需要根据题意分析函数的单调性,并确定极值点的范围,再求极值证明.属于难题.‎ ‎21. 已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点在椭圆C上，满足.‎ ‎（1）求椭圆C标准方程；‎ ‎（2）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x=1交于点K(K介于M，N两点之间).‎ ‎①问：直线PM与PN的斜率之和能否为定值，若能，求出定值并写出详细计算过程；若不能，请说明理由；‎ ‎②求证：.‎ ‎【答案】（1）.（2）①定值为；②证明见解析 - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设F1 (﹣c,0),F2(c,0),由可求c=1,再把点P的坐标代入椭圆方程结合a2=b2+c2,即可求出a,b,c的值,从而得到椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）①显然直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为：yk(x﹣1),与椭圆方程联立,利用△=0解出k的值,进而求出直线l2的斜率,设直线l2方程为：y,M(x1,y1),N(x2,y2),与椭圆方程联立,利用韦达定理代入kPM+kPN,化简可得kPM+kPN=0为定值；②由①知∠MPK=∠NPK,‎ 在△PMK和△PNK中,由正弦定理得,所以,即|PM|•|KN|=|PN|•|KM|成立.‎ ‎【详解】（1）设F1 (﹣c,0),F2(c,0),c>0,则(﹣c﹣1,)•(c﹣1,)=1﹣c2,‎ ‎∴c=1,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：；‎ ‎（2）①显然直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为：yk(x﹣1),即y=k(x﹣1)‎ 联立方程,消去y得：(4k2+3)x2+(12k﹣8k2)x+(3﹣2k)2﹣12=0,‎ 由题意可知△=(12k﹣8k2)2﹣4×(4k2+3)[(3﹣2k)2﹣12]=0,解得k,‎ - 23 -‎ ‎∵直线l2与l1的倾斜角互补,∴直线l2的斜率为,‎ 设直线l2方程为：y,M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 联立方程,整理得x2+tx+t2﹣3=0,‎ 由△=t2﹣4(t2﹣3)>0,得t2<4,‎ 且x1+x2=﹣t,,‎ ‎∴直线PM与PN的斜率之和kPM+kPN0；‎ ‎②由①知PM､PN关于直线x=1对称,即∠MPK=∠NPK,‎ 在△PMK和△PNK中,由正弦定理得,‎ 又因为∠MPK=∠NPK,∠PKM+∠PKN=180°,‎ ‎∴,‎ ‎∴|PM|•|KN|=|PN|•|KM|成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆方程,以及直线与椭圆位置关系,考查了直线倾斜角与斜率的关系,是难题.‎ ‎22. 极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以､轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线，，与曲线分别交于异于极点O的四点A，B，C，D.‎ ‎（1）若曲线关于对称，求的值，并求的参数方程；‎ ‎（2）若 |，当时，求的范围.‎ ‎【答案】（1），的参数方程为 (为参数).（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换.‎ ‎（2）利用极径的应用及三角函数关系式的变换的应用及正弦型函数的性质的应用求出结果.‎ ‎【详解】（1）曲线C1的极坐标方程为,即,‎ 转换为直角坐标方程为,转换为标准式为.‎ 故的参数方程为 (为参数)‎ 曲线C2的极坐标方程为,转换为直角坐标方程为.‎ 由于曲线C1关于C2对称,所以圆心的坐标(1,)经过直线的方程,‎ 所以,解得a=2.‎ 故的参数方程为 (为参数),.‎ ‎（2）根据题意整理得|OA|=4cos()=4sinα,|OB|=4cos().‎ ‎|OC|=4cos()=4cosα,|OD|=4cos() ,‎ 所以f(α)=|OA|•|OB|﹣|OC|•|OD|=16[sinαcos(α)+]‎ ‎=16sin(2).‎ 由于,所以,‎ 所以 ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题.‎ - 23 -‎ ‎23. 已知为正实数，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据基本不等式即可证明；‎ ‎（2）转化为y()+z()+x(),根据基本不等式即可证明.‎ ‎【详解】（1）∵(x+y+z)2=4,‎ ‎∴x2+y2+z2+2xy+2yz+2yz=4,‎ ‎∴4﹣z2=x2+y2+2xy+2yz+2yz≥2xy+2xy+2yz+2yz=4xy+2yz+2yz.‎ 即4xy+2yz+2xz+z2≤4；‎ ‎（2）y()+z()+x()≥2(x+y+z)=4,‎ 当且仅当x=y=z时取等号.‎ 故xy(x2+y2)+yz(y2+z2)+xz(x2+z2)≥4xyz.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的证明,考查了推理论证能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ - 23 -‎ - 23 -‎