【物理】2020届一轮复习人教版第四章第5节天体运动与人造卫星学案

【物理】2020届一轮复习人教版第四章第5节天体运动与人造卫星学案

第5节　天体运动与人造卫星 ‎1．三种宇宙速度 第一宇宙速度 ‎(环绕速度)[注1]‎ v1＝7.9 km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度 ‎(脱离速度)[注2]‎ v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 ‎(逃逸速度)‎ v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 ‎2．地球同步卫星的特点[注3]‎ ‎(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。‎ ‎(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s。‎ ‎(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。‎ ‎(4)高度一定：据G＝mr得r＝≈4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈3.6×104 km(为恒量)。‎ ‎(5)速率一定：运行速度v＝≈3.08 km/s(为恒量)。‎ ‎(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。‎ ‎3．极地卫星和近地卫星[注4]‎ ‎(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。‎ ‎(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。‎ ‎[注解释疑] ‎ ‎[注1] 第一宇宙速度是人造地球卫星的最大环绕速度。‎ ‎[注2] 第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系：v2＝v1。‎ ‎[注3] 地球同步卫星的运行参数都相同，但卫星的质量不一定相同。‎ ‎[注4] 极地卫星和近地卫星的轨道平面一定通过地球的球心。‎ ‎[深化理解]‎ ‎1．人造卫星绕地球做匀速圆周运动时，卫星在其轨道上所受的重力等于万有引力，提供向心力。‎ ‎2．卫星轨道半径越大，卫星的向心加速度、角速度、线速度越小，周期越大。‎ ‎3．天体运动和人造卫星问题的实质就是万有引力定律与匀速圆周运动的综合。‎ ‎[基础自测]‎ 一、判断题 ‎(1)同步卫星可以定点在北京市的正上方。(×)‎ ‎(2)不同的同步卫星的质量不同，但离地面的高度是相同的。(√)‎ ‎(3)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。(×)‎ ‎(4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关。(√)‎ ‎(5)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s。(×)‎ ‎(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。(√)‎ ‎(7)若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。(√)‎ 二、选择题 ‎1．[鲁科版必修2 P101 T4改编](多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道(　　)‎ A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆 B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆 C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的 D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的 解析：选CD　人造地球卫星在运行时，由于地球对卫星的万有引力提供它做匀速圆周运动的向心力，轨道的圆心一定与地球的中心重合，不可能是地球上除地心以外的某一点，选项A错误；由于地球同时绕地轴自转，所以卫星的轨道平面不可能与某一经线所决定的平面共面，B错误；若卫星在赤道平面内，则其圆轨道可以有不同高度，周期也可以不同，故卫星可以相对地面静止，也可以相对地面运动，选项C、D均正确。‎ ‎2．(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。关于这些卫星，以下说法正确的是(　　)‎ A．5颗同步卫星的轨道半径都相同 B．5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内 C．导航系统所有卫星的运行速度一定都大于第一宇宙速度 D．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小 解析：选AB　所有同步卫星的轨道都位于赤道平面内，轨道半径和运行周期都相同，A、B均正确；由v＝ 可知，导航系统所有卫星运行的速度都小于第一宇宙速度，且运行轨道半径越大，周期越大，C、D均错误。‎ ‎3．[粤教版必修2 P55 T4改编]已知月球质量与地球质量之比约为1∶80，月球半径与地球半径之比约为1∶4，则月球上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比最接近(　　)‎ A．9∶2　　　 B．2∶9　　　 C．18∶1　　　 D．1∶18‎ 解析：选B　第一宇宙速度等于卫星的轨道半径与中心天体的半径相等时的卫星的速度，根据牛顿第二定律有G＝m，由此得第一宇宙速度v＝ ，即 v∝ 。设月球上的第一宇宙速度为v1，地球上的第一宇宙速度为v2，则有＝ ＝ ＝，接近，可知B正确。‎ 高考对本节内容的考查，主要集中在对宇宙速度的理解及第一宇宙速度的计算、卫星的发射、运行、变轨等几个方面，考查的方式以选择题为主，难度不大。‎ 考点一　宇宙速度的理解与计算[基础自修类]‎ ‎[题点全练]‎ ‎1．[对宇宙速度的理解]‎ ‎(多选)据悉，我国的火星探测计划将于2018年展开。2018年左右我国将进行第一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器。已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法中正确的是(　　)‎ A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以 C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度 D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的 解析：选CD　要将火星探测器发射到火星上去，必须脱离地球引力，即发射速度要大于第二宇宙速度，火星探测器仍在太阳系内运转，因此从地球上发射时，发射速度要小于第三宇宙速度，选项A、B错误，C正确；由第一宇宙速度的概念，得G＝m，得v1＝ ，故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球的第一宇宙速度的比值约为＝，选项D正确。‎ ‎2．[第二宇宙速度的计算]‎ 使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球的半径为地球半径R的4倍，质量为地球质量M的2倍，地球表面重力加速度为g。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为(　　)‎ A. 　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　地球的第一宇宙速度v1＝，星球表面的重力加速度g′＝＝＝g，星球的第一宇宙速度v1′＝＝ ＝ ，该星球的第二宇宙速度v2′＝v1′＝＝v1，故选项C正确。‎ ‎3．[宇宙速度与运行轨迹的关系]‎ ‎(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先从发射点P进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则(　　)‎ A．该卫星在P点的速度大于7.9 km/s，且小于11.2 km/s B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度 D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ 解析：选ACD　地球卫星的发射速度应大于7.9 km/s且小于11.2 km/s，故A正确；环绕地球做圆周运动的人造卫星，最大的运行速度是7.9 km/s，故B错误；P点比Q点离地球近些，故在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度，C正确；卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故D正确。‎ ‎[名师微点]‎ ‎1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m得 v1＝ ＝ m/s ‎＝7.9×103 m/s。‎ 方法二：由mg＝m得 v1＝＝ m/s＝7.9×103 m/s。‎ 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π ＝5 075 s≈85 min。‎ ‎2．宇宙速度与运动轨迹的关系 ‎(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。‎ ‎(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。‎ ‎(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。‎ ‎(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。‎ 考点二　卫星运行参量的分析与比较[基础自修类]‎ ‎[题点全练]‎ ‎1．[卫星运行参量的计算]‎ ‎(多选)质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为G0，它在离地面的距离等于地球半径R的圆形轨道上运行时的(　　)‎ A．周期为4π 　　　　　　 B．速度为 C．动能为G0R D．重力为G0‎ 解析：选AC　由万有引力提供向心力，则有 G＝m＝mr＝ma ①‎ 由题意可知，r＝2R。 ②‎ 质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为G0，‎ 根据万有引力等于重力得：‎ GM＝gR2＝R2 ③‎ 由①②③解得：周期T＝4π ，则A正确；‎ 由①②③解得速度v＝ ，则B错误；‎ 动能为Ek＝G0R，则C正确；‎ 由a＝，则重力为ma＝，则D错误。‎ ‎2．[不同轨道卫星运行参量的比较]‎ ‎(2018·江苏高考)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　)‎ A．周期　　　　　　　　　 B．角速度 C．线速度 D．向心加速度 解析：选A　“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五＜r四。由万有引力提供向心力得G＝mr＝mrω2＝m＝ma。T＝ ∝，T五＜T四，故A正确。ω＝∝，ω五＞ω四，故B错误。v＝ ∝ ，v五＞v四，故C错误。a＝∝，a五＞a四，故D错误。‎ ‎3．[赤道上的物体与卫星运行参量的分析与计算]‎ 有a、b、c、d四颗地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图，则有(　　)‎ A．a的向心加速度等于重力加速度g B．b在相同时间内转过的弧长最长 C．c在4 h内转过的圆心角是 D．d的运行周期有可能是20 h 解析：选B　对于卫星a，根据万有引力定律、牛顿第二定律列式可得G－N＝ma 向，又由G＝mg，故卫星a的向心加速度小于重力加速度g，A项错误；由G＝m得，v＝ ，故轨道半径越小，线速度越大，故b、c、d三颗卫星的线速度的大小关系为vb>vc>vd，而卫星a与同步卫星c的周期相同，故卫星c的线速度大于卫星a的线速度，B项正确；由c是地球同步卫星，可知卫星c在4 h内转过的圆心角是，C项错误；由G＝m2r得，T＝2π ，轨道半径越大，周期越长，故卫星d的周期大于同步卫星c的周期，D项错误。‎ ‎[名师微点]‎ ‎1．四个分析 ‎“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系。‎ G＝ ‎2．四个比较 ‎(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。‎ ‎(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。‎ ‎(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。‎ ‎(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。‎ 考点三　卫星变轨问题分析[师生共研类]‎ ‎1．卫星发射及变轨过程概述 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。‎ ‎(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。‎ ‎(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。‎ ‎(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。‎ ‎2．三个运行物理量的大小比较 ‎(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。‎ ‎(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。‎ ‎(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。‎ ‎[典例]　我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则(　　)‎ A．飞行器在B点处点火后，动能增加 B．飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π C．只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度 D．由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期 ‎[解析]　在椭圆轨道近月点变轨成为圆轨道，要实现变轨应给飞行器点火减速，减小所需的向心力，故点火后动能减小，故A错误；设飞行器在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T3，则：mg0＝mR，解得：T3＝2π ，根据几何关系可知，轨道Ⅱ的半长轴a＝2.5R，根据开普勒第三定律＝k以及飞行器在轨道Ⅲ上的运行周期，可求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期，故B正确，D错误；只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度与在轨道Ⅲ上通过B点的加速度相等，故C错误。‎ ‎[答案]　B ‎[延伸思考]‎ ‎(1)飞行器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行的周期大小关系如何？最大周期为多少？‎ ‎(2)飞行器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行的机械能大小关系如何？‎ ‎(3)飞行器在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的速度大小关系如何？‎ 提示：(1)由开普勒第三定律＝k可知，飞行器的轨道由Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ的过程中半长轴a变小，故T变小。‎ 即T1>T2>T3，‎ 由＝，‎ 可得最大周期T1＝8T3＝16π 。‎ ‎(2)飞行器由轨道Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ时都要经过制动减速，故飞行器的机械能大小关系为：EⅠ>EⅡ>EⅢ。‎ ‎(3)由G＝m得v＝ ，所以v3＞v1。可见虽然飞行器由轨道Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ时都要制动减速，但仍然有v3＞v1，根源在于轨道Ⅱ为椭圆，近月点比远月点的速度大，总之处理问题要有理论依据，不能想当然的进行判断。‎ ‎[一题悟通]‎ 例题及相关延伸思考旨在让考生理解飞行器变轨时速度如何变化及变轨前后运行周期、加速度、机械能等物理量的变化规律。‎ 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 飞行器速度突然增大 飞行器速度突然减小 受力分析 G＜m G＞m 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 ‎[题点全练]‎ ‎1．[卫星的对接]‎ ‎(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　)‎ A．周期变大　　　　　　　　 B．速率变大 C．动能变大 D．向心加速度变大 解析：选C　组合体比天宫二号质量大，轨道半径R不变，根据G＝m，可得v＝ ，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B项错误；又T＝，则周期T不变，A项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C项正确；向心加速度a＝不变，D项错误。‎ ‎2．[卫星轨道渐变时各物理量的变化分析]‎ ‎(多选)神舟十一号飞船与天宫二号空间实验室在太空中自动交会对接的成功，显示了我国航天科技力量的雄厚。已知对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下列说法正确的是(　　)‎ A．为实现对接，神舟十一号飞船与天宫二号运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫二号的动能可能会增加 C．如不加干预，天宫二号的轨道高度将缓慢降低 D．进入天宫二号的航天员处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 解析：选BC　第一宇宙速度为最大环绕速度，神舟十一号飞船与天宫二号的线速度一定小于第一宇宙速度，A错误；若天宫二号轨道半径不变，则因空气阻力作用，天宫二号的线速度减小，万有引力提供的向心力大于所需的向心力，故天宫二号做近心运动，由v＝ 可知，随r的减小，天宫二号的线速度增大，动能增大，选项B、C均正确；航天员处于失重状态，但航天员仍受地球引力作用，万有引力提供其随天宫二号做圆周运动的向心力，故D错误。‎ ‎3．[火箭返回地面的运动分析]‎ 火箭发射回收是航天技术的一大进步。如图所示，火箭在返回地面前的某段运动，可看成先匀速后减速的直线运动，最后撞落在地面上。不计火箭质量的变化，则(　　)‎ A．火箭在匀速下降过程中，机械能守恒 B．火箭在减速下降过程中，携带的检测仪器处于失重状态 C．火箭在减速下降过程中合力做功等于火箭机械能的变化 D．火箭着地时，火箭对地的作用力大于自身的重力 解析：选D　匀速下降过程动能不变，重力势能减少，所以机械能不守恒，选项A错误；减速下降时加速度向上，所以携带的检测仪器处于超重状态，选项B错误；火箭着地时，火箭对地的作用力大于自身的重力，选项D正确；合外力做功等于动能改变量，选项C错误。‎ 考点四　宇宙多星模型[方法模型类]‎ ‎[典例]　(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上。已知某直线三星系统A每颗星体的质量均为m，相邻两颗星体中心间的距离都为R；某三角形三星系统B的每颗星体的质量恰好也均为m，且三星系统A外侧的两颗星体与三星系统B每颗星体做匀速圆周运动的周期相等。引力常量为G，则(　　)‎ A．三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v＝ B．三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝ C．三星系统B的运动周期为T＝4πR D．三星系统B任意两颗星体中心间的距离为L＝ R ‎[典例识模]‎ 题干信息 吹“沙”见“金”‎ 直线三星系统A每颗星体的质量均为m，相邻两颗星体中心间的距离都为R 两星匀速圆周运动的半径为R，周期相等。‎ ＋＝F向 三角形三星系统B的每颗星体的质量均为m 三星匀速圆周运动的半径、周期、向心力均相等 ‎[解析]　对三星系统A，由＋＝m，可得v＝ ，T＝＝4πR ，ω＝＝ ，而三星系统B的运行周期与三星系统A外侧星体的运行周期相同，故TB＝4πR ，选项A错误，B、C正确。对三星系统B：由2×cos 30°＝m·，可解得：L＝R，选项D正确。‎ ‎[答案]　BCD ‎[系统建模]‎ 情景图 ‎“双星”模型 ‎“三星”模型 ‎“四星”模型 运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 受力特点 两星间的万有引力提供两星圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力 规律 ＝m1ω2r1‎ ＋＝ma向 ×2cos 45°＋＝‎ ＝m2ω2r2‎ ×cos 30°×2＝ma向 ma向 ×2×cos 30°＋＝ma向 关键点 m1r1＝m2r2‎ r1＋r2＝L r＝ r＝L 或r＝ ‎[熟练用模]‎ ‎1．[宇宙双星模型]‎ ‎(多选)(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)‎ A．质量之积　　　　　 B．质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度 解析：选BC　两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示：‎ 每秒转动12圈，角速度已知，‎ 中子星运动时，由万有引力提供向心力得 G＝m1ω2r1 ①‎ G＝m2ω2r2 ②‎ l＝r1＋r2 ③‎ 由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，‎ 质量之和可以估算。‎ 由线速度与角速度的关系v＝ωr得 v1＝ωr1 ④‎ v2＝ωr2 ⑤‎ 由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算。‎ 质量之积和各自的自转角速度无法求解。‎ ‎2．[宇宙多星模型]‎ 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是(　　)‎ A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B．四颗星的轨道半径均为 C．四颗星表面的重力加速度均为 D．四颗星的周期均为2πa 解析：选B　四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m·，解得T＝2πa ，故D正确。‎ ‎ “专项研究”拓视野——天体运动中的几何张角问题 人造卫星绕地球运动，太阳发出的光线沿直线传播，地球或卫星都会遮挡光线，从而使万有引力、天体运动与几何知识结合起来。求解此类问题时，要根据题中情景，由光线沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，列式求解。‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)‎ A．1 h　　　　　　　　 B．4 h C．8 h D．16 h 解析：选B　万有引力提供向心力，对同步卫星有：‎ G＝mr，整理得GM＝ 当r＝6.6R地时，T＝24 h 若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地 三颗同步卫星A、B、C如图所示分布。‎ 则有＝ 解得T′≈＝4 h，选项B正确。‎ ‎2.如图，人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动。已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为θ，则M、N的运动周期之比等于(　　)‎ A．sin3θ B. C. D. 解析：选D　设M、N的轨道半径分别为RM、RN。‎ 据题，卫星M、N连线与M、O连线间的夹角最大时，MN连线与卫星N的运行轨道应相切，如图：‎ 根据几何关系有RN＝RMsin θ，‎ 根据开普勒第三定律有：＝ 联立解得＝ ，故D正确。‎ ‎3．(多选)宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则(　　)‎ A．飞船绕地球运动的线速度为 B．一天内飞船经历“日全食”的次数为 C．飞船每次经历“日全食”过程的时间为 D．飞船的运行周期为T＝ 解析：选AD　由题意得，飞船绕地球做匀速圆周运动的线速度v＝，‎ 由几何关系得sin＝，‎ 故v＝，A正确；‎ 又G＝mr，‎ 得T＝ ，D正确；‎ 飞船每次经历“日全食”过程的时间等于飞船相对地球转过α角的时间，即T，C错误；地球自转一圈的时间为T0，飞船绕地球一圈的时间为T，飞船绕一圈会经历一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，一天内飞船经历“日全食”的次数为，B错误。‎ ‎4.地球资源卫星“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G，则地球的密度为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　“04星”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝mr，设地球半径为R，则由题图知rsin ＝R，而M＝ρ，联立得ρ＝，B对。‎