中考数学一轮复习 数与式 整式及其运算

中考数学一轮复习 数与式 整式及其运算

第2讲　整式及其运算 第一章　数与式 知识盘点 1 、单项式、多项式、整式的概念 2 、同类项 3 、幂的运算法则 4 、整式乘法法则与除法法则 5 、乘法公式 1 ． 法则公式的逆向运用 法 则 公式既可正向运用 ， 也可逆向运用．当直接 计 算有 较 大困 难时 ， 考 虑 逆向运用 ， 可起到化 难为 易的功效． 2 ． 整式运算中的整体思想 在 进 行整式运算或求代数式 值时 ， 若将注意力和着眼点放在 问题 的整体 结 构上 ， 把一些 紧 密 联 系的代数式作 为 一个整体来 处 理． 借助 “ 整体思想 ” ， 可以拓 宽 解 题 思路 ， 收到事半功倍之效．整体思想最典型的是 应 用于乘法公式中 ， 公式中的字母 a 和 b 不 仅 可以表示 单项 式 ， 也可以表示多 项 式 ， 如 ( x － 2 y ＋ z )( x ＋ 2 y － z ) ＝ [ x － (2 y － z )][ x ＋ (2 y － z )] ＝ x 2 － (2 y － z ) 2 ＝ x 2 － 4 y 2 ＋ 4 yz － z 2 . 难点与易错点 1 ． ( 2015 · 厦门 ) 已知一个单项式的系数是 2 ， 次数是 3 ， 则这个单项式可以是 ( ) A ． － 2 xy 2 B ． 3 x 2 C ． 2 xy 3 D ． 2 x 3 2 ． ( 2015 · 黔南州 ) 下列运算正确的是 ( ) A ． a · a 5 ＝ a 5 B ． a 7 ÷ a 5 ＝ a 3 C ． (2 a ) 3 ＝ 6 a 3 D ． 10 ab 3 ÷( － 5 ab ) ＝－ 2 b 2 D D 夯实基础 C B 5 ． ( 2015 · 日照 ) 观察下列各式及其展开式： (a ＋ b) 2 ＝ a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 (a ＋ b) 3 ＝ a 3 ＋ 3a 2 b ＋ 3ab 2 ＋ b 3 (a ＋ b) 4 ＝ a 4 ＋ 4a 3 b ＋ 6a 2 b 2 ＋ 4ab 3 ＋ b 4 (a ＋ b) 5 ＝ a 5 ＋ 5a 4 b ＋ 10a 3 b 2 ＋ 10a 2 b 3 ＋ 5ab 4 ＋ b 5 … 请你猜想 (a ＋ b) 10 的展开式第三项的系数是 ( ) A ． 36 B ． 45 C ． 55 D ． 66 B 点拔： ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 ； ( a ＋ b ) 3 ＝ a 3 ＋ 3a 2 b ＋ 3ab 2 ＋ b 3 ； ( a ＋ b ) 4 ＝ a 4 ＋ 4a 3 b ＋ 6a 2 b 2 ＋ 4ab 3 ＋ b 4 ； ( a ＋ b ) 5 ＝ a 5 ＋ 5a 4 b ＋ 10a 3 b 2 ＋ 10a 2 b 3 ＋ 5ab 4 ＋ b 5 ； ( a ＋ b ) 6 ＝ a 6 ＋ 6a 5 b ＋ 15a 4 b 2 ＋ 20a 3 b 3 ＋ 15a 2 b 4 ＋ 6ab 5 ＋ b 6 ； ( a ＋ b ) 7 ＝ a 7 ＋ 7a 6 b ＋ 21a 5 b 2 ＋ 35a 4 b 3 ＋ 35a 3 b 4 ＋ 21a 2 b 5 ＋ 7ab 6 ＋ b 7 ； 第 8 个式子系数分别为： 1 ， 8 ， 28 ， 56 ， 70 ， 56 ， 28 ， 8 ， 1 ； 第 9 个式子系数分别为： 1 ， 9 ， 36 ， 84 ， 126 ， 126 ， 84 ， 36 ， 9 ， 1 ； 第 10 个式子系数分别为： 1 ， 10 ， 45 ， 120 ， 210 ， 252 ， 210 ， 120 ， 45 ， 10 ， 1 ， 则 ( a ＋ b ) 10 的展开式第三项的系数为 45. 故选 B 【 例 1 】 　 (1)( 2015 · 连云港 ) 下列运算正确的是 ( ) A ． 2 a ＋ 3 b ＝ 5 ab B ． 5 a － 2 a ＝ 3 a C ． a 2 · a 3 ＝ a 6 D ． ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 (2) ( 2015 · 北海 ) 下列运算正确的是 ( ) A ． 3 a ＋ 4 b ＝ 12 a B ． ( ab 3 ) 2 ＝ ab 6 C ． (5 a 2 － ab ) － (4 a 2 ＋ 2 ab ) ＝ a 2 － 3 ab D ． x 12 ÷ x 6 ＝ x 2 (3) 计算： 3(2 xy － y ) － 2 xy ＝ ． 【 点评 】 　整式的加减 ， 实质 上就是合并同 类项 ， 有括号的 ， 先去括号 ， 只要算式中没有同 类项 ， 就是最后的 结 果． B C 4xy － 3y 典例探究 C D 解析：原式＝－ x ＋ 2 － 12 ＋ 15x ＝ 14x － 10 3 解析：－ 4x a y ＋ x 2 y b ＝－ 3x 2 y ， 可知－ 4x a y ， x 2 y b ， － 3x 2 y 是同类项 ， 则 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ， 所以 a ＋ b ＝ 3 【 点评 】 　 (1) 判断同 类项时 ， 看字母和相 应 字母的指数 ， 与系数无关 ， 也与字母的相关位置无关 ， 两个只含数字的 单项 式也是同 类项 ； ( 2) 只有同 类项 才可以合并． A D B A 【 点评 】 　 (1) 幂 的运算法 则 是 进 行整式乘除法的基 础 ， 要熟 练 掌握 ， 解 题时 要明确运算的 类 型 ， 正确运用法 则 ； ( 2) 在运算的 过 程中 ， 一定要注意指数、系数和符号的 处 理． D B 【 点评 】 　注意多 项 式乘多 项 式的运算中要做到不 重不漏 ， 应 用乘法公式 进 行 简 便 计 算 ， 另外去括号 时 ， 要注意符号的 变 化 ， 最后把所得式子化 简 ， 即合并同 类项 ， 再代 值计 算． 解： ∵ 2a 2 ＋ 3a － 6 ＝ 0 ， 即 2a 2 ＋ 3a ＝ 6 ， ∴ 原式＝ 6a 2 ＋ 3a － 4a 2 ＋ 1 ＝ 2a 2 ＋ 3a ＋ 1 ＝ 6 ＋ 1 ＝ 7 【 例 5 】 　 (1)( 2015 · 遵义 ) 下列运算正确的是 ( ) A ． 4 a － a ＝ 3 B ． 2(2 a － b ) ＝ 4 a － b C ． ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 D ． ( a ＋ 2)( a － 2) ＝ a 2 － 4 (2) ( 2015 · 邵阳 ) 已知 a ＋ b ＝ 3 ， ab ＝ 2 ， 则 a 2 ＋ b 2 的值为 ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 【 点评 】 　 (1) 在利用完全平方公式求 值时 ， 通常用到以下几种 变 形： ① a 2 ＋ b 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 － 2 ab ； ② a 2 ＋ b 2 ＝ ( a － b ) 2 ＋ 2 ab ； ③ ( a ＋ b ) 2 ＝ ( a － b ) 2 ＋ 4 ab ； ④ ( a － b ) 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 － 4 ab . 注意公式的 变 式及整体代入的思想． (2) 算式中的局部直接使用乘法公式、 简 化运算 ， 任何 时 候都要遵循先化 简 ， 再求 值 的原 则． D C － 3 试题 　计算 ① x 3 ·x 5 ； ② x 4 ·x 4 ； ③ (a m ＋ 1 ) 2 ； ④ ( － 2a 2 ·b) 2 ； ⑤ (m － n) 6 ÷(n － m) 3 . 错解 　 ① x 3 ·x 5 ＝ x 3 × 5 ＝ x 15 ； ② x 4 ·x 4 ＝ 2x 4 ； ③ (a m ＋ 1 ) 2 ＝ a 2m ＋ 1 ； ④ ( － 2a 2 ·b) 2 ＝－ 2 2 a 4 b 2 ； ⑤ (m － n) 6 ÷(n － m) 3 ＝ (m － n) 6 － 3 ＝ (m － n) 3 . 剖析 　 幂 的四种运算 ( 同底数幂相乘、 幂 的乘方、 积 的乘方、同底数 幂 相除 ) 是学 习 整式乘除的基 础 ， 对幂 运算的性 质 理解不深刻 ， 记忆 不牢固 ， 往往会出 现这样 或那 样 的 错误．针对 具体 问题 要分清 问题 所 对应 的基本形式 ， 以便合理运用法 则 ， 对 符号的 处 理 ， 应 特 别 引起 重 视． 正解 　 ① x 3 · x 5 ＝ x 3 ＋ 5 ＝ x 8 ； ② x 4 · x 4 ＝ x 4 ＋ 4 ＝ x 8 ； ③ ( a m ＋ 1 ) 2 ＝ a ( m ＋ 1 ) × 2 ＝ a 2m ＋ 2 ； ④ ( － 2a 2 · b ) 2 ＝ ( － 2 ) 2 a 4 b 2 ＝ 4a 4 b 2 ； ⑤ ( m － n ) 6 ÷( n － m ) 3 ＝ ( n － m ) 6 ÷( n － m ) 3 ＝ ( n － m ) 3