2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9-2　直线、圆的位置关系（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9-2　直线、圆的位置关系（讲解部分）

§9.2 直线 、 圆的位置关系 高考数学 考点一　两直线的位置关系 1.两条直线的位置关系 　　特别地,当直线 l 1 与 l 2 垂直时, k 1 · k 2 =-1, A 1 A 2 + B 1 B 2 =0. 斜截式 一般式 l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 =0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 =0 相交 k 1 ≠ k 2 A 1 B 2 - A 2 B 1 ≠ 0 平行 ①      k 1 = k 2 且 b 1 ≠ b 2        或   重合 k 1 = k 2 且 b 1 = b 2 A 1 B 2 - A 2 B 1 = A 1 C 2 - A 2 C 1 = B 1 C 2 - B 2 C 1 = 0 考点清单 　　2.距离公式 (1) 两点间的距离: 平面上的两点 P 1 ( x 1 , y 1 )、 P 2 ( x 2 , y 2 )间的距离公式:| P 1 P 2 |=②             . 特别地,原点 O (0,0)与任一点 P ( x , y )的距离| OP |=   . (2) 点到直线的距离: 点 P ( x 0 , y 0 )到直线 Ax + By + C =0的距离 d =③        . (3) 两条平行线间的距离: 两条平行线 Ax + By + C 1 =0与 Ax + By + C 2 =0( C 1 ≠ C 2 )间 的距离 d =④             . 知识拓展　(1)用点到直线的距离公式时,直线方程必须化为一般式,还要 注意公式中的分子含有绝对值符号,分母含有根号. (2)求两平行线间的距离时,可转化为其中一条直线上的点到另一条直线的 距离,也可以代入公式求解,但此时必须先将两直线方程转化为一般形式且 x 、 y 的系数分别对应相等. (3)点到几种特殊直线的距离,可直接求出: (i) 点 P ( x 0 , y 0 )到 x 轴的距离 d =| y 0 |; (ii) 点 P ( x 0 , y 0 )到 y 轴的距离 d =| x 0 |; (iii) 点 P ( x 0 , y 0 )到与 x 轴平行的直线 y = a 的距离 d =| y 0 - a |; (iv) 点 P ( x 0 , y 0 )到与 y 轴平行的直线 x = b 的距离 d =| x 0 - b |. 考点二　直线与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 (1)根据点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 的大小判断: d > r ⇔ 点在圆外; d = r ⇔ 点 在圆上; d < r ⇔ 点在圆内. (2)根据点 M ( x 0 , y 0 )与圆的方程( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 的关系判断: ( x 0 - a ) 2 +( y 0 - b ) 2 > r 2 ⇔ 点在圆外; ( x 0 - a ) 2 +( y 0 - b ) 2 = r 2 ⇔ 点在圆上; ( x 0 - a ) 2 +( y 0 - b ) 2 < r 2 ⇔ 点在圆内. 2.直线与圆的位置关系的判定 设直线 l : Ax + By + C =0( A 2 + B 2 ≠ 0),圆 C :( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0), d 为圆心( a , b )到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ . 位置关系 图形 判断方法 公共点个数 代数法 几何法 相交   Δ >0 d < r 2 相切   Δ =0 d = r 1 相离   Δ <0 d > r 0 3.与圆的切线有关的结论 (1)过圆 x 2 + y 2 = r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 )的切线方程为 x 0 x + y 0 y = r 2 ; (2)过圆( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 )的切线方程为( x 0 - a )( x - a )+( y 0 - b )( y - b )= r 2 ; (3)过圆 x 2 + y 2 = r 2 外一点 P ( x 0 , y 0 )作圆的两条切线,切点为 A , B ,则过 A 、 B 两点的 直线方程为 x 0 x + y 0 y = r 2 ; (4)过圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0( D 2 + E 2 -4 F >0)外一点 P ( x 0 , y 0 )引圆的切线,切点为 T , 则切线长| PT |=   . 4.直线与圆相交 直线与圆相交时,若 l 为弦长, d 为弦心距, r 为半径,则有 r 2 = d 2 +   ,即 l =2   , 求弦长或已知弦长求其他量时,一般用此公式. 考点三　圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为 d ,两圆的半径分别为 R , r ( R > r ),则 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形           公共点个数 0 1 2 1 0 d , R , r 的关系 d > R + r d = R + r R - r < d < R + r d = R - r d < R - r 公切线条数 4 3 2 1 0 知识拓展    1.圆系方程 (1)同心圆系方程:( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0),其中 a , b 是定值, r 是参数; (2)过直线 Ax + By + C =0与圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0交点的圆系方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ ( Ax + By + C )=0( λ ∈R); (3)过圆 C 1 : x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 =0和圆 C 2 : x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 =0交点的圆系方程: x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 + λ ( x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 )=0( λ ≠ -1)(该圆系不含圆 C 2 ,解题时, 注意检验圆 C 2 是否满足题意,以防漏解). 2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程 设圆 C 1 : x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 =0,圆 C 2 : x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 =0,若两圆相交,则有一 条公共弦,两圆方程相减得( D 1 - D 2 ) x +( E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 =0,即圆 C 1 与 C 2 的公共弦 所在直线的方程. 知识拓展　(1)当两圆相交时,两圆方程相减,所得的直线方程即为两圆公 共弦所在的直线方程,这一结论的前提是两圆相交,如果不确定两圆是否相 交,两圆方程相减得到的方程不一定是两圆公共弦所在的直线方程. (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心. (3)求公共弦长时,几何法比代数法简单且易求. 考法一　两直线的位置关系 知能拓展 例1 　已知直线 l 1 : ax +2 y +6=0和 l 2 : x +( a -1) y + a 2 -1=0. (1)试判断 l 1 与 l 2 是否平行; (2)当 l 1 ⊥ l 2 时,求 a 的值. 解析　 解法一:(1)当 a =1时,直线 l 1 的方程为 x +2 y +6=0,直线 l 2 的方程为 x =0, l 1 不平行于 l 2 ; 当 a ≠ 1时,两条直线的方程可化为 l 1 : y =-   x -3, l 2 : y =   x -( a +1),由 l 1 ∥ l 2 ⇔   解得 a =-1. 综上可知,当 a =-1时, l 1 ∥ l 2 ,否则 l 1 与 l 2 不平行. (2)当 a =1时,直线 l 1 与 l 2 不垂直; 当 a ≠ 1时,两条直线的方程可化为 l 1 : y =-   x -3, l 2 : y =   x -( a +1), 由 l 1 ⊥ l 2 得-   ·   =-1,解得 a =   . 解法二:(1)由 A 1 B 2 - A 2 B 1 =0,得 a ( a -1)-1 × 2=0; 由 A 1 C 2 - A 2 C 1 ≠ 0,得 a ( a 2 -1)-1 × 6 ≠ 0, 因此 l 1 ∥ l 2 ⇔   ⇔   ⇒ a =-1. 故当 a =-1时, l 1 ∥ l 2 ,否则 l 1 与 l 2 不平行. (2)由 A 1 A 2 + B 1 B 2 =0,得 a +2( a -1)=0,故 a =   . 方法总结     位置关系的判断方法选择 ①若给的是斜截式方程,则选择运用斜率 k 和截距 b 来判断; ②若给的是一般式方程,则用一般式方程 Ax + By + C =0中的系数 A , B 来判断. 考法二 　直线和圆的位置关系 例2　 已知点 P (   +1,2-   ), M (3,1),圆 C :( x -1) 2 +( y -2) 2 =4. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程; (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程,并求出切线长. 解题导引       解析 　由题意得圆心为 C (1,2),半径 r =2. (1)∵(   +1-1) 2 +(2-   -2) 2 =4,∴点 P 在圆 C 上. 又 k PC =   =-1,∴切线的斜率 k =-   =1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y -(2-   )= x -(   +1),即 x - y +1-2   =0. (2)∵(3-1) 2 +(1-2) 2 =5>4,∴点 M 在圆 C 外部. 当过点 M 的直线的斜率不存在时,直线方程为 x =3,即 x -3=0.又点 C (1,2)到直 线 x -3=0的距离 d =3-1=2= r ,∴直线 x -3=0是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为 y -1= k ( x -3),即 kx - y +1-3 k =0,则圆心 C 到切线的距离 d =   = r =2, 解得 k =   .∴切线方程为 y -1=   ( x -3),即3 x -4 y -5=0. 综上可得,过点 M 的圆 C 的切线方程为 x -3=0或3 x -4 y -5=0.∵| MC |=   =   ,∴过点 M 的圆 C 的切线长为   =   =1. 方法总结　 1.求过圆上一点( x 0 , y 0 )的切线方程的方法 若切线斜率存在且不为零,则先求切点和圆心连线的斜率 k ,由垂直关系知 切线斜率为-   ,由点斜式可求切线方程;若切线斜率不存在或为零,则可直 接写出直线的方程为 x = x 0 或 y = y 0 ,检验该直线是不是切线. 2.求过圆外一点( x 0 , y 0 )的圆的切线方程的方法 (1)几何法:当切线斜率存在时,设斜率为 k ,则切线方程为 y - y 0 = k ( x - x 0 ),即 kx - y + y 0 - kx 0 =0,由圆心到切线的距离等于半径列出关于 k 的方程,解方程即可得到 k 的值,从而可得切线方程;当切线斜率不存在时,可直接写出切线的方程为 x = x 0 . (2)代数法:当切线斜率存在时,设斜率为 k ,则切线方程为 y - y 0 = k ( x - x 0 ),即 y = kx - kx 0 + y 0 ,代入圆的方程,得到一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ =0求得 k 值,从而 得到切线方程;当切线斜率不存在时,可直接写出切线的方程为 x = x 0 . 例3 　已知以点 A (-1,2)为圆心的圆与直线 l 1 : x +2 y +7=0相切,过点 B (-2,0)的动 直线 l 与圆 A 相交于 M , N 两点, Q 是 MN 的中点. (1)求圆 A 的方程; (2)当| MN |=2   时,求直线 l 的方程. 解题导引　 (1)由直线 l 1 与圆 A 相切求出圆 A 的半径 r ,从而求出圆 A 的方程. (2)当直线 l 的斜率不存在时,写出直线 l 的方程,检验是否满足条件;当直线 l 的斜率存在时,设出直线 l 的方程,由| MN |=2   =2   =2   及点 A 到直线 l 的距离公式,可求出直线 l 的斜率 k ,从而得出 l 的方程. 解析　 (1)设圆 A 的半径为 r , 因为圆 A 与直线 l 1 : x +2 y +7=0相切, 所以 r =   =2   , 所以圆 A 的方程为( x +1) 2 +( y -2) 2 =20. (2)当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x =-2, 将 x =-2代入圆 A 的方程,得(-2+1) 2 +( y -2) 2 =20,解得 y =2 ±   , 此时| MN |=2   ,则 x =-2符合题意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的斜率为 k , 则直线 l 的方程为 y = k ( x +2),即 kx - y +2 k =0. 连接 AQ ,因为 Q 是 MN 的中点,所以 AQ ⊥ MN , 所以   = r 2 -| AQ | 2 , 又| MN |=2   , r =2   , 所以| AQ |=   =1. 即   =1,∴( k -2) 2 = k 2 +1. 解得 k =   . 所以直线 l 的方程为 y =   ( x +2),即3 x -4 y +6=0. 综上,满足题意的直线 l 的方程为 x =-2或3 x -4 y +6=0. 方法总结 　圆的弦长的求法:①几何法:设圆的半径为 r ,弦心距为 d ,弦长为 l , 则   = r 2 - d 2 ;②代数法:设弦所在直线 y = kx + b 与圆( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0)相交 于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )两点,可列方程组   消去 y 后得到一个关于 x 的一元二次方程,从而求得 x 1 + x 2 , x 1 x 2 ,则弦长| AB |=     . 考法三 　圆和圆的位置关系 例4　 已知圆 C 1 : x 2 + y 2 -2 x +10 y -24=0和圆 C 2 : x 2 + y 2 +2 x +2 y -8=0,则两圆的公共 弦长为 　　　     . 解题导引     解析 　联立两圆的方程得   两式相减整理得 x -2 y +4=0, 即为两圆公共弦所在直线的方程. 解法一:设两圆相交于点 A , B ,则 A , B 两点的坐标满足方程组   解得   或   所以| AB |=   =2   ,即公共弦长为2   . 解法二: x 2 + y 2 -2 x +10 y -24=0可化为( x -1) 2 +( y +5) 2 =50,则圆心坐标为(1,-5),半径 r =5   .圆心到直线 x -2 y +4=0的距离 d =   =3   , 设两圆的公共弦长为 l ,由 r 2 = d 2 +   ,得 l =2   =2   =2   ,即 两圆的公共弦长为2   . 答案　 2