辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

‎2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）‎ 期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.若复数，则在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】复数在复平面内对应的点是，在第四象限，故选D.‎ ‎2.计算的结果是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,故选B.‎ ‎3.已知点，则它的极坐标是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由计算即可．‎ ‎【详解】在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题．‎ ‎4.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）‎ A. 圆、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 直线、直线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎【详解】解：极坐标方程，转换为直角坐标方程为.‎ 参数方程（为参数）转换为直角坐标方程为.‎ 所以表示的为圆和直线.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎5.下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用，进行代换即得圆的直角坐标方程，然后根据直线与圆相切求出所求．‎ ‎【详解】解：，圆的普通方程为：，‎ 即，‎ 又直线平行于极轴且与圆相切，所以，‎ 即或.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，同时考查了直线与圆的位置，属于基础题．‎ ‎6.设有一个回归方程为，变量增加一个单位时（ ）‎ A. 平均增加2个单位 B. 平均减少3个单位 C. 平均减少2个单位 D. 平均增加3个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：在线性回归方程中，斜率是y随x变化变化率．由回归方程为，得增加一个单位时平均减少2个单位．‎ 考点：对回归方程的理解．‎ 点评：学生应正确理解回归方程中各量的实际含义并能加以应用．‎ ‎7.否定“自然数中恰有一个偶数”的正确的反设为（ ）‎ A. 都是奇数 B. 都是偶数 C. 至少有两个偶数 D. 中或都是奇数或至少有两个偶数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为反证法中的反设就是原命题的否定，‎ 而“自然数中恰有一个偶数”的否定是“中或都是奇数或至少有两个偶数”，‎ 所以否定“自然数中恰有一个偶数”的正确的反设为“中或都是奇数或至少有两个偶数”，‎ 故选D.‎ ‎8. 下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)‎ A. 某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人 B. 由三角形的性质,推测空间四面体的性质 C. 平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分 D. 在数列{an}中,a1=1,an=,由此归纳出{an}的通项公式 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．‎ ‎【详解】解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；‎ B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；‎ C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；‎ D为不完全归纳推理，属于合情推理．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎9.对相关系数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 越大，线性相关程度越大 B. 越小，线性相关程度越大 C. 越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大 D. 且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两个变量之间的相关性和相关系数的大小有关，的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，的绝对值越接近于0，两个变量之间几乎不存在线性相关．‎ ‎【详解】解：两个变量之间的相关系数，的绝对值越接近于1，‎ 表面两个变量的线性相关性越强，‎ 的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查相关系数，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．‎ ‎10.按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是（ ）‎ A. 231 B. C. D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据程序框图，依次执行即可得出结果.‎ 详解】输入 第一步：，进入循环；‎ 第二步：，进入循环；‎ 第三步：，结束循环，输出.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型.‎ ‎11.在极坐标系中，直线与曲线相交于两点，为极点，则的大小为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 化极坐标方程为直角坐标方程: 直线与圆 相交于 两点，所以 即，选C.‎ ‎12.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数即可．‎ ‎【详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推：组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+2．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，属于基础题．‎ 二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）‎ ‎13.若是纯虚数，则实数的值是_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0，求解相应的方程与不等式，即可确定x的值．‎ ‎【详解】因为i 是纯虚数，，所以，解得：.‎ 故答案为1‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的基本概念及其应用，其中解答中熟记复数概念与分类，准确列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎14.复数的模为______.‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据复数模的计算公式求解.‎ ‎【详解】解：∵，∴.‎ 故答案为:13.‎ ‎【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题.‎ ‎15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=与的交点的极坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：=与联立方程得 ‎，极坐标为 考点：极坐标方程 点评：有关于极坐标的问题常考极坐标与直角坐标的互化：极坐标与直角坐标的互化 ‎16.经过圆上一点的切线方程为，则由此类比可知：经过椭圆上一点的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的切线方程形式，类比推理出椭圆的切线方程．‎ ‎【详解】解：圆的性质中，经过圆上一点的切线方程就是将圆的方程中的一个和分别用的横坐标与纵坐标替换，‎ 故可得椭圆类似的性质为：过椭圆上一点的切线方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】考查了类比推理的数学思想，是基础题．‎ 三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）‎ ‎17.已知复数满足（为虚数单位），求的共轭复数和的值.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出的值，再计算它的共轭复数和的值．‎ ‎【详解】解：由，‎ 得，‎ 所以的共轭复数为；‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的代数形式运算问题，也运算求解能力，是基础题．‎ ‎18.对某校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人.‎ 问：（1）由题意列出学生语文成绩与外语成绩关系的列联表：‎ 语文优秀 语文不优秀 总计 外语优秀 外语不优秀 总计 ‎（2）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（保留三位小数）‎ ‎（附：）‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意填写列联表即可； （2）由表中数据计算，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】解：（1）由题意填写列联表如下，‎ 语文优秀 语文不优秀 总计 外语优秀 ‎60‎ ‎100‎ ‎160‎ 外语不优秀 ‎140‎ ‎500‎ ‎640‎ 总计 ‎200‎ ‎600‎ ‎800‎ ‎（2）由表中数据，计算，‎ 所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎19.已知直线的参数方程是（为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线被曲线截得的弦长.‎ ‎【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程是；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．‎ ‎【详解】解：（1）直线的参数方程是（为参数），转换为直角坐标方程为.‎ 曲线的极坐标方程是，转换为直角坐标方程为，‎ ‎（2）圆心到直线的距离.‎ 所以圆被直线所截的弦长.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，垂径定理的应用，主要考查学生的运算能力，是基础题．‎ ‎20.设直线过点，倾斜角为.‎ ‎（1）求的参数方程；并指出参数的几何意义；‎ ‎（2）设直线：，与的交点为，求点与点的距离.‎ ‎【答案】（1）（为参数），表示直线上任意点到定点的距离；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求出直线的方程，进一步直接利用转换关系式求出结果． （2）利用参数方程的几何意义的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：（1）直线过点，倾斜角为；‎ 转换为参数方程为（为参数），‎ 整理得（为参数）.‎ 表示直线上任意点到定点的距离；‎ ‎（2）将的参数方程代入的方程中，‎ 得，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，参数的几何意义的应用，主要考查学生的运算能力，是基础题．‎ ‎21.某种产品的广告费用支出(百万)与销售额(百万)之间有如下的对应数据:‎ ‎ ‎ ‎2 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎8 ‎ ‎ ‎ ‎30 ‎ ‎40 ‎ ‎60 ‎ ‎50 ‎ ‎70 ‎ ‎(1)画出散点图;‎ ‎(2)求回归直线方程;‎ ‎(3)据此估计广告费用为10(百万)时,销售收入的值.‎ ‎【答案】（1）散点图如图所示：‎ ‎（2）＝6.5x＋17.5（3）广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试题分析：(1)散点图如图所示：‎ ‎（2）‎ 计算得＝＝5，＝＝50，‎ ‎＝145，＝1 380. 6分 于是可得＝＝＝6.5，‎ ‎＝－＝50－6.5×5＝17.5.‎ 所以所求的线性回归方程为＝6.5x＋17.5.‎ ‎(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，‎ ‎＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，‎ 即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元． ‎ 考点：本小题主要考查散点图的画法和回归直线的求解及应用.‎ 点评：求回归直线时要先根据散点图判断是否线性相关，如果不线性相关，求出的回归方程没有意义.‎ ‎【详解】‎ 请在此输入详解！‎ ‎22.已知曲线：（为参数），：（为参数）.‎ ‎（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？‎ ‎（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求的中点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】（1）：，曲线是圆；：，曲线是椭圆；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数基本关系式消去参数，得到曲线的普通方程；‎ ‎（2）根据椭圆参数方程设出椭圆上一点，求出点到直线距离后，研究其最小值，得到本题结论．‎ ‎【详解】解：（1）∵曲线：（为参数），‎ ‎∴：.‎ ‎∴曲线是圆.‎ ‎∵曲线：（为参数），‎ ‎∴：.‎ ‎∴曲线是椭圆.‎ ‎（2）∵上的点对应的参数为，‎ ‎∴.‎ ‎∵为上的动点，‎ ‎∴设，‎ 则的中点，‎ 点到直线的距离，‎ 当时，‎ ‎∴的中点到直线的距离的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查的是曲线的参数方程和普通方程的互化，以及曲线参数方程的应用．本题难度不大，属于中档题．‎ ‎ ‎