【数学】2018届一轮复习人教A版考点56不等式选讲学案

【数学】2018届一轮复习人教A版考点56不等式选讲学案

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点56 不等式选讲 ‎【考纲要求】‎ ‎1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：‎ ‎①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．‎ ‎②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．‎ ‎2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；　|ax＋b|≥c；　|x－c|＋|x－b|≥a．‎ ‎3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．‎ ‎【命题规律】‎ ‎ 不等式选讲近几年高考中是在解答题中第23题考查，一般设计绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题以及不等式的证明问题，难度中等.‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）绝对值不等式的解法 例1.【2017新课标1】已知函数，.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求实数a的取值范围.‎ ‎【分析】（1）将代入，不等式等价于，对按，‎ ‎，讨论，得出不等式的解集；（2）当时，.若的解集包含，等价于当时.则在的最小值必为与之一，所以且，从而得.‎ ‎（2）当时，.‎ 所以的解集包含，等价于当时.‎ 又在的最小值必为与之一，所以且，得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，‎ 借助图象解题.‎ ‎【变式1】【2018陕西山大附中等晋豫名校联考】‎ 已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）原不等式可化为： ，‎ 即 或，‎ 由得或，‎ 由得或，‎ 综上原不等式的解为或.学+ ‎ ‎（2）原不等式等价于的解集非空， :学 ]‎ 令，即，‎ 由，所以，‎ 所以.‎ ‎【变式2】【2017湖北省荆州市质检】‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时，，，[ : ]‎ 上述不等式可化为或或 解得或或 所以或或，‎ 所以原不等式的解集为 ‎（二）不等式的证明 例2.【2017年新课标2】已知．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【分析】（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向靠拢；‎ ‎（2）利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此．‎ ‎【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．‎ ‎【变式1】若a>0，b>0，且＋＝．‎ ‎（1）求a3＋b3的最小值； ‎ ‎（2）是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．‎ ‎【变式2】【2017河北邯郸联考】‎ 设．‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）当时，求证：．‎ ‎【解析】（1）由得：[ :学 ]‎ 或或，‎ 解得，所以的解集为.‎ ‎（2）当，即时，‎ 要证，即证.‎ 因为 ‎，‎ 所以，即.‎ ‎（三）绝对值不等式的恒成立、参数范围问题 例3.【2017新课标3】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.‎ ‎【分析】（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；（2）由题意结合绝对值不等式的性质有 ‎，则m的取值范围是.‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，无解；‎ 当时，由得，，解得；‎ 当时，由解得.‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）由得，而 ‎，‎ 且当时，.‎ 故实数m的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎【变式1】【2018河南中原名校质检】 ‎ 已知关于的不等式.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）原不等式变为.‎ 当时，原不等式化为，解得，所以 当时，原不等式化为，所以.‎ 当时，原不等式化为，解得，所以.‎ 综上，原不等式解集为.‎ ‎【变式2】已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.‎ ‎（1）求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集不是空集，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】（1）原不等式等价于或或 解得4，所以a<－3或a>5，‎ 所以实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．‎ ‎【数学思想】‎ ① 数形结合思想．‎ ② 分类讨论思想．‎ ③转化与化归思想.‎ ④函数方程思想.‎ ‎【温馨提示】‎ ①绝对值不等式中含参数时，通常要进行分类探求，注意分类要做到不重不漏；注意在分段时不要遗漏区间的端点值．‎ ②分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范．‎ ③用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的.‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1.【2018辽宁鞍山中学二模】已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1）当时，无解；‎ 当时， ；‎ 当时， .‎ 综上，实数的取值范围为 .‎ ‎（2）函数的最小值为， ，所以.‎ ‎2.【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数 的一个零点为2.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由， ，得，‎ 所以，所以或或，‎ 解得，故不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 作出函数的图象，如图所示，‎ 直线过定点，‎ 当此直线经过点时， ；‎ 当此直线与直线平行时， .‎ 故由图可知， .‎ ‎3.【2017四川省凉山州检测】已知函数．‎ ‎（1）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若方程有三个不同的解，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】 （1）令，则，‎ 作出函数的图象，‎ 由图可知，函数的最小值为，所以，即，‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎（2）在同一坐标系内作出函数图象和的图象如下图所示，由题意可知，把函数的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而．‎ ‎4.【20176广西柳州市模拟】已知函数．‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）如果，，求的取值范围．‎ ‎（2）若，的最小值为；‎ 若，的最小值为．‎ 所以，，所以实数的取值范围是．‎ ‎5.设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎（1）ab＋bc＋ca≤；‎ ‎（2）2＋＋≥1．‎ ‎【证明】（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1．‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤．‎ ‎（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c．‎ 所以＋＋≥1.‎ ‎6.【2018河南漯河中学三模】若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.‎ ‎（1）求；学 + ‎ ‎（2）若正实数满足，求的最小值.‎ ‎【解析】（1）因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 从而实数的最大值.‎ ‎（2）因为 ‎ ‎，‎ 所以，从而，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最小值为.‎