2018届二轮复习定点、定值、存在性问题课件（全国通用）

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第三讲 定点、定值、存在性问题 【 必备知识 】 1. 定点、定值、存在性问题的解读 (1) 定点问题 : 在解析几何中 , 有些含有参数的直线或曲线的方程 , 不论参数如何变化 , 其都过某定点 , 这类问题称为定点问题 . (2) 定值问题 : 在解析几何中 , 有些几何量 , 如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关 , 这类问题统称为定值问题 . (3) 存在性问题的解题步骤 : ① 先假设存在 , 引入参变量 , 根据题目条件列出关于参变量的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ). ② 解此方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ), 若有解则存在 , 若无解则不存在 . 2. 几个重要结论 (1) 直线与圆锥曲线相交的问题 , 牢记“联立方程 , 根与系数的关系 ,Δ 定范围 , 运算推理” . (2) 有关弦长问题 , 牢记弦长公式 |AB|= |x 1 -x 2 |= |y 1 -y 2 | 及根与系数的关系 ; 有关焦点弦长问题 , 注意运用焦点三角形 , 以简化运算 . (3) 涉及弦中点的问题 , 牢记“点差法”是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法 . (4) 求参数范围的问题 , 牢记“先找不等式 , 有时需要找出两个量之间的关系 , 然后消去另一个量 , 保留要求的量” . 不等式的来源可以是 Δ>0 或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等 . 【 真题体验 】 (2016 · 全国卷 Ⅰ) 设圆 x 2 +y 2 +2x-15=0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B(1 ， 0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1) 证明 |EA|+|EB| 为定值，并写出点 E 的轨迹方程 . (2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M ， N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 【 解析 】 (1) 圆 A 整理为 (x+1) 2 +y 2 =16 ， 点 A 坐标为 (-1 ， 0) ，如图， 因为 BE∥AC ，则∠ ACB=∠EBD ，由 |AC|=|AD| ，则∠ ADC=∠ACD ， 所以∠ EBD=∠EDB ，则 |EB|=|ED| ， 所以 |AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4. 所以 E 的轨迹为一个椭圆，方程为 =1(y≠0). (2)C 1 ： =1 ；设 l ： x=my+1 ， 因为 PQ⊥ l ，设 PQ ： y=-m(x-1) ，联立 l 与椭圆 C 1 ， 得 (3m 2 +4)y 2 +6my-9=0 ； 则 |MN|= |y M -y N | 圆心 A 到 PQ 距离 d= 所以 |PQ|= 所以 S 四边形 MPNQ = |MN| · |PQ|= 【 大数据易错点 】 排序 1: 对概念理解不准确致误 . 直线与双曲线、抛物线相交于一点时 , 不一定相切 , 反之 , 直线与双曲线、抛物线相切时 , 只有一个交点 . 排序 2: 忽略直线斜率不存在的情况致误 . 过定点的直线 , 若需设直线方程 , 应分直线的斜率存在与不存在两种情况求解 . 排序 3: 忽略截距与线段的长度致误 . 在表示某一直线与两坐标轴所围成直角三角形的面积时 , 注意截距与线段长度的区别 . 热点考向一　圆锥曲线中的定点问题 命题解读 : 主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上 , 以解答题为主 . 【 典例 1】 (2017· 全国卷 Ⅰ) 已知椭圆 C: =1 (a>b>0), 四点 P 1 (1,1),P 2 (0,1), 中 恰有三点在椭圆 C 上 . 　世纪金榜导学号 92494106 (1) 求 C 的方程 . (2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A,B 两点 . 若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为 -1, 证明 : l 过定点 . 【 解题导引 】 (1) 求 C 的方程只需求出 a 2 ,b 2 即可 , 可先判断哪 3 个点在曲线 C 上 , 然后求解 . (2) 可先考虑直线 l 斜率不存在的情况 , 再设直线 l 的方程为 y=kx+n, 依据题设条件 , 求出 n 与 k 的关系 , 进而得出直线 l 所过的定点 . 【 规范解答 】 (1) 根据椭圆对称性 , 必过 P 3 ,P 4 , 又 P 4 横坐标为 1, 椭圆必不过 P 1 , 所以过 P 2 ,P 3 ,P 4 三点 , 将 P 2 (0,1), 代入椭圆方程得 解得 a 2 =4,b 2 =1. 所以椭圆 C 的方程为 : +y 2 =1. (2)① 当斜率不存在时 , 设 l :x=m, 得 m=2, 此时 l 过椭圆右顶点 , 不存在两个交点 , 故不满足 . ② 当斜率存在时 , 设 l :y=kx+n(n≠1), 联立 整理得 ( 1+4k 2 )x 2 +8knx+4n 2 -4=0, 又 n≠1⇒n=-2k-1, 此时 Δ=-64k, 存在 k 使得 Δ>0 成立 , 所以直线 l 的方程为 y=kx-2k-1, 当 x=2 时 ,y=-1, 所以 l 过定点 ( 2，-1 ). 【 规律方法 】 直线过定点问题的两大类型及解法 (1) 动直线 l 过定点问题 , 解法 : 设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y=kx+t, 由题设条件将 t 用 k 表示为 t=mk, 得 y=k(x+m), 故动直线过定点 (-m,0). (2) 动曲线 C 过定点问题 , 解法 : 引入参变量建立曲线 C 的方程 , 再根据其对参变量恒成立 , 令其系数等于零 , 得出定点 . 【 变式训练 】 已知抛物线 Γ:x 2 =2py(p>0), 焦点为 F, 点 P 在抛物线 Γ 上 , 且 P 到 F 的距离比 P 到直线 y=-2 的距离小 1. (1) 求抛物线 Γ 的方程 . (2) 若点 N 为直线 l :y=-5 上的任意一点 , 过点 N 作抛物线 Γ 的切线 NA 与 NB, 切点分别为 A,B, 求证 : 直线 AB 恒过某一定点 . 【 解析 】 (1) 抛物线的准线方程为 y=- , 设 P(x,y), 则 |PF|=y+ ,P 到直线 y=-2 的距离为 y+2, 所以 y+ +1=y+2, 所以 p=2. 所以抛物线 Γ 的方程是 x 2 =4y. (2) 抛物线方程化为 设 N(a,-5), 则 f′(x 0 )= 即 解得 x 0 =a± 不妨设 所以直线 AB 的方程是 整理得 y= x+5. 所以直线 AB 恒过点 (0,5). 【 加练备选 】 1.(2017· 贵州二模 ) 已知椭圆 E: =1(a>b>0) 的离心率为 , 点 在椭圆 E 上 , 直线 l 过椭圆的右焦点 F 且与椭圆相交于 A,B 两点 . (1) 求 E 的方程 . (2) 在 x 轴上是否存在定点 M, 使得 为定值 ? 若存在 , 求出定点 M 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【 解题导引 】 (1) 由离心率公式求得 a= c,b 2 =a 2 -c 2 =c 2 , 将点的坐标代入椭圆方程 , 即可求得 a 和 b, 得到椭圆方程 . (2) 假设存在定点 M(m,0), 若直线 AB 的斜率 k 存在 , 把 y=k(x-1) 代入椭圆方程 , 运用根与系数的关系和向量数量积的坐标表示 , 结合恒成立思想 , 即可得到定点和定值 ; 检验直线 AB 的斜率不存在时也成立 . 【 解析 】 (1) 由椭圆的焦点在 x 轴上 , 椭圆的离心率 e= 则 a= c,b 2 =a 2 -c 2 =c 2 , 将 代入椭圆 方程 =1, 解得 :c=1,a= ,b=1, 所以椭圆的标准方程为 +y 2 =1. (2) 在 x 轴上假设存在定点 M(m,0), 使得 为定值 . 若直线的斜率存在 , 设 AB 的斜率为 k,F(1,0), 直线方程 为 y=k(x-1), 由 整理得 (1+2k 2 )x 2 -4k 2 x+2k 2 -2=0, 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则 y 1 y 2 =k 2 (x 1 -1)(x 2 -1)=k 2 [x 1 x 2 +1-(x 1 +x 2 )] 则 =(x 1 -m)(x 2 -m)+y 1 y 2 =x 1 x 2 +m 2 -m(x 1 +x 2 )+y 1 y 2 , 欲使得 为定值 , 则 2m 2 -4m+1=2(m 2 -2), 解得 :m= , 此时 当 AB 斜率不存在时 , 直线为 x=1, 代入椭圆方程 , 可得 y=± , 由 M , 可得 , 符合题意 . 故在 x 轴上存在定点 M , 使得 2. 已知椭圆 E: =1(a>b>0) 经过点 (2 ,2), 且 离心率为 ,F 1 ,F 2 是椭圆 E 的左 , 右焦点 . (1) 求椭圆 E 的方程 . (2) 若点 A,B 是椭圆 E 上关于 y 轴对称的两点 (A,B 不是长轴的端点 ), 点 P 是椭圆 E 上异于 A,B 的一点 , 且直线 PA, PB 分别交 y 轴于点 M,N, 求证 : 直线 MF 1 与直线 NF 2 的交点 G 在定圆上 . 【 解析 】 (1) 由条件得 a=4,b=c=2 , 所以椭圆 E 的方 程为 (2) 设 B(x 0 ,y 0 ),P(x 1 ,y 1 ), 则 A(-x 0 ,y 0 ), 直线 PA 的方 程为 y-y 1 = (x-x 1 ), 令 x=0, 得 y= , 故 同理可得 所以 , 所以 ,F 1 M⊥F 2 N, 所以直线 F 1 M 与直线 F 2 N 的交点 G 在以 F 1 F 2 为直径的圆上 . 热点考向二　圆锥曲线中的定值问题 命题解读 : 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景 , 考查转化与化归思想 , 以及对定值问题的处理能力 , 常涉及代数式、面积等定值问题 , 以解答题为主 . 【 典例 2】 (2015· 全国卷 Ⅱ) 已知椭圆 C:9x 2 +y 2 =m 2 (m>0), 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴 , l 与 C 有两个交点 A,B, 线段 AB 的中点为 M. 　世纪金榜导学号 92494107 (1) 证明 : 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 . (2) 若 l 过点 延长线段 OM 与 C 交于点 P, 四边形 OAPB 能否为平行四边形 ? 若能 , 求此时 l 的斜率 , 若不能 , 说明理由 . 【 解题导引 】 (1) 设直线 y=kx+b(k≠0,b≠0), 与椭圆 C:9x 2 +y 2 =m 2 (m>0) 联立 , 结合根与系数的关系及中点坐标公式证明 .(2) 由四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分求解证明 . 【 规范解答 】 (1) 设直线 l :y=kx+b(k≠0,b≠0), A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),M(x M ,y M ). 将 y=kx+b 代入 9x 2 +y 2 =m 2 得 (k 2 +9)x 2 +2kbx+b 2 -m 2 =0, 故 于是直线 OM 的斜率 k OM = , 即 k OM · k=-9, 所以直 线 OM 的斜率与 l 的斜率的积是定值 . (2) 四边形 OAPB 能为平行四边形 . 因为直线 l 过点 所以 l 不过原点且与 C 有两个交点 的充要条件是 k>0,k≠3. 由 (1) 得 OM 的方程为 y=- x. 设点 P 的横坐标为 x P . 由 得 , 即 x P = 将点 的坐标代入 l 的方程得 b= 因此 x M = 四边形 OAPB 为平行四边形 , 当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分 , 即 x P =2x M . 于是 解得 k 1 =4- ,k 2 =4+ . 因为 k i >0,k i ≠3,i=1,2 , 所以当 l 的斜率为 4- 或 4+ 时 , 四边形 OAPB 为平行四边形 . 【 规律方法 】 求解定值问题的两大途径 (1) 首先由特例得出一个值 ( 此值一般就是定值 ) 然后证明定值 , 即将问题转化为证明待证式与参数 ( 某些变量 ) 无关 . (2) 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示 , 再利用其满足的条件得出参数之间满足的关系式 , 使正负项抵消或分子、分母约分得定值 . 【 变式 1+1】 1.(2017· 南宁一模 ) 已知抛物线 E:y 2 =2px(p>0), 直线 x=my+3 与 E 交于 A,B 两点 , 且 =6, 其中 O 为坐标原 点 . (1) 求抛物线 E 的方程 . (2) 已知点 C 的坐标为 (-3,0), 记直线 CA,CB 的斜率分别为 k 1 ,k 2 , 证明 : -2m 2 为定值 . 【 解析 】 (1) 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 整理得 :y 2 -2pmy-6p=0, 由根与系数的关系可知 :y 1 +y 2 =2pm,y 1 · y 2 =-6p, 则 x 1 · x 2 = 由 =x 1 · x 2 +y 1 · y 2 = +y 1 · y 2 =9-6p=6, 解得 p= , 所以 y 2 =x. (2) 由题意得 所以 所以 由 (1) 可知 :y 1 +y 2 =2pm=m,y 1 · y 2 =-6p=-3, 所以 -2m 2 =2m 2 +12m× +36× - 2m 2 =24, 所以 -2m 2 为定值 . 2.( 新题预测 ) 已知椭圆 C: =1(a>b>0) 的焦距为 2, 点 在 C 上 . 　世纪金榜导学号 92494108 (1) 求 C 的方程 . (2) 过原点且不与坐标轴重合的直线 l 与 C 有两个交点 A,B, 点 A 在 x 轴上的射影为 M, 线段 AM 的中点为 N, 直线 BN 交 C 于点 P, 证明 : 直线 AB 的斜率与直线 AP 的斜率乘积为定值 . 【 解析 】 (1) 由题意知 ,C 的焦点坐标为 (±1,0), 所以 , 椭圆 C 的方程为 (2) 设 A(x 1 ,y 1 ),P(x 2 ,y 2 )(x 1 ≠x 2 ), 则 B(-x 1 ,-y 1 ), 由点 A,P 在椭圆 C 上得 , 两式相减得 , k BP = . 因为 B,N,P 三点共线 , 所以 k BN =k BP , 即 所以 k AB · k AP = 【 加练备选 】 已知椭圆 C: =1(a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F 1 ,F 2 , 点 B(0, ) 为短轴的一个端点 ,∠OF 2 B=60°. (1) 求椭圆 C 的方程 . (2) 如图 , 过右焦点 F 2 , 且斜率为 k(k≠0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 D,E 两点 ,A 为椭圆的右顶点 , 直线 AE,AD 分别交直线 x=3 于点 M,N, 线段 MN 的中点为 P, 记直线 PF 2 的斜率为 k′. 试问 k·k′ 是否为定值 ? 若为定值 , 求出该定值 ; 若不为定值 , 请说明理由 . 【 解析 】 (1) 由条件可知 a=2,b= , 故所求椭圆方程为 (2) 过点 F 2 (1,0) 的直线 l 方程为 y=k(x-1). 由 可得 :(4k 2 +3)x 2 -8k 2 x+4k 2 -12=0, 因为 点 F 2 (1,0) 在椭圆内 , 所以直线 l 和椭圆都相交 , 即 Δ>0 恒成立 . 设点 E(x 1 ,y 1 ),D(x 2 ,y 2 ), 则 因为直线 AE 的方程为 :y= (x-2), 直线 AD 的方程 为 :y= (x-2), 令 x=3, 可得 所以点 P 的坐标 直线 PF 2 的斜率为 =- , 所以 k · k′ 为定值 - . 热点考向三　圆锥曲线中的存在性问题 类型一 点、线的存在性问题 【 典例 3】 (2017· 深圳二模 ) 已知圆 C:(x-1) 2 +y 2 = , 一动圆与直线 x=- 相切且与圆 C 外切 . 世纪金榜导学号 92494109 (1) 求动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程 . (2) 若经过定点 Q(6,0) 的直线 l 与曲线 T 交于 A,B 两点 ,M 是线段 AB 的中点 , 过 M 作 x 轴的平行线与曲线 T 相交于点 N, 试问是否存在直线 l , 使得 NA⊥NB, 若存在 , 求出直线 l 的方程 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【 题目拆解 】 高考大题综合性较强 , 求解时 , 把这类复杂问题拆解成若干个小问题来解决 , 可化难为易 , 得步骤分 . 学会了快速拆解题目 , 就能在解大题时得高分、得满分 . 解答本题 (2) 可拆分成以下几个小题 : ① 当直线 l 的斜率不存在时 , 是否符合题意 ; ② 当直线 l 的斜率存在时 , 求 A,B 两点的横坐标之积 ; ③ 设 N(x 0 ,y 0 ), 若 =0, 试求直线 l 的方程 . 【 规范解答 】 (1) 设 P(x,y), 分析可知 : 动圆的圆心不能在 y 轴的左侧 , 故 x≥0, 因为动圆与直线 x=- 相切 , 且与圆 C 外切 , 所以 |PC|- , 所以 |PC|=x+1, 所以 =x+1, 化简可得 y 2 =4x. (2) 设 A(x 1 ,y 1 )B(x 2 ,y 2 ), 由题意可知 , 当直线 l 与 y 轴垂直时 , 显然不符合题意 , 故可设直线 l 的方程为 x=my+6, 联立 x=my+6 和 y 2 =4x 并消去 x, 可得 y 2 -4my-24=0, 显然 Δ=16m 2 +96>0, 由根与系数的关系可知 　 ① 又因为 x 1 +x 2 =(my 1 +6)+(my 2 +6), 所以 x 1 +x 2 =4m 2 +12, 　② 因为 x 1 x 2 = , 所以 x 1 x 2 =36, 　③ 假设存在 N(x 0 ,y 0 ), 使得 =0, 由题意可知 y 0 = , 所以 y 0 =2m, 　④ 由 N 点在抛物线上可知 x 0 = , 即 x 0 =m 2 , 　⑤ 又 =(x 1 -x 0 ,y 1 -y 0 ), =(x 2 -x 0 ,y 2 -y 0 ), 若 =0, 则 x 1 x 2 -x 0 (x 1 +x 2 )+x 0 2 +y 1 y 2 -y 0 (y 1 +y 2 )+y 0 2 =0, 由①②③④⑤代入上式化简可得 :3m 4 +16m 2 -12=0, 即 (m 2 +6)(3m 2 -2)=0, 所以 m 2 = , 故 m=± , 所以存在直线 3x+ y-18=0 或 3x- y-18=0, 使得 NA⊥NB. 【 易错警示 】 解答本题易出现以下两种错误 : 一是不能发现动圆的圆心不能在 y 轴的左侧 , 造成思路受阻 ; 二是没有考虑直线与 y 轴垂直这种情况造成失分 . 类型二 字母参数值的存在性问题 【 典例 4】 (2017· 抚州一模 ) 已知动圆 C 与圆 x 2 +y 2 +2x =0 外切 , 与圆 x 2 +y 2 -2x-24=0 内切 . 世纪金榜导学号 92494110 (1) 试求动圆圆心 C 的轨迹方程 . (2) 过定点 P(0,2) 且斜率为 k(k≠0) 的直线 l 与 (1) 中轨迹交于不同的两点 M,N, 试判断在 x 轴上是否存在点 A(m,0), 使得以 AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形 ? 若存在 , 求出实数 m 的范围 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【 解题导引 】 (1) 设动圆 C 的半径为 R, 两圆的圆心分别为 F 1 ,F 2 , 由题意可得 |CF 1 |+|CF 2 |=6, 利用椭圆的定义易得结论 . (2) 先假设存在点 A(m,0), 将其当作已知条件 , 求出 m 值 ( 或范围 ) 就存在 ; 否则 , 就不存在 . 【 规范解答 】 (1) 由 x 2 +y 2 +2x=0 得 (x+1) 2 +y 2 =1, 由 x 2 +y 2 -2x-24=0 得 (x-1) 2 +y 2 =25, 设动圆 C 的半径为 R, 两圆的 圆心分别为 F 1 (-1,0),F 2 (1,0), 则 |CF 1 |=R+1,|CF 2 |= 5-R, 所以 |CF 1 |+|CF 2 |=6, 根据椭圆的定义可知 , 点 C 的轨迹 为以 F 1 ,F 2 为焦点的椭圆 , 所以 c=1,a=3, 所以 b 2 =a 2 -c 2 = 9-1=8, 所以动圆圆心 C 的轨迹方程为 (2) 存在 . 直线 l 的方程为 y=kx+2, 设 M(x 1 ,y 1 ), N(x 2 ,y 2 ),MN 的中点为 E(x 0 ,y 0 ). 假设存在点 A(m,0), 使得以 AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形 , 则 AE⊥MN, 由 得 (8+9k 2 )x 2 +36kx-36=0, x 1 +x 2 = , 所以 x 0 = y 0 =kx 0 +2= 因为 AE⊥MN, 所以 k AE =- , 即 所以 当 k>0 时 , 所以 - ≤m<0; 当 k<0 时 , 所以 0b>0) 的焦点 分别为 F 1 (- ,0),F 2 ( ,0), 点 P 在椭圆 C 上 , 满足 |PF 1 |=7|PF 2 |,tan∠F 1 PF 2 =4 . (1) 求椭圆 C 的方程 . (2) 已知点 A(1,0), 试探究是否存在直线 l :y=kx+m 与椭圆 C 交于 D,E 两点 , 且使得 |AD|=|AE|? 若存在 , 求出 k 的取值范围 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【 解析 】 (1) 由 |PF 1 |=7|PF 2 |,|PF 1 |+|PF 2 |=2a 得 |PF 1 |= |PF 2 |= 由余弦定理得 cos∠F 1 PF 2 = = 所以 a=2, 所以所求 C 的方程为 +y 2 =1. (2) 假设存在直线 l 满足题设 , 设 D(x 1 ,y 1 ),E(x 2 ,y 2 ), 将 y=kx+m 代入 +y 2 =1 并整理得 (1+4k 2 )x 2 +8kmx+4m 2 - 4=0, 由 Δ=64k 2 m 2 -4(1+4k 2 )(4m 2 -4)=-16(m 2 -4k 2 -1)>0, 得 4k 2 +1>m 2 ①, 又 x 1 +x 2 = , 设 D,E 中点为 M(x 0 ,y 0 ), 则 k AM k=-1, 得 m= ②, 将②代 入①得 4k 2 +1> , 化简得 20k 4 +k 2 -1>0⇒ (4k 2 +1)(5k 2 -1)>0, 解得 k> 或 k<- , 所以存在直线 l , 使得 |AD|=|AE|, 此时 k 的取值范围为