2020届二轮复习正弦、余弦定理及解三角形教案（全国通用）

2020届二轮复习正弦、余弦定理及解三角形教案（全国通用）

‎2020届二轮复习 正弦、余弦定理及解三角形 教案（全国通用）‎ 例1. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，则BC＝(　　)‎ A. B. C． D. ‎ ‎【思路点拨】画出示意图，注意向量数量积的夹角是.‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵， ∴,‎ ‎∴，‎ 由余弦定理有，‎ ‎∴，从而BC＝.‎ ‎【总结升华】‎ 本题主要考查余弦定理以及三角形中有关的向量和三角函数的应用.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD，则sinC的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设BD=1，则，BC=2.‎ 在△ABC中，解得，在△ABC中，由正弦定理，得，故选D.‎ ‎【变式2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c。若，，则A=（ ）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎∴在△ABC中，∠A=30°.‎ ‎【变式3】已知△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理可求得，‎ ‎∴.‎ 例2. 在中，试确定满足下列条件的三角形的形状。‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）；‎ ‎（3），且.‎ ‎【思路点拨】（1）考虑用正弦定理将边化为角；（2）正弦、余弦定理都可以选用；（3）由可以先化简，再考虑用余弦定理.‎ ‎【解析】（1）由得，‎ 整理得：‎ 即，∴‎ 同理可得，‎ 所以为等边三角形.‎ ‎（2）方法一：化边为角 由正弦定理得：‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 即 ‎∵ ‎ ‎∴或，即或 故为等腰三角形或直角三角形。‎ 方法二：化角为边 由余弦定理得 整理得：，‎ 即或 故为等腰三角形或直角三角形。‎ ‎（3）∵ ∴即 ‎∵, ∴‎ 又∵ ‎ ‎∴，即 ‎∴即 ‎ 故是正三角形.‎ ‎【总结升华】依据正、余弦定理定理的结构特点，若在式子中出现的为与边相关的一次式，则一般多用正弦定理，如果利用余弦定理，将角的关系转化为边的关系，则需要有较高的恒等变形能力（比如第2小题）；若在式子中出现的为与边相关的二次式，则一般多用余弦定理.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知△ABC中,bsinB=csinC,且,试判断三角形的形状．‎ ‎【答案】为等腰直角三角形 ‎【解析】∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB=sinC，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 得 ‎ ‎∴三角形为等腰直角三角形．‎ ‎【变式2】在中，已知，试判断的形状．‎ ‎【答案】为直角三角形 ‎【解析】 由及余弦定理得 整理得：‎ 即， ∴， ‎ 即或，‎ ‎∴为直角三角形．‎ 类型二、解三角形及其综合应用 例3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，b=2，求△ABC的面积S.‎ ‎【思路点拨】（1）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后求得sinC与sinA的关系式，则的值可得；（2）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（1）中的结论和正弦定理求得a和c的另一个关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可得面积S.‎ ‎【解析】（1）由正弦定理，设，‎ 则，‎ 所以.‎ 即，‎ 化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）.‎ 又A+B+C=π，所以sinC=2sinA.‎ 因此.‎ ‎（2）由得c=‎2a.‎ 由余弦定理b2=a2+c2―‎2ac cosB及，b=2，‎ 得，解得a=1，从而c=2.‎ 又因为，且0＜B＜π，所以.‎ 因此.‎ ‎【总结升华】处理三角形中的三角函数求值时，要注意角的范围与三角函数符号之间的联系与影响.本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用，考查学生的基本分析能力及计算能力.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值．‎ ‎【解析】由余弦定理，因此， ‎ 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.‎ ‎ 由已知条件，应用正弦定理 解得从而 ‎【变式2】中， ，，则的周长为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎.‎ 例4.设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a，b，c依次成等比数列，试求：‎ ‎（1）角B的取值范围；‎ ‎（2）设t＝sinB＋cosB，求t的取值范围；‎ ‎（3）设，求y的取值范围.‎ ‎【思路点拨】（1）比数列的性质及余弦定理表示出，利用基本不等式及B是三角形内角可得到B的取值范围；（2）t显然化为，易求；（3）结合（2）可知，，从而函数y是关于t的函数，注意t的取值范围，求得y的范围.‎ ‎【解析】由题意得 ‎ ‎（1）由余弦定理得，∴ ‎ 又，∴，∴‎ 注意到，‎ 即所求B的取值范围为.‎ ‎（2）‎ ‎ ∵，∴，∴‎ ‎ ∴，即所求t的取值范围为.‎ ‎（3）设t＝sinB＋cosB，则且 ‎ ∴（）（）‎ ‎ ∵，∴，∴，‎ ‎ 即，即所求y的取值范围为.‎ ‎【总结升华】有关三角形中的三角函数问题，灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化，然后应用三角函数的有关概念及公式进行恒等变换，从而达到解题的目的.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a,b,c成等比数列，且求： ‎ ‎（1）的大小；‎ ‎（2）的值。‎ ‎【解析】（1）由a,b,c成等比数列得 又，∴‎ 在△ABC中由余弦定理得 ‎∴‎ ‎（2）解法一：运用正弦定理 在△ABC中，由正弦定理得 ‎ ‎∵， ‎ ‎∴‎ 解法二：运用三角形面积公式 在△ABC中由三角面积公式得 ‎ ‎∵，，∴ ‎ ‎，‎ ‎【高清课堂：正、余弦定理及解三角形401223 例5】‎ ‎【变式2】在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 ‎ （Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）1‎ 例5. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点. 现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里／小时，该救援船到达D点需要多少时间？‎ ‎【思路点拨】在△DAB中，由正弦定理得，由此可求得；然后在△DAB中，由余弦定理可求得CD；最后根据时间=路程速度，即可求得该救援船到达D点需要的时间. 准确找出题目中的方向角是解题的关键之处.‎ ‎【解析】由题意知（海里），‎ ‎∠DBA=90°－60°=30°，∠DAB=90°－45°=45°，‎ ‎∴∠ADB=180°－(45°+30°)=105°，‎ 在△DAB中，由正弦定理得，‎ ‎∴‎ ‎（海里）.‎ 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°－60°)=60°，海里，在△DBC中，由余弦定理得 ‎，‎ ‎∴CD=30（海里），则需要的时间（小时）.‎ ‎【总结升华】对图形进行有效的分析，便于使用正弦、余弦定理.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距‎20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?‎ ‎【解析】如图，连结，‎ ‎∵，，‎ ‎∴是等边三角形，，‎ 在中，由余弦定理得:‎ ‎，‎ ‎∴‎ 因此乙船的速度的大小为 答：乙船每小时航行海里.‎ ‎【变式2】如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）‎ A．a km B．km C． km D．‎2a km ‎【答案】B ‎ ‎【解析】利用余弦定理解△ABC. 易知∠ACB=120°，在△ABC中，由余弦定理得 ‎，‎ ‎∴km.‎