2018-2019学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

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2018-2019学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

‎2018-2019学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1.不等式的解集是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先分解因式再解不等式.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以或,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解一元二次不等式,考查基本求解能力,属基础题.‎ ‎2.若 的三个内角满足,则( ).‎ A.一定是直角三角形 B.一定是钝角三角形 C.一定是锐角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】先根据正弦定理得边的关系,再根据余弦定理求最大角的余弦值,最后根据符号确定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 因此最大角为C,设,则,所以C为钝角,即一定是钝角三角形,选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理与余弦定理,考查基本分析与求解能力,属基础题.‎ ‎3.已知向量,,,若,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量共线坐标表示得方程,解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线,考查基本分析与求解能力,属基础题.‎ ‎4.若,且,则下列不等式一定成立的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据不等式性质确定选项.‎ ‎【详解】‎ 当时,不成立;‎ 因为,所以;‎ 当时,不成立;‎ 当时,不成立;‎ 所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式性质,考查基本分析判断能力,属基础题.‎ ‎5.平面向量与的夹角为60°,则( )‎ A. B.12 C.4 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据向量数量积定义得,再根据向量的模求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积以及向量的模,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎6.在中,角所对的边分别是,若,则为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:,则有,则有 ‎,即,即,则有,即,因为,‎ 所以,故有,解得,因为,所以,故选C.‎ ‎【考点】1.正弦定理;2.边角互化 ‎7.已知,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先寻找与、的关系,再根据不等式性质得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为+2(),所以,选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式性质,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎8.若数列满足,记数列的前项积为,则下列说法错误的是( )‎ A.无最大值 B.有最大值 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求数列周期,再根据周期确定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以 因此数列为周期数列,,有最大值2,,‎ 因为,‎ 所以为周期数列,,有最大值4,,‎ 综上选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列周期,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎9.设等差数列的前项和为,且,则使得的最小的为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据条件得首项与公差关系,再结合选项判断符号.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以 当时,,‎ 当时,‎ 所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式与求和公式,考查基本分析判断能力,属中档题.‎ ‎10.数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和.即:.记该数列的前项和为,则下列结论正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系,即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎,‎ 所以,选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查裂项相消法,考查基本分析判断能力,属中档题.‎ 二、填空题 ‎11.已知等比数列满足:,且,则_____;_____‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据条件列方程组解得首项与公比,再求.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以或,‎ 因为,所以 ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列首项与公比,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎12.已知等差数列的前项和记为,若,则_____;_____‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据等差数列和项性质求.根据首项与公差求.‎ ‎【详解】‎ 因为等差数列中仍成等差数列,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列求和公式以及性质,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎13.在中,角所对的边分别是,已知.若,则的面积为____;若有两解,则的取值范围是______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据等腰三角形性质可得的面积,根据正弦定理确定有两解条件.‎ ‎【详解】‎ 若,则,因此的面积为 由正弦定理得,‎ 因为有两解,所以 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理以及三角形面积,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.‎ ‎14.已知 是不共线的两个单位向量, 若,则_____;若对任意的,都不可能垂直,则在上的投影为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据向量平行可列方程解得;先根据向量数量积探求的值,再根据向量投影公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为, 是不共线的两个单位向量,所以 由题意得, 对任意的恒成立,所以 所以在上的投影为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线、垂直与投影,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.‎ ‎15.已知平面向量满足,则的夹角等于_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由向量垂直的充分必要条件可得,据此求得向量夹角的余弦值,然后求解向量的夹角即可.‎ ‎【详解】‎ 由得,,即,‎ 据此可得:,‎ ‎,‎ 又与的夹角的取值范围为,故与的夹角为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的数量积,向量垂直的充分必要条件,向量夹角的计算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16.已知中,的平分线交对边BC于点D,,且,则实数的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角形面积公式列函数关系式,再根据三角形内角范围求结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得,‎ 所以,‎ 即 ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.‎ ‎17.已知数列满足,且当时,,则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】变形递推关系式,再根据叠乘法求结果.‎ ‎【详解】‎ 当时,,所以,‎ 因此当时,‎ 所以 因为当时,,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用叠乘法求数列通项,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.‎ 三、解答题 ‎18.已知函数 ‎(Ⅰ)若不等式的解集是,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)若,且不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据不等式解集与对应方程根的关系列式求解,(Ⅱ)分离变量,转化为求对应函数最值问题.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)因为不等式的解集是,‎ 所以为两根,且,‎ 因此 ‎(Ⅱ)因为,所以不等式可化为 因为当时,‎ 所以,因为,解得 ‎【点睛】‎ 本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及不等式恒成立问题,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.‎ ‎19.在中,角所对的边分别是,已知的周长为,且 ‎(Ⅰ)求边的长;‎ ‎(Ⅱ)若的面积为,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)先根据正弦定理得边的关系,再根据周长求;(Ⅱ)根据三角形面积公式得的值,再根据余弦定理求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)因为,所以由正弦定理得,‎ 因为周长为,所以 ‎(Ⅱ)因为的面积为,所以,‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.‎ ‎20.如图,在梯形中,‎ ‎(Ⅰ)若,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)若,求数量积的值 ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据平面向量基本定理求解,(Ⅱ)根据向量数量积定义求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)因为,所以,,‎ 因此,‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理以及向量数量积,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.‎ ‎21.设公差不为的等差数列中,且构成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列的前项和满足:,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据条件列方程解得公差,再根据等差数列通项公式得结果,(Ⅱ)先根据和项求通项,再根据错位相减法求和.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)因为构成等比数列,所以 ‎(0舍去)‎ 所以 ‎(Ⅱ)当时,‎ 当时,‎ ‎ ,‎ 相减得 所以 即 ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式以及错位相减法求和,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎22.已知数列满足, .‎ ‎(Ⅰ)求证:数列是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)比较的大小,并用数学归纳法证明;‎ ‎(Ⅲ)设,数列的前项和为,若对任意恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见证明(Ⅱ)(Ⅲ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据等比数列定义证明,(Ⅱ)先求,再根据数学归纳法证明,(Ⅲ)先化简,再利用裂项相消法求和得,最后根据最大值得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)‎ 且,是以3为首项,为公比的等比数列,‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:‎ ‎ ‎ ‎,下面用数学归纳法证明 ‎(1)当时,‎ ‎(2)假设当时,,‎ 当时,,即当时,结论成立,‎ 由(1)(2)得,‎ ‎(Ⅲ)因为 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证等比数列、数学归纳法以及裂项相消法求和,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.‎
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