2018届高三数学一轮复习： 第8章 第4节 课时分层训练48

2018届高三数学一轮复习： 第8章 第4节 课时分层训练48

课时分层训练(四十八)　‎ 直线与圆、圆与圆的位置关系 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)‎ A．相切　　　　　 B.相交 C．相离 D.不确定 B　[由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．]‎ ‎2．(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)‎ A．21 B.19‎ C．9 D.－11‎ C　[圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而|C‎1C2|＝＝5.‎ 两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.]‎ ‎3．(2017·山西太原联考)过点(1，－2)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)‎ A．y＝－ B.y＝－ C．y＝－ D.y＝－ B　[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，‎ 以＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，‎ 将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.]‎ ‎4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是(　　)‎ ‎ 【导学号：01772299】‎ A．(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ B．(x－4)2＋(y－2)2＝20‎ C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5‎ D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20‎ A　[由题意知，O，A，B，P四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1)．‎ 又圆的半径r＝|OP|＝，‎ 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]‎ ‎5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是(　　)‎ ‎ 【导学号：01772300】‎ A．10 B.9 C．10 D.9 C　[易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝，∴最短弦的长为2＝2＝2.故所求四边形的面积S＝×10×2＝10]．‎ 二、填空题 ‎6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________. ‎ ‎【导学号：01772301】‎ x＋y－3＝0　[∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，∴直线C‎1C2的方程为x＋y－3＝0，‎ AB的中垂线即直线C‎1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]‎ ‎7．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝__________.‎ ‎2　[依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.‎ 如图，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.]‎ ‎8．(2017·安徽十校联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________．‎ ‎－　[圆心C(－2,0)，半径r＝2.‎ 又圆C与直线l恒有公共点．‎ 所以圆心C(－2,0)到直线l的距离d≤r.‎ 因此≤2，解得－≤k≤.‎ 所以实数k的最小值为－.]‎ 三、解答题 ‎9．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．‎ ‎(1)求过点A的圆的切线方程；‎ ‎(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.‎ ‎[解]　(1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，‎ 得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3)．当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，‎ 即kx－y＋5－3k＝0.3分 由d＝＝1，得k＝.‎ 又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，‎ 故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.5分 ‎(2)直线OA的方程为y＝x，即5x－3y＝0，‎ 又点C到OA的距离d＝＝.8分 又|OA|＝＝.‎ 所以S＝|OA|d＝.12分 ‎10．(2017·唐山模拟)已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．‎ ‎(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；‎ ‎(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵点M，N到直线l的距离相等，‎ ‎∴l∥MN或l过MN的中点．‎ ‎∵M(0,2)，N(－2,0)，∴直线MN的斜率kMN＝1，‎ MN的中点坐标为C(－1,1).3分 又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)，‎ ‎∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；‎ 当l过MN的中点时，k＝kCD＝.‎ 综上可知，k的值为1或.6分 ‎(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，‎ ‎∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l的距离大于半径，10分 ‎∴d＝>，解得k<－或k>1.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为(　　)‎ A. B.2‎ C．4 D.2 B　[圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．‎ 化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.‎ 圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1.‎ ‎∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，‎ ‎∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.‎ ‎∴ab的最大值为2.]‎ ‎2．(2017·济南质检)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝__________.‎ 　[如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，OP＝＝2.‎ 又OA＝OB＝1，可以求得AP＝BP＝，∠APB＝60°.‎ 故·＝××cos 60°＝.]‎ ‎3．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧？‎ 若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．‎ ‎ 【导学号：01772302】‎ ‎[解]　(1)将y＝kx代入圆C的方程x2＋(y－4)2＝4.‎ 得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.2分 ‎∵直线l与圆C交于M，N两点，‎ ‎∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)>0，得k2>3，(*)‎ ‎∴k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).5分 ‎(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧，‎ 则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，‎ 由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2. 8分 在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝，‎ 故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离＝，‎ ‎∴1＋k2＝8，k＝±，经验证k＝±满足不等式(*)，10分 故l的方程为y＝±x.‎ 因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±x.12分