中考数学第一轮复习导学案二次函数及其图象

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文档介绍

中考数学第一轮复习导学案二次函数及其图象

- 1 - 二次函数及其图象 ◆【课前热身】 1.向上发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 公尺,且时间与高度关系为 y=ax2bx.若此炮弹 在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的?( ) A. 第 8 秒 B. 第 10 秒 C.第 12 秒 D.第 15 秒 2.在平面直角坐标系中,将二次函数 22xy  的图象向上平移 2 个单位,所得图象的解析式 为( ) A. 22 2  xy B. 22 2  xy C. 2)2(2  xy D. 2)2(2  xy 3.抛物线 3)2( 2  xy 的顶点坐标是( ) A.( 2,3) B.(-2,3) C.( 2,-3) D.(-2,-3) 4.二次函数 2( 1) 2yx   的最小值是( ). A.2 B.1 C.-3 D. 2 3 5.抛物线 y=-2x2-4x-5 经过平移得到 y=-2x2,平移方法是( ) A.向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位 B.向左平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位 C.向右平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位 D.向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位 【参考答案】 1. B 2. B 3. A 4. A 5. D ◆【考点聚焦】 - 2 - 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1. 理解二次函数的概念; 2. 会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会 用描点法画二次函数的图象; 3. 会平移二次函数 y=ax2(a≠0)的图象得到二次函数 y=a(ax+m)2+k 的图象,了解 特殊与一般相互联系和转化的思想; 4. 会用待定系数法求二次函数的解析式; 5. 利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与 x 轴的交点 坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系. ◆【备考兵法】 〖考查重点与常见题型〗 1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:已知以 x 为自变量 的二次函数 y=(m-2)x2+m2-m-2 额图象经过原点,则 m 的值是 2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象,习题的特点是在同一直角 坐标系内考查两个函数的图象,试题类型为选择题,如:如图,如果函数 y=kx+ b 的图象在第一、二、三象限内,那么函数 y=kx2+bx-1 的图象大致是( ) y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中 档解答题和选拔性的综合题,如:已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴 - 3 - y x O 为 x=5 3 ,求这条抛物线的解析式. 4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题, 如:已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与 y 轴交点的纵坐标是-3 2 (1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的 开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题. 抛物线的平移 抛物线的平移主要是移动顶点的位置,将 y=ax2 沿着 y 轴(上“+”,下“-”)平移 k (k>0)个单位得到函数 y=ax2±k,将 y=ax2 沿着 x 轴(右“-”,左“+”)平移 h(h>0) 个单位得到 y=a(x±h)2.•在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,若沿 y•轴 平移则直接在解析式的常数项后进行加减(上加下减), 若沿 x 轴平移则直接在含 x 的括号 内进行加减(右减左加). ◆【考点链接】 1. 二次函数 2()y a x h k   的图象和性质 a >0 a <0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当 x= 时,y 有最 值 当 x= ,y 有最 值 增 减 性 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 - 4 - 2. 二次函数 cbxaxy  2 用配方法可化成   khxay  2 的形式,其中 h = , k = . 3. 二次函数 2()y a x h k   的图象和 2axy  图象的关系. 4. 二次函数 cbxaxy  2 中 cba ,, 的符号的确定. ◆【典例精析】 例 1 已知:二次函数为 y=x2-x+m,( 1)写出它的图象的开口方向,对称轴及顶点坐标;( 2) m 为何值时,顶点在 x 轴上方,( 3)若抛物线与 y 轴交于 A,过 A 作 AB∥x 轴交抛物线于另 一点 B,当 S△AOB=4 时,求此二次函数的解析式. 【分析】(1)用配方法可以达到目的;( 2)顶点在 x 轴的上方,•即顶点的纵坐标为正; (3)AB∥x 轴,A,B 两点的纵坐标是相等的,从而可求出 m 的值. 【解答】(1)∵由已知 y=x2-x+m 中,二次项系数 a=1>0,∴开口向上, 又∵y=x2-x+m=[x2-x+( 1 2 )2]- 1 4 +m=(x- )2+ 41 4 m  ∴对称轴是直线 x= ,顶点坐标为( , 41 4 m  ). (2)∵顶点在 x 轴上方, ∴顶点的纵坐标大于 0,即 >0 ∴m> ∴m> 时,顶点在 x 轴上方. (3)令 x=0,则 y=m. 即抛物线y=x2-x+m 与 y 轴交点的坐标是 A(0,m). ∵AB∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为 m. 当 x2-x+m=m 时,解得 x1=0,x2=1. ∴A(0,m), B(1,m) - 5 - 在 Rt△BAO 中,AB=1,OA=│m│. ∵S△AOB = 1 2 OA·AB=4. ∴ │m│·1=4,∴m=±8 故所求二次函数的解析式为 y=x2-x+8 或 y=x2-x-8. 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数 a,b,c•的符号与函数性质及位置的关系是 解答本题的关键之处. 会用待定系数法求二次函数解析式 例 2(湖北武汉)如图,抛物线 2 4y ax bx a   经过 ( 1 0)A  , 、 (0 4)C , 两点,与 x 轴交于另 一点 B . (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 ( 1)D m m, 在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接 BD ,点 P 为抛物线上一点,且 45DBP°,求点 P 的坐 标. 【分析】(1)中用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)中考查象限,点关于直线的对称点 求法;(3)中主要是做出正确的辅助线求解,进而求出点的坐标. 【答案】解:(1) 抛物线 2 4y ax bx a   经过 ( 1 0)A  , , (0 4)C , 两点, 40 4 4. a b a a    , 解得 1 3. a b    , 抛物线的解析式为 2 34y x x    . y x O A B C - 6 - (2) 点 ( 1)D m m, 在抛物线上, 21 3 4m m m      , 即 2 2 3 0mm   , 1m   或 3m  . 点 D 在第一象限,点 D 的坐标为 (3 4), . 由(1)知 45OA OB CBA  , °. 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E . (0 4)C , , CD AB ∥ ,且 3CD  , 45ECB DCB    °, E 点在 y 轴上,且 3CE CD. 1OE, (01)E , . 即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为(0,1). (3)方法一:作 PF AB⊥ 于 F , DE BC⊥ 于 E . 由(1)有: 4 45OB OC OBC   , °, 45DBP CBD PBA    °, . (0 4) (3 4)CD,, , , CD OB ∥ 且 3CD  . y x O A B C D E y x O A B C D E P F - 7 - 45DCE CBO    °, 32 2DE CE   . 4OB OC, 42BC , 52 2BE BC CE    , 3tan tan 5 DEPBF CBD BE      . 设 3PF t ,则 5BF t , 54OF t   , ( 5 4 3 )P t t   , . P 点在抛物线上,  23 ( 5 4) 3( 5 4) 4t t t        , 0t (舍去)或 22 25t  , 2 66 5 25P , . 方法二:过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点Q ,过点 D 作 DH x⊥ 轴于 H .过 Q 点 作QG DH⊥ 于G . 45PBD QD DB   °, . QDG BDH   90 °, 又 90DQG QDG    °, DQG BDH   . QDG DBH△ ≌△ , 4QG DH   , 1DG BH. 由(2)知 (3 4)D , , ( 13)Q, . (4 0)B , ,直线 BP 的解析式为 3 12 55yx   . y x O A B C D P Q G H - 8 - 解方程组 2 34 3 12 55 y x x yx         , , 得 1 1 4 0 x y    , ; 2 2 2 5 66.25 x y     , 点 P 的坐标为 2 66 5 25  , . ◆【迎考精练】 一、选择题 1.(上海市)抛物线 22( )y x m n   ( mn, 是常数)的顶点坐标是( ) A.()mn, B.()mn , C.()mn, D.()mn, 2.(陕西省)根据下表中的二次函数 cbxaxy  2 的自变量 x 与函数 y 的对应值,可判断二 次函数的图像与 x 轴 ( ) x … -1 0 1 2 … y … -1 4 7 -2 4 7 … A.只有一个交点 B.有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧 C.有两个交点,且它们均在 y 轴同侧 D.无交点 3.(湖北荆门)函数 y=ax+1 与 y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( ) 4.(广东深圳)二次函数 cbxaxy  2 的图象如图 2 所示,若点 A(1,y1)、 B(2,y2)是 它图象上的两点,则 y1 与 y2 的大小关系是( ) A. 21 yy  B. 21 yy  C. 21 yy  D.不能确定 A. B. C. D. 1 1 1 1 xo yy o x y o x x o y - 9 - 5.(湖北孝感)将函数 2y x x的图象向右平移 a( 0)a  个单位,得到函数 2 32y x x   的图象,则 a 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.(天津市)在平面直角坐标系中,先将抛物线 2 2y x x   关于 x 轴作轴对称变换,再 将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 ( ) A. 2 2y x x    B. 2 2y x x    C. 2 2y x x    D. 2 2y x x   7.(四川遂宁)把二次函数 34 1 2  xxy 用配方法化成   khxay  2 的形式 A.   224 1 2  xy B.   424 1 2  xy C.   424 1 2  xy D. 32 1 2 1 2       xy 8.(河北)某车的刹车距离 y(m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之间满足二次函数 21 20yx (x>0),若该车某次的刹车距离为 5 m,则开始刹车时的速度为( ) A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s 二、填空题 1.(北京市)若把代数式 2 23xx化为 2x m k的形式,其中 ,mk为常数, 则 mk = . 2.(安徽)已知二次函数的图象经过原点及点( 1 2 , 1 4 ),且图象与 x 轴的另一交点到原 点的距离为 1,则该二次函数的解析式为 3.(湖南郴州)抛物线 23( 1) 5yx= - - + 的顶点坐标为__________. - 10 - 4.(内蒙古包头)已知二次函数 2y ax bx c   的图象与 x 轴交于点 ( 2 0) , 、 1( 0)x, ,且 112x,与 y 轴的正半轴的交点在(0 2), 的下方.下列结论:① 4 2 0a b c   ;② 0ab;③ 20ac;④ 2 1 0ab   .其中正确结论的个数是 个. 5.(湖北襄樊)抛物线 2y x bx c    的图象如图所示, 则此抛物线的解析式为 . 6.(湖北荆门)函数 ( 2)(3 )y x x   取得最大值时, x ______. 三、解答题 1.(湖南衡阳)已知二次函数的图象过坐 标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二 次函数的关系式. 2.(湖南株洲)已知 ABC 为直角三角形, 90ACB  ,AC BC ,点 A 、C 在 x 轴上, 点 B 坐标为(3 , m )( 0m  ),线段 AB 与 y 轴相交于点 D ,以 P (1,0)为顶点的抛 物线过点 、 D . (1)求点 的坐标(用 m 表示); (2)求抛物线的解析式; (3)设点Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点,连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ,连结 BQ 并延长交 AC 于点 F ,试证明: ()FC AC EC 为定值. y x Q P F E D C B A O y x O 3 x=1 5 题 - 11 - 3.(湖南常德)已知二次函数过点 A (0, 2 ), B( 1 ,0), C( 59 48 , ). (1)求此二次函数的解析式; (2)判断点 M(1, 1 2 )是否在直线 AC 上? (3)过点 M(1, 1 2 )作一条直线l 与二次函数的图象交于 E、F 两点(不同于 A,B,C 三点),请自已给出 E 点的坐标,并证明△BEF 是直角三角形. 4. (陕西省) 如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且 OB=2OA,点 A 的坐标是 (-1,2). (1)求点 B 的坐标; (2)求过点 A、O、B 的抛物线的表达式; (3)连接 AB,在(2)中的抛物线上求出点 P,使得 S△ABP=S△ABO. 第 3 题 - 12 - 5.(湖北黄冈)新星电子科技公司积极应对世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业, 建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影 响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程( 公司对经营 的盈亏情况每月最后一天结算 1 次).公司累积获得的利润 y(万元)与销售时间第 x(月) 之间的函数关系式(即前 x 个月的利润总和 y 与 x 之间的关系)对应的点都在如图所示的图 象上.该图象从左至右,依次是线段 OA、曲线 AB 和曲线 BC,其中曲线 AB 为抛物线的一部 分,点 A 为该抛物线的顶点,曲线 BC 为另一抛物线 的一部分,且 点 A,B,C 的横坐标分别为 4,10,12 (1)求该公司累积获得的利润 y(万元)与时间第 x(月)之间的函数关系式; (2)直接写出第 x 个月所获得 S(万元)与时间 x(月)之间的函数关系式(不需要写 出计算过程); (3)前 12 个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元? 6.(内蒙古包头)某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于 成本单价,且获利不得高于 45%,经试销发现,销售量 (件)与销售单价 (元)符合一 次函数 ,且 时, ; 时, . (1)求一次函数 的表达式; - 13 - (2)若该商场获得利润为 元,试写出利润 与销售单价 之间的关系式;销售单价定 为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价 的范围. 7.(福建漳州)如图 1,已知:抛物线 与 轴交于 两点,与 轴交 于点 C,经过 B、C 两点的直线是 ,连结 . (1)B、C 两点坐标分别为 B(_____,_____)、C(_____,_____),抛物线的函数关系式 为______________; (2)判断 的形状,并说明理由; (3)若 内部能否截出面积最大的矩形 (顶点 在 各 边上)?若能,求出在 边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由. [抛物线 的顶点坐标是 ] - 14 - 【参考答案】 选择题 1. B 2. B 3. C 【解析】本题考查函数图象与性质,当 0a  时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向上, D 是错的,函数 y=ax+1 与 y=ax2+bx+1(a≠0)的图象必过(0,1),所以 C 是正确的, 故选 C. 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C 填空题 1. -3 2. 2y x x, 211 33yx   3. (1,5) 4. 4 【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解,方程根与系 数的关系筀等知识和数形 结合能力.根据题意画大致图象如图所示,由 2y ax bx c   与 X 轴的交点坐标为(-2,0) 得    22 2 0a b c       ,即 4 2 0a b c   所以①正确; 由图象开口向下知 0a ,由 与 X 轴的另一个交点坐标为 1,0x 且 112x,则该抛物线的对称轴为   12 1 2 2 2 xbx a      由 a<0 得 b>a,所以结论② 正确; 由一元二次方程根与系数的关系知 12.2cxx a   ,结合 a<0 得 20ac,所以③结论正 确; - 15 - 由 4 2 0a b c   得 2 2 cab   ,而 00, 所以结论④正确. 点拨: 是否成立,也就是判断当 2x  时, 2y ax bx c   的函数值 是否为 0;判断 中 a 符号利用抛物线的开口方向来判断,开口向上 a>0,开 口向下 a<0;判断 a、b 的小关系时,可利用对称轴 2 bx a 的值的情况来判断;判断 a、c 的关系时,可利用由一元二次方程根与系数的关系 12. cxx a 的值的范围来判断;2a-b+1 的 值情况可用 来判断. 5. 2 23y x x    【解析】本题考查二次函数的有关知识,由图象知该抛物线的对称轴是 1x  ,且过点(3, 0),所以 12 9 3 0 b bc       ,解得 2 3 b c    ,所以抛物线的解析式为 , 故填 6. 5 2 【解析】本题考查二次函数的最值问题,可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当 x 为 何值时二次函数取得最大值,下面用配方法, 2 2 5 49( 2)(3 ) 5 6 24y x x x x x           ,所以当 5 2x  时,函数 ( 2)(3 )y x x   取 得最大值,故填 解答题 1. 解:设这个二次函数的关系式为 得: 解得: ∴这个二次函数的关系式是 ,即 2. (1)由 (3, )Bm可知 3OC  , BC m ,又△ABC 为等腰直角三角形, ∴ AC BC m, 3OA m,所以点 A 的坐标是(3 ,0m ). (2)∵ 45ODA OAD     ∴ 3OD OA m   ,则点 D 的坐标是(0, 3m ). 又抛物线顶点为 (1,0)P ,且过点 B 、D ,所以可设抛物线的解析式为: 2( 1)y a x,得: - 16 - 2 2 (3 1) (0 1) 3 am am      解得 1 4 a m    ∴抛物线的解析式为 2 21y x x   (3)过点 Q 作 QM AC 于点 M ,过点 作 QN BC 于点 N ,设点 的坐标是 2( , 2 1)x x x,则 2( 1)QM CN x   , 3MC QN x   . ∵ //QM CE ∴ PQM ∽ PEC ∴ QM PM EC PC 即 2( 1) 1 2 xx EC  ,得 2( 1)EC x ∵ //QN FC ∴ BQN ∽ BFC ∴ QN BN FC BC 即 23 4 ( 1) 4 xx FC    ,得 4 1FC x  又∵ 4AC  ∴ 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x            即 ()FC AC EC 为定值 8. 3. (1)设二次函数的解析式为 cbxaxy  2 ( 0a  ), 把 A (0, 2 ), B( 1 ,0), C( 59 48 , )代入得 2 0 9 25 5 8 16 4 c a b c a b c             解得 a=2 , b=0 , c=-2, ∴ 222yx (2)设直线 AC 的解析式为 ( 0)y kx b k   , 把 A (0,-2), C( 59 48 , )代入得 2 95 84 b kb   , 解得 5 22kb  , ,∴ 5 22yx 当 x=1 时, 511222y     ∴M(1, 1 2 )在直线 AC 上 (3)设 E 点坐标为( 13 22, ),则直线 EM 的解析式为 45 36yx 由 2 45 36 22 yx yx     化简得 2 472036xx   ,即 17( )(2 ) 023xx   , 第 3 题 - 17 - ∴F 点的坐标为( 7 13 6 18 , ). 过 E 点作 EH⊥x 轴于 H,则 H 的坐标为( 1 02 ,). ∴ 31 22EH BH, ∴ 2 2 23 1 10( ) ( )2 2 4BE    , 类似地可得 2 2 213 13 1690 845( ) ( )18 6 324 162BF     , 2 2 240 10 2500 1250( ) ( )18 6 324 162EF     , ∴ 2 2 210 845 1250 4 162 162BE BF EF     ,∴△BEF 是直角三角形. 4. 解:(1)过点 A 作 AF⊥x 轴,垂足为点 F,过点 B 作 BE⊥x 轴,垂足为点 E, 则 AF=2,OF=1. ∵OA⊥OB, ∴∠AOF+∠BOE=90°. 又 ∵∠BOE+∠OBE=90°, ∴∠AOF=∠OBE. ∴Rt△AFO∽Rt△OEB. ∴ 2 OA OB AF OE OF BE . ∴BE=2,OE=4. ∴B(4,2). (2)设过点 A(-1,2),B(4,2),O(0,0)的抛物线为 y=ax2+bx+c. ∴       .0 ,2416 ,2 c cba cba 解之,得            .0 ,2 3 ,2 1 c b a ∴所求抛物线的表达式为 xxy 2 3 2 1 2  . (3)由题意,知 AB∥x 轴. 设抛物线上符合条件的点 P 到 AB 的距离为 d, - 18 - 则 S△ABP= AFABdAB  2 1 2 1 . ∴d=2. ∴点 P 的纵坐标只能是 0 或 4. 令 y=0,得 02 3 2 1 2  xx ,解之,得 x=0,或 x=3. ∴符合条件的点 P1(0,0),P2(3,0). 令 y=4,得 42 3 2 1 2  xx ,解之,得 2 413 x . ∴符合条件的点 P3( 2 413  ,4),P4( 2 413  ,4). ∴综上,符合题意的点有四个: P1(0,0),P2(3,0),P3( 2 413  ,4),P4( 2 413  ,4). (评卷时,无 P1(0,0)不扣分) 5.解:(1)当 时,线段 OA 的函数关系式为 ; 当 时, 由于曲线 AB 所在抛物线的顶点为 A(4,-40),设其解析式为 在 中,令 x=10,得 ;∴B(10,320) ∵B(10,320)在该抛物线上 ∴ 解得 ∴当 时, = 综上可知, (2) 当 时, 当 时, 当 时, - 19 - (3) 10 月份该公司所获得的利润最多,最多利润是 110 万元. 6. 解:(1)根据题意得 解得 . 所求一次函数的表达式为 . (2) , 抛物线的开口向下, 当 时, 随 的增大而增大, 而 , 当 时, . 当销售单价定为 87 元时,商场可获得最大利润,最大利润是 891 元. (3)由 ,得 , 整理得, ,解得, . 由图象可知,要使该商场获得利润不低于 500 元,销售单价应在 70 元到 110 元之间,而 ,所以,销售单价 的范围是 . 7. (1) (4,0), . . (2) 是直角三角形. 证明:令 ,则 . . . 解法一: . . - 20 - 是直角三角形. 解法二: , . . , .即 . 是直角三角形. (3)能. 当矩形两个顶点在 上时,如图 1, 交 于 . , . . 解法一:设 ,则 , , . = . 当 时, 最大. - 21 - . , . , . 解法二:设 ,则 . . 当 时, 最大. . , . , . 当矩形一个顶点在 上时, 与 重合,如图 2, , . - 22 - . 解法一:设 , , . = . 当 时, 最大. , . 解法二:设 , , , , . . = ∴当 时, 最大, . . ∴ - 23 - 综上所述:当矩形两个顶点在 上时,坐标分别为 ,(2,0); 当矩形一个顶点在 上时,坐标为
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