2018届二轮复习（文）圆锥曲线学案（全国通用）
【2017年高考考纲解读】
(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B级要求；
(2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A级要求；
(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求；曲线与方程，A级要求.
（4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.
【重点、难点剖析】
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
2．圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：＋＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)；
(2)双曲线：－＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或－＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)．
3．圆锥曲线的几何性质
(1)椭圆：e＝＝；
(2)双曲线：①e＝＝.
②渐近线方程：y＝±x或y＝±x.
4．求圆锥曲线标准方程常用的方法
(1)定义法
(2)待定系数法
①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义；
②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为＋＝1(m＞0，n＞0)；
双曲线方程可设为－＝1(mn＞0)．
这样可以避免讨论和繁琐的计算．
5．求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；
(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；
(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；
注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.
6．有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ |x2－x1|或|P1P2|＝|y2－y1|.
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算．
7．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆中的最值
F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有
①|OP|∈b，a]；
②|PF1|∈a－c，a＋c]；
③|PF1|·|PF2|∈b2，a2]；
④∠F1PF2≤∠F1BF2.
(2)双曲线中的最值
F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有
①|OP|≥a；
②|PF1|≥c－a.
8．定点、定值问题
定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
9．解决最值、范围问题的方法
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.
【题型示例】
题型1、圆锥曲线的定义与标准方程
【例1】【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m
1 D．m0)经过C，F两点，则＝________.
【命题意图】(1)本题主要考查双曲线的定义与性质，意在考查考生的基本运算能力．
(2)本题主要考查抛物线的图象、性质和正方形的性质，结合数形结合思想、转化思想和方程思想求解参数的比值问题，关键是由BC＝CD得出点D为抛物线的焦点．
【答案】(1)B (2)1＋
(2)由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.
【感悟提升】
1．圆锥曲线的离心率
椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和双曲线开口大小的一个量，其取值范围分别是01.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．
2．双曲线的渐近线
(1)求法：把双曲线标准方程等号的右边1改为零，分解因式可得．
(2)用法：
①可得或的值；
②利用渐近线方程来求双曲线的方程．
(3)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线．这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离．$来&源：ziyuanku.com
(4)要能灵活运用平时解题过程中推导出来的一些结论，如椭圆中焦点三角形的面积公式S△F1PF2＝b2tan，双曲线中的S△F1PF2＝(其中θ＝∠F1PF2)等，可简化运算过程，节省时间．(上述结论可结合正、余弦定理推导)
【变式探究】 (2013·浙江卷改编)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．
【答案】
【解析】 由题意可知|F1F2|＝2，∴c＝.设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，∴a＝，
∴e＝＝＝.
【规律方法】求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a，c，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a，c的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．
【变式探究】 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p
>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标为c，则椭圆的离心率为________．
【答案】 (1)2 (2)－1
题型3、求动点的轨迹方程
【例3】【2016高考山东理数】（本小题满分14分）
平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为
【解析】
将其代入得，
因为，所以直线方程为.
联立方程，得点的纵坐标为，
即点在定直线上.
【举一反三】(2015·北京，19)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．
(2)因为点B与点A关于x轴对称，
所以B(m，－n)．
设N(xN，0)，则xN＝.
“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，即yQ满足y＝|xM||xN|.
因为xM＝，xN＝，＋n2＝1.
所以y＝|xM||xN|＝＝2.
所以yQ＝或yQ＝－.
故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，)或
(0，－)．
【变式探究】 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足A·B＝－2，求点M的轨迹方程．
【解析】解 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
由题意可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c.
整理得22＋－1＝0，
得＝或＝－1(舍)，所以e＝.
不妨设A，B.
设点M的坐标为(x，y)，则A＝，B＝(x，y＋c)．由y＝(x－c)，得c＝x－y.于是A＝，B＝(x，x)．由题意知A·B＝－2，即·x＋y－x·x＝－2，化简得18x2－16xy－15＝0.将y＝代入c＝x－y，得c＝>0，所以x>0.因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
【规律方法】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．
(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．
【变式探究】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
【解析】(1)
设圆P的半径为r，则|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r，∴|PM|＋|PN|＝4>|MN|，∴P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴P的轨迹曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)由(1)知2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4，
∴圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)．
圆P的方程为(x－2)2＋y2＝4.
①当l的倾斜角为90°，方程为x＝0时，|AB|＝2，
②当l的倾斜角不为90°，$来&源：ziyuanku.com
题型四 双曲线的定义及标准方程
例4．【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.
【答案】2
【解析】∵是正方形，∴，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，∴，．故填：2．
【举一反三】(2015·福建，3)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】 B
【解析】 由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.
【变式探究】(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
【答案】 C
【解析】 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.
【举一反三】(2015·广东，7)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】 B
题型五 双曲线的几何性质
例5．【2016高考山东理数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
【答案】2
【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2.资*源%库 ziyuanku.com
【举一反三】(2015·四川，5)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．2 C．6 D．4
【答案】 D
【解析】 焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.选D.
【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2 C. D.
【答案】 D
【特别提醒】(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是
C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 由题意知M在双曲线C：－y2＝1上，又在x2＋y2＝3内部，由得y＝±，所以－0)交于M，N两点，
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
(2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋
＝＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，
所以点p(0，－a)符合题意.
题型七 直线与圆锥曲线的位置关系
例7．【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为；
②求p的取值范围.
【答案】（1）（2）①详见解析，②
【解析】
从而，化简得.
方程（*）的两根为，从而
因为在直线上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为在直线上
所以，即
由①知，于是，所以
因此的取值范围为
【举一反三】(2015·重庆，10)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【答案】 A
【变式探究】(2014·辽宁，10)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 ∵A(－2，3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，即得y2－8ky＋24k＋16＝0②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－(舍去)，将k＝2代入①②解得即B(8，8)，又F(2，0)，∴kBF＝＝，故选D.
【举一反三】(2015·山东，15)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1
的离心率为________．
【答案】
题型八 轨迹与轨迹方程
例8．【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【举一反三】(2015·四川，20)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)由已知，点(，1)在椭圆E上，
因此解得a＝2，b＝，
所以椭圆E方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|，
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)，
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，
又kQA＝＝＝k－，
kQB′＝＝＝－k＋＝k－，
所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，
所以＝＝＝，
故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得＝恒成立．
【变式探究】(2014·广东，20)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(
，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
同理－是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0的另一个根，
∴k·＝，得x＋y＝13，其中x0≠±3，
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝13(x≠±3)，
检验P(±3，±2)满足上式．
综上：点P的轨迹方程为x2＋y2＝13.
