2018届高三数学一轮复习: 第8章 第4节 课时分层训练48

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2018届高三数学一轮复习: 第8章 第4节 课时分层训练48

课时分层训练(四十八) ‎ 直线与圆、圆与圆的位置关系 A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(  )‎ A.相切      B.相交 C.相离 D.不确定 B [由题意知点在圆外,则a2+b2>1,圆心到直线的距离d=<1,故直线与圆相交.]‎ ‎2.(2017·山西太原模拟)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=(  )‎ A.21 B.19‎ C.9 D.-11‎ C [圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,因为圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2=(m<25).从而|C‎1C2|==5.‎ 两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9.]‎ ‎3.(2017·山西太原联考)过点(1,-2)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为(  )‎ A.y=- B.y=- C.y=- D.y=- B [圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,‎ 以=2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,‎ 将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-.]‎ ‎4.(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB外接圆的方程是(  )‎ ‎ 【导学号:01772299】‎ A.(x-2)2+(y-1)2=5‎ B.(x-4)2+(y-2)2=20‎ C.(x+2)2+(y+1)2=5‎ D.(x+4)2+(y+2)2=20‎ A [由题意知,O,A,B,P四点共圆,所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1).‎ 又圆的半径r=|OP|=,‎ 所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.]‎ ‎5.(2017·河北衡水中学三模)已知圆C:(x-1)2+y2=25,则过点P(2,-1)的圆C的所有弦中,以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是(  )‎ ‎ 【导学号:01772300】‎ A.10 B.9 C.10 D.9 C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直,且|PC|=,∴最短弦的长为2=2=2.故所求四边形的面积S=×10×2=10].‎ 二、填空题 ‎6.已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B两点,则线段AB的中垂线方程为________________. ‎ ‎【导学号:01772301】‎ x+y-3=0 [∵圆C1的圆心C1(3,0),圆C2的圆心C2(0,3),∴直线C‎1C2的方程为x+y-3=0,‎ AB的中垂线即直线C‎1C2,故其方程为x+y-3=0.]‎ ‎7.直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=__________.‎ ‎2 [依题意,不妨设直线y=x+a与单位圆相交于A,B两点,则∠AOB=90°.‎ 如图,此时a=1,b=-1,满足题意,所以a2+b2=2.]‎ ‎8.(2017·安徽十校联考)已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线l:kx-y-2k=0(k∈R),若直线l与圆C恒有公共点,则实数k的最小值是__________.‎ ‎- [圆心C(-2,0),半径r=2.‎ 又圆C与直线l恒有公共点.‎ 所以圆心C(-2,0)到直线l的距离d≤r.‎ 因此≤2,解得-≤k≤.‎ 所以实数k的最小值为-.]‎ 三、解答题 ‎9.已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5).‎ ‎(1)求过点A的圆的切线方程;‎ ‎(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.‎ ‎[解] (1)由圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,‎ 得(x-2)2+(y-3)2=1,圆心C(2,3).当斜率存在时,设过点A的圆的切线方程为y-5=k(x-3),‎ 即kx-y+5-3k=0.3分 由d==1,得k=.‎ 又斜率不存在时直线x=3也与圆相切,‎ 故所求切线方程为x=3或3x-4y+11=0.5分 ‎(2)直线OA的方程为y=x,即5x-3y=0,‎ 又点C到OA的距离d==.8分 又|OA|==.‎ 所以S=|OA|d=.12分 ‎10.(2017·唐山模拟)已知定点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).‎ ‎(1)若点M,N到直线l的距离相等,求实数k的值;‎ ‎(2)对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,求实数k的取值范围.‎ ‎[解] (1)∵点M,N到直线l的距离相等,‎ ‎∴l∥MN或l过MN的中点.‎ ‎∵M(0,2),N(-2,0),∴直线MN的斜率kMN=1,‎ MN的中点坐标为C(-1,1).3分 又∵直线l:kx-y-2k+2=0过定点D(2,2),‎ ‎∴当l∥MN时,k=kMN=1;‎ 当l过MN的中点时,k=kCD=.‎ 综上可知,k的值为1或.6分 ‎(2)∵对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,‎ ‎∴l与以MN为直径的圆相离,即圆心(-1,1)到直线l的距离大于半径,10分 ‎∴d=>,解得k<-或k>1.12分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,则ab的最大值为(  )‎ A. B.2‎ C.4 D.2 B [圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R).‎ 化为(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.‎ 圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R),化为x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为1.‎ ‎∵圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,‎ ‎∴=3-1,即a2+b2=4,ab≤(a2+b2)=2.‎ ‎∴ab的最大值为2.]‎ ‎2.(2017·济南质检)过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·=__________.‎  [如图所示,可知OA⊥AP,OB⊥BP,OP==2.‎ 又OA=OB=1,可以求得AP=BP=,∠APB=60°.‎ 故·=××cos 60°=.]‎ ‎3.已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点,直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧?‎ 若能,求出直线l的方程;若不能,请说明理由.‎ ‎ 【导学号:01772302】‎ ‎[解] (1)将y=kx代入圆C的方程x2+(y-4)2=4.‎ 得(1+k2)x2-8kx+12=0.2分 ‎∵直线l与圆C交于M,N两点,‎ ‎∴Δ=(-8k)2-4×12(1+k2)>0,得k2>3,(*)‎ ‎∴k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).5分 ‎(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧,‎ 则劣弧所对的圆心角∠MCN=90°,‎ 由圆C:x2+(y-4)2=4知圆心C(0,4),半径r=2. 8分 在Rt△MCN中,可求弦心距d=r·sin 45°=,‎ 故圆心C(0,4)到直线kx-y=0的距离=,‎ ‎∴1+k2=8,k=±,经验证k=±满足不等式(*),10分 故l的方程为y=±x.‎ 因此,存在满足条件的直线l,其方程为y=±x.12分
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