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文档介绍
中考数学试题汇编之圆的概念与性质
2013中考全国100份试卷分类汇编 圆的垂径定理 1、(2013年潍坊市)如图,⊙O的直径AB=12,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP:AP=1:5,则CD的长为( ). A. B. C. D. 答案:D. 考点:垂径定理与勾股定理. 点评:连接圆的半径,构造直角三角形,再利用勾股定理与垂径定理解决. 2、(2013年黄石)如右图,在中,,,,以点为圆心,为半径的圆与交于点,则的长为 C A D B A. B. C. D. 答案:C 解析:由勾股定理得AB=5,则sinA=,作CE⊥AD于E,则AE=DE,在Rt△AEC中,sinA=,即,所以,CE=,AE=,所以,AD= 3、(2013河南省)如图,CD是的直径,弦于点G,直线与相切与点D,则下列结论中不一定正确的是【】 (A) (B)∥ (C)AD∥BC (D) 【解析】由垂径定理可知:(A)一定正确。由题可知:,又因为,所以∥,即(B)一定正确。因为所对的弧是劣弧,根据同弧所对的圆周角相等可知(D)一定正确。 【答案】C 4、(2013•泸州)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( ) A. cm B. cm C. cm或cm D. cm或cm 考点: 垂径定理;勾股定理. 专题: 分类讨论. 分析: 先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论. 解答: 解:连接AC,AO, ∵⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm, ∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm, 当C点位置如图1所示时, ∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB, ∴OM===3cm, ∴CM=OC+OM=5+3=8cm, ∴AC===4cm; 当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm, ∵OC=5cm, ∴MC=5﹣3=2cm, 在Rt△AMC中,AC===2cm. 故选C. 点评: 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 5、(2013•广安)如图,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB=8cm,CD=3cm,则圆O的半径为( ) A. cm B. 5cm C. 4cm D. cm 考点: 垂径定理;勾股定理.3718684 分析: 连接AO,根据垂径定理可知AC=AB=4cm,设半径为x,则OC=x﹣3 ,根据勾股定理即可求得x的值. 解答: 解:连接AO, ∵半径OD与弦AB互相垂直, ∴AC=AB=4cm, 设半径为x,则OC=x﹣3, 在Rt△ACO中,AO2=AC2+OC2, 即x2=42+(x﹣3)2, 解得:x=, 故半径为cm. 故选A. 点评: 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容,难度一般. 6、(2013•绍兴)绍兴市著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为( ) A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m 考点: 垂径定理的应用;勾股定理.3718684 分析: 连接OA,根据桥拱半径OC为5m,求出OA=5m,根据CD=8m,求出OD=3m,根据AD=求出AD,最后根据AB=2AD即可得出答案. 解答: 解:连接OA, ∵桥拱半径OC为5m, ∴OA=5m, ∵CD=8m, ∴OD=8﹣5=3m, ∴AD===4m, ∴AB=2AD=2×4=8(m); 故选;D. 点评: 此题考查了垂径定理的应用,关键是根据题意做出辅助线,用到的知识点是垂径定理、勾股定理. 7、(2013•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是( ) A. B. C. D. 考点: 垂径定理;勾股定理 分析: 根据垂径定理可得AC=BC=AB,在Rt△OBC中可求出OB. 解答: 解:∵OC⊥弦AB于点C, ∴AC=BC=AB, 在Rt△OBC中,OB==. 故选B. 点评: 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容. 8、(2013•嘉兴)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为( ) A. 2 B. 8 C. 2 D. 2 考点: 垂径定理;勾股定理;圆周角定理. 专题: 探究型. 分析: 先根据垂径定理求出AC的长,设⊙O的半径为r,则OC=r﹣2,由勾股定理即可得出r的值,故可得出AE的长,连接BE,由圆周角定理可知∠ABE=90°,在Rt△BCE中,根据勾股定理即可求出CE的长. 解答: 解:∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8, ∴AC=AB=4, 设⊙O的半径为r,则OC=r﹣2, 在Rt△AOC中, ∵AC=4,OC=r﹣2, ∴OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r﹣2)2,解得r=5, ∴AE=2r=10, 连接BE, ∵AE是⊙O的直径, ∴∠ABE=90°, 在Rt△ABE中, ∵AE=10,AB=8, ∴BE===6, 在Rt△BCE中, ∵BE=6,BC=4, ∴CE===2. 故选D. 点评: 本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 9、(2013•莱芜)将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为( ) A. B. C. D. 考点: 圆锥的计算. 分析: 过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,由折叠的性质可知OD为半径的一半,而OA为半径,可求∠A=30°,同理可得∠B=30°,在△AOB中,由内角和定理求∠AOB,然后求得弧AB的长,利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径,最后利用勾股定理求得其高即可. 解答: 解:过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C, 由折叠的性质可知,OD=OC=OA, 由此可得,在Rt△AOD中,∠A=30°, 同理可得∠B=30°, 在△AOB中,由内角和定理, 得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120° ∴弧AB的长为=2π 设围成的圆锥的底面半径为r, 则2πr=2π ∴r=1cm ∴圆锥的高为=2 故选A. 点评: 本题考查了垂径定理,折叠的性质,特殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形. 10、(2013•徐州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则⊙O的半径为( ) A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 考点: 垂径定理;勾股定理. 专题: 探究型. 分析: 连接OC,先根据垂径定理求出PC的长,再根据勾股定理即可得出OC的长. 解答: 解:连接OC, ∵CD⊥AB,CD=8, ∴PC=CD=×8=4, 在Rt△OCP中, ∵PC=4,OP=3, ∴OC===5. 故选C. 点评: 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 12、(2013•宜昌)如图,DC 是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,连接BC,DB,则下列结论错误的是( ) A. B. AF=BF C. OF=CF D. ∠DBC=90° 考点: 垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理. 分析: 根据垂径定理可判断A、B,根据圆周角定理可判断D,继而可得出答案. 解答: 解:∵DC是⊙O直径,弦AB⊥CD于F, ∴点D是优弧AB的中点,点C是劣弧AB的中点, A、=,正确,故本选项错误; B、AF=BF,正确,故本选项错误; C、OF=CF,不能得出,错误,故本选项错误; D、∠DBC=90°,正确,故本选项错误; 故选C. 点评: 本题考查了垂径定理及圆周角定理,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容,难度一般. 13、(2013•毕节地区)如图在⊙O中,弦AB=8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则⊙O的半径( ) A. 5 B. 10 C. 8 D. 6 考点: 垂径定理;勾股定理. 专题: 探究型. 分析: 连接OB,先根据垂径定理求出BC的长,在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度. 解答: 解:连接OB, ∵OC⊥AB,AB=8, ∴BC=AB=×8=4, 在Rt△OBC中,OB===. 故选A. 点评: 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 14、(2013•南宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O的半径为( ) A. 4 B. 5 C. 4 D. 3 考点: 垂径定理;勾股定理;圆周角定理.3718684 专题: 探究型. 分析: 先根据∠BAC=∠BOD可得出=,故可得出AB⊥CD,由垂径定理即可求出DE的长,再根据勾股定理即可得出结论. 解答: 解:∵∠BAC=∠BOD, ∴=, ∴AB⊥CD, ∵AE=CD=8, ∴DE=CD=4, 设OD=r,则OE=AE﹣r=8﹣r, 在RtODE中,OD=r,DE=4,OE=8﹣r, ∵OD2=DE2+OE2,即r2=42+(8﹣r)2,解得r=5. 故选B. 点评: 本题考查的是垂径定理及圆周角定理,熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键. 15、(2013年佛山)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是( ) A.3 B.4 C. D. 分析:过点O作OD⊥AB于点D,由垂径定理可求出BD的长,在Rt△BOD中,利用勾股定理即可得出OD的长. 解:如图所示: 过点O作OD⊥AB于点D, ∵OB=3,AB=3,OD⊥AB, ∴BD=AB=×4=2, 在Rt△BOD中,OD===. 故选C. 点评:本题考查的是垂径定理,根据题意画出图形,利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键 16、(2013甘肃兰州4分、12)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水面最深地方的高度为2cm,则该输水管的半径为( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 考点:垂径定理的应用;勾股定理. 分析:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,由垂径定理可知AD=AB,设OA=r,则OD=r﹣2,在Rt△AOD中,利用勾股定理即可求r的值. 解答:解:如图所示:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA, ∵OD⊥AB, ∴AD=AB=×8=4cm, 设OA=r,则OD=r﹣2, 在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,即r2=(r﹣2)2+42, 解得r=5cm. 故选C. 点评:本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 17、(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为 24 . 考点: 一次函数综合题. 分析: 根据直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,再求出OD的长,再根据以原点O为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案. 解答: 解:∵直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4), ∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦, ∵点D的坐标是(3,4), ∴OD=5, ∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0), ∴圆的半径为13, ∴OB=13, ∴BD=12, ∴BC的长的最小值为24; 故答案为:24. 点评: 此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置. 18、(13年安徽省4分、10)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点,在以下判断中,不正确的是( ) A、当弦PB最长时,ΔAPC是等腰三角形。 B、当ΔAPC是等腰三角形时,PO⊥AC。 C、当PO⊥AC时,∠ACP=300. D、当∠ACP=300,ΔPBC是直角三角形。 19、(2013•宁波)如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=4,弦CD=DE=4,连结OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和为 10π . 考点: 扇形面积的计算;勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系. 专题: 综合题. 分析: 根据弦AB=BC,弦CD=DE,可得∠BOD=90°,∠BOD=90°,过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,在四边形OFCG中可得∠FCD=135°,过点C作CN∥OF,交OG于点N,判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形,分别求出NG、ON,继而得出OG,在Rt△OGD中求出OD,即得圆O的半径,代入扇形面积公式求解即可. 解答: 解: ∵弦AB=BC,弦CD=DE, ∴点B是弧AC的中点,点D是弧CE的中点, ∴∠BOD=90°, 过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G, 则BF=FG=2,CG=GD=2,∠FOG=45°, 在四边形OFCG中,∠FCD=135°, 过点C作CN∥OF,交OG于点N, 则∠FCN=90°,∠NCG=135°﹣90°=45°, ∴△CNG为等腰三角形, ∴CG=NG=2, 过点N作NM⊥OF于点M,则MN=FC=2, 在等腰三角形MNO中,NO=MN=4, ∴OG=ON+NG=6, 在Rt△OGD中,OD===2, 即圆O的半径为2, 故S阴影=S扇形OBD==10π. 故答案为:10π. 点评: 本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系,综合考察的知识点较多,解答本题的关键是求出圆0的半径,此题难度较大. 20、(2013•宁夏)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 2 cm. 考点: 垂径定理;勾股定理.3718684 分析: 通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD的长求出,通过垂径定理可求出AB的长. 解答: 解:过点O作OD⊥AB交AB于点D, ∵OA=2OD=2cm, ∴AD===cm, ∵OD⊥AB, ∴AB=2AD=cm. 点评: 本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用. 21、(2013•包头)如图,点A、B、C、D在⊙O上,OB⊥AC,若∠BOC=56°,则∠ADB= 28 度. 考点: 圆周角定理;垂径定理.3718684 分析: 根据垂径定理可得点B是中点,由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC,继而得出答案. 解答: 解:∵OB⊥AC, ∴=, ∴∠ADB=∠BOC=28°. 故答案为:28. 点评: 此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半. 22、(2013•株洲)如图AB是⊙O的直径,∠BAC=42°,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是 48 度. 考点: 垂径定理. 分析: 根据点D是弦AC的中点,得到OD⊥AC,然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案. 解答: 解:∵AB是⊙O的直径, ∴OA=OC ∵∠A=42° ∴∠ACO=∠A=42° ∵D为AC的中点, ∴OD⊥AC, ∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°. 故答案为:48. 点评: 本题考查了垂径定理的知识,解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线. 23、(2013•黄冈)如图,M是CD的中点,EM⊥CD,若CD=4,EM=8,则所在圆的半径为 . 考点: 垂径定理;勾股定理.3481324 专题: 探究型. 分析: 首先连接OC,由M是CD的中点,EM⊥CD,可得EM过⊙O的圆心点O,然后设半径为x,由勾股定理即可求得:(8﹣x)2+22=x2,解此方程即可求得答案. 解答: 解:连接OC, ∵M是CD的中点,EM⊥CD, ∴EM过⊙O的圆心点O, 设半径为x, ∵CD=4,EM=8, ∴CM=CD=2,OM=8﹣OE=8﹣x, 在Rt△OEM中,OM2+CM2=OC2, 即(8﹣x)2+22=x2, 解得:x=. ∴所在圆的半径为:. 故答案为:. 点评: 此题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用. 24、(2013•绥化)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为 2 . 考点: 垂径定理;勾股定理. 专题: 计算题. 分析: 连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长. 解答: 解:连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD=OC=1, ∵OC⊥AB, ∴D为AB的中点, 则AB=2AD=2=2=2. 故答案为:2. 点评: 此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握垂径定理是解本题的关键. 25、(2013哈尔滨)如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若⊙O 的半径为,CD=4,则弦AC的长为 . 考点:垂径定理;勾股定理。切线的性质。 分析::本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键。 解答:连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2,由于CD∥AB得EOA三点共线,连OC, 在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4,再直角三角形AEC中由勾股定理得AC= 26、(2013•张家界)如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD= 80° . 考点: 圆周角定理;垂径定理.3718684 分析: 根据垂径定理可得点B是中点,由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC,继而得出答案. 解答: 解:∵,⊙O的直径AB与弦CD垂直, ∴=, ∴∠BOD=2∠BAC=80°. 故答案为:80°. 点评: 此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半. 27、(2013•遵义)如图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC= 52° 度. 考点: 圆周角定理;垂径定理.3718684 分析: 由OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,根据垂径定理的即可求得:=,又由圆周角定理,即可求得答案. 解答: 解:∵OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB, ∴=, ∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°. 故答案为:52°. 点评: 此题考查了垂径定理与圆周角定理.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用. 28 C A B C G H E F 第16题图 、(2013陕西)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点, 且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点, 直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为7, 则GE+FH的最大值为 . 考点:此题一般考查的是与圆有关的计算,考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系,及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。 解析:本题考查圆心角与圆周角的关系应用,中位线及最值问题。连接OA,OB, 因为∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,所以OA=OB=AB=7,因为E、F中AC、BC的中点, 所以EF==3.5,因为GE+FH=GH-EF,要使GE+FH最大,而EF为定值,所以GH取最大值时GE+FH有最大值,所以当GH为直径时,GE+FH的最大值为14-3.5=10.5 29、(2013年广州市)如图7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,与轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),的半径为,则点P的坐标为 ____________. 分析:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,先由垂径定理求出OD的长,再根据勾股定理求出PD的长,故可得出答案. 解:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP, ∵A(6,0),PD⊥OA, ∴OD=OA=3, 在Rt△OPD中, ∵OP=,OD=3, ∴PD===2, ∴P(3,2). 故答案为:(3,2). 点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键 30、(2013年深圳市)如图5所示,该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,同时测得EG的长为3米,HF的长为1米,测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离,即MN的长)为2米,求小桥所在圆的半径。 解析: (2013•白银)如图,在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为点E. (1)若OC=5,AB=8,求tan∠BAC; (2)若∠DAC=∠BAC,且点D在⊙O的外部,判断直线AD与⊙O的位置关系,并加以证明. 考点: 切线的判定;勾股定理;垂径定理. 专题: 计算题. 分析: (1)根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB,AE=AB=4,再根据勾股定理计算出OE=3,则EC=2,然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值; (2)根据垂径定理得到AC弧=BC弧,再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC ,由于∠DAC=∠BAC,所以∠AOC=∠BAD,利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°,然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线. 解答: 解:(1)∵半径OC垂直于弦AB, ∴AE=BE=AB=4, 在Rt△OAE中,OA=5,AE=4, ∴OE==3, ∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2, 在Rt△AEC中,AE=4,EC=2, ∴tan∠BAC===; (2)AD与⊙O相切.理由如下: ∵半径OC垂直于弦AB, ∵AC弧=BC弧, ∴∠AOC=2∠BAC, ∵∠DAC=∠BAC, ∴∠AOC=∠BAD, ∵∠AOC+∠OAE=90°, ∴∠BAD+∠OAE=90°, ∴OA⊥AD, ∴AD为⊙O的切线. 点评: 本题考查了切线的判定定理:过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理. 31、(2013•黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C, (1)求证:CB∥PD; (2)若BC=3,sin∠P=,求⊙O的直径. 考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;锐角三角函数的定义. 专题: 几何综合题. 分析: (1)要证明CB∥PD,可以求得∠1=∠P,根据=可以确定∠C=∠P,又知∠1=∠C,即可得∠1=∠P; (2)根据题意可知∠P=∠CAB,则sin∠CAB=,即=,所以可以求得圆的直径. 解答: (1)证明:∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C ∴∠1=∠P ∴CB∥PD; (2)解:连接AC ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90° 又∵CD⊥AB, ∴=, ∴∠P=∠CAB, ∴sin∠CAB=, 即=, 又知,BC=3, ∴AB=5, ∴直径为5. 点评: 本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质,解题时细心是解答好本题的关键. 32、(2013•恩施州)如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G. (1)求证:CG是⊙O的切线. (2)求证:AF=CF. (3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长. 考点: 切线的判定;等腰三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.3718684 专题: 证明题. 分析: (1)连结OC,由C是劣弧AE的中点,根据垂径定理得OC⊥AE,而CG∥AE,所以CG⊥OC,然后根据切线的判定定理即可得到结论; (2)连结AC、BC,根据圆周角定理得∠ACB=90°,∠B=∠1,而CD⊥AB,则∠CDB=90°,根据等角的余角相等得到∠B=∠2,所以∠1=∠2,于是得到AF=CF; (3)在Rt△ADF中,由于∠DAF=30°,FA=FC=2,根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1,AD=,再由AF∥CG,根据平行线分线段成比例得到DA:AG=DF:CF 然后把DF=1,AD=,CF=2代入计算即可. 解答: (1)证明:连结OC,如图, ∵C是劣弧AE的中点, ∴OC⊥AE, ∵CG∥AE, ∴CG⊥OC, ∴CG是⊙O的切线; (2)证明:连结AC、BC, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠2+∠BCD=90°, 而CD⊥AB, ∴∠B+∠BCD=90°, ∴∠B=∠2, ∵AC弧=CE弧, ∴∠1=∠B, ∴∠1=∠2, ∴AF=CF; (3)解:在Rt△ADF中,∠DAF=30°,FA=FC=2, ∴DF=AF=1, ∴AD=DF=, ∵AF∥CG, ∴DA:AG=DF:CF,即:AG=1:2, ∴AG=2. 点评: 本题考查了圆的切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定. 33、(2013•资阳)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD. (1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r; (2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数. 考点: 垂径定理;含30度角的直角三角形;圆周角定理;翻折变换(折叠问题). 分析: (1)过点O作OE⊥AC于E,根据垂径定理可得AE=AC,再根据翻折的性质可得OE=r,然后在Rt△AOE中,利用勾股定理列式计算即可得解; (2)连接BC,根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB,根据直角三角形两锐角互余求出∠B,再根据翻折的性质得到所对的圆周角,然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角,计算即可得解. 解答: 解:(1)如图,过点O作OE⊥AC于E, 则AE=AC=×2=1, ∵翻折后点D与圆心O重合, ∴OE=r, 在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2, 即r2=12+(r)2, 解得r=; (2)连接BC, ∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠BAC=25°, ∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°, 根据翻折的性质,所对的圆周角等于所对的圆周角, ∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°. 点评: 本题考查了垂径定理,勾股定理的应用,翻折的变换的性质,以及圆周角定理,(1)作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键,(2)根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键.查看更多