黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

鹤岗一中2019--2020年度上学期期中考试 高二数学理科试题 一、选择题：（每题5分）‎ ‎1.若直线，互相平行，则实数a的值为（ ）‎ A. 1或-2 B. 1 C. -2 D. 不存在 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断两条直线的斜率都存在，再根据两条直线平行的关系，得到的方程，从而解得的值.‎ ‎【详解】因为直线，互相平行 则两直线的斜率都应存在，‎ 所以由两直线平行得到 ‎，‎ 解得或，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查根据两直线的平行求参数的值，属于简单题.‎ ‎2.已知圆与抛物线的准线相切，则p的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆与抛物线准线相切，得到关于的方程，得到答案.‎ ‎【详解】抛物线的准线为，‎ 而根据题意得，圆与相切，‎ 所以，‎ 即.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查根据抛物线的准线，直线与圆的位置关系，属于简单题.‎ ‎3.若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ）‎ A. 4 B. 8 C. 16 D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，则即可求解.‎ ‎【详解】因为样本数据，，…，的方差为2，‎ 所以，，…，的方差为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了方差的概念及求法，属于容易题.‎ ‎4.已知与之间的几组数据如表：则与的线性回归方程必过点（　　）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎7‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出样本平均数，即可得到结论．‎ ‎【详解】 ，‎ 即与的线性回归方程必过点，‎ 故选 ‎【点睛】本题主要考查回归直线方程的性质，求出样本中心点是解决本题的关键．‎ ‎5.要从已编号(1～50)的50枚最新研制的某型导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是(　　)‎ A. 5，10，15，20，25 B. 3，13，23，33，43‎ C. 1，2，3，4，5 D. 2，4，8，16，32‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对导弹进行平均分组，根据系统抽样的基本原则可得结果.‎ ‎【详解】将枚导弹平均分为组，可知每组枚导弹 即分组为：，，，，‎ 按照系统抽样原则可知每组抽取枚，且编号成公差为的等差数列 由此可确定正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查抽样方法中的系统抽样，属于基础题.‎ ‎6.已知双曲线,点在双曲线上，则双曲线C的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入双曲线方程，得到，关系，然后得到双曲线的渐近线方程，得到答案.‎ ‎【详解】将点代入，‎ 得到，‎ 整理得，‎ 所以双曲线的渐近线方程为：，‎ 即.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查根据的齐次关系求渐近线方程，属于简单题.‎ ‎7.若曲线与直线始终有公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出两个函数的图象，观察图象，利用直线与圆相切可得b的一个临界值，进而求得结论.‎ ‎【详解】∵y表示在x轴上方的部分（包括x轴上的点），‎ 作出函数y与y＝x+b图象，‎ 由图可知：当直线与圆相切时，，即得,结合图像可知，‎ 又当直线过（1，0）时，b=-1，若曲线与直线始终有公共点，‎ 则﹣1.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想，属于中档题．‎ ‎8.点A、B分别为圆M：x2＋(y－3)2＝1与圆N：(x－3)2＋(y－8)2＝4上的动点，点C在直线x＋y＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，算出圆M关于直线对称的圆P方程，当点C位于线段NM上时，线段AB就是|AC|＋|BC|的最小值.‎ ‎【详解】解：设M(0，3)关于直线的对称点为P(－3，0)，且N(3，8)‎ ‎∴‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题是一道关于圆的方程的题目，解决问题的关键是根据图形得出|AC|＋|BC|在什么情况下取得最小值.‎ ‎9.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则双曲线离心率的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出两点的纵坐标，由是锐角三角形可得，从而得到关于离心率的不等式，求得答案.‎ ‎【详解】在双曲线中，‎ 令，得，‎ 所以两点的纵坐标分别为，‎ 由是锐角三角形，‎ 可得，即，‎ 所以有，‎ 而在双曲线中有 所以，即，‎ 同除得，，‎ 解得，‎ 又，‎ 所以，‎ 故，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查根据几何性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题.‎ ‎10.已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值是(　　)‎ A. 2 B. 4 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1，3)，则d＝＝，此时|AB|min＝2＝4，故选B.‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的加减运算和数量积的性质，可得，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可得到所求方程．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 得到，‎ 即有，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 根据题意，在等腰三角形中，‎ ‎，‎ 所以，‎ 即，‎ 整理得，‎ 而，‎ 所以得到，即，‎ 根据选项可知双曲线的标准方程可能为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知F为抛物线的焦点，点E在射线上，线段EF的垂直平分线为直线m，若m与l交于点，m与抛物线C交于点P，则的面积为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线方程求出焦点坐标,设出坐标,利用和垂直求得的值，则的方程可求,即可求得的坐标,由三角形的面积公式求得的面积．‎ ‎【详解】‎ 如图，由抛物线方程为,得，‎ 设，,则中点为，‎ 又 ，故 ‎ ‎ 和垂直，故：，‎ ‎ ，解得：.即 ‎ ,,，‎ ‎ 的中点的坐标为 ‎ 可得直线的方程为:‎ 联立直线和抛物线方程得: 解得: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的简单性质,考查了抛物线的与平面解析式的综合应用.考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力,属于中档题.‎ 二、填空题：（每题5分）‎ ‎13.设，满足约束条件，则的最小值是________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当平移到过点时，.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.‎ ‎14.已知为坐标原点，椭圆上的点到左焦点的距离为4，为的中点，则的值等于______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结，易得为三角形的中位线，进而可求出结果.‎ ‎【详解】如图所示，连结，因为为的中点，且为坐标原点，所以，‎ 由椭圆定义可得，又，所以，因此.‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义，熟记定义即可求解，属于常考题型.‎ ‎15.已知圆与圆有公共点，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，两圆有公共点为两圆位置关系为外切、相交、内切，从而得到两圆心之间的距离与半径之间的关系，从而得到关于的不等式，从而解得的范围.‎ ‎【详解】因为圆与圆有公共点，‎ 所以两圆位置关系为外切、相交、内切，‎ 所以得到，‎ 因为，故解得，‎ 即的取值范围为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查根据两圆位置关系求参数的范围，属于简单题.‎ ‎16.设抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限内一点，满足，已知为抛物线准线上任一点，当取得最小值时，的外接圆半径为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：根据抛物线的定义可知，解得，得，作抛物线的焦点，关于抛物线准线的对称点得，连接交抛物线的准线于点，使得取得最小值，此时点的坐标为，在中，分别应用正、余弦定理，即可求解结果.‎ 详解：由抛物线的方程可知，‎ 设，又由，根据抛物线的定义可知，‎ 解得，代入抛物线的方程，可得，即，‎ 作抛物线的焦点，关于抛物线准线的对称点得，‎ 连接交抛物线的准线于点，此时能使得取得最小值，‎ 此时点的坐标为，‎ 在中，，‎ 由余弦定理得，则，‎ 由正弦定理得，所以，‎ 即三角形外接圆的半径为.‎ 点睛：本题主要考查了抛物线标准方程及其定义的应用，以及正弦定理和余弦定理解三角形问题，其中解答中根据抛物线的定义和直线的对称性，得到点的坐标是解答的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ 三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）‎ ‎17.已知三点，，，D是BC中点．‎ ‎（1）求直线AD方程；‎ ‎（2）求过C与AB垂直的直线方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据是中点，得到坐标，然后根据点坐标，利用两点式写出直线方程，整理得到答案；（2）根据与垂直，得到所求直线的斜率，再由直线过点，点斜式写出直线方程，整理得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为，，且是中点，‎ 所以，‎ 而，所以由两点式可得的直线方程为 ‎，‎ 整理得；‎ ‎（2）直线的斜率，‎ 所以与垂直的直线的斜率，‎ 所以过与AB垂直的直线为，‎ 整理得.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程中两点式、点斜式，两直线垂直的斜率关系，属于简单题.‎ ‎18.若直线与x轴，y轴的交点分别为A，B，圆C以线段AB为直径．‎ ‎（1）求圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l过点且圆心C到l的距离为1，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到A，B的坐标，然后得到圆心的坐标，再求出半径，得到圆的标准方程；（2）研究直线斜率不存在是否满足题意，再研究当直线斜率存在时，利用圆心到直线的距离公式，得到斜率的方程，求出斜率，从而得到答案.‎ ‎【详解】（1）直线，‎ 令得，故，‎ 令得，故，‎ 所以根据题意中点，‎ 圆的半径，‎ 故圆的标准方程为：.‎ ‎（2）当直线斜率不存在，即，‎ 满足圆心到的距离为，符合题意，‎ 当直线斜率存在，设为，‎ 则，即，‎ 根据圆心到的距离为，‎ 得，解得，‎ 故直线，整理得，‎ 所以满足题意的直线的方程为：或 ‎【点睛】本题考查通过圆心和半径求圆的标准方程，根据点到直线的距离求直线方程，属于中档题.‎ ‎19.过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：，，，，，并整理得到频率分布直方图：‎ ‎（1）求图中的a值；‎ ‎（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中，各抽取多少人；‎ ‎（3）由频率分布直方图，求所有被调查人员的平均年龄．‎ ‎【答案】（1）（2）三个组依次抽取的人数为2，4，2（3）被调查人员的平均年龄为47岁 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据频率之和为，将每组对应的纵坐标相加后，再乘以组距等于，得到的值；（2）根据第二、三、四组的频率之比得到分层抽样的比例，再得到每组所抽取的人数，得到答案；（3）利用每组中间值和每组的频率得到所有被调查人员的平均年龄.‎ ‎【详解】解：（1）由频率分布直方图的性质可得 ‎，‎ 解得；‎ ‎（2）第二组、第三组、第四组的频率比为，‎ 因为共抽取人，‎ 所以三个组依次抽取的人数为，，；‎ ‎（3）根据频率分布直方图的性质，‎ 每组的中间值乘以对应的频率再相加，得到总体的平均值 ‎∴被调查人员的平均年龄为岁．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的性质计算频率、平均数，分层抽样比和每层数量的计算，属于简单题.‎ ‎20.已知抛物线过点的直线L交抛物线于A，B两点，坐标原点为 O，且，求抛物线的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线，代入抛物线方程，得到和，再得到，然后表示出的坐标形式，得到关于的方程，得到的值，从而得到所求的抛物线的方程.‎ ‎【详解】解：设直线，代入，‎ 得．（*）‎ 设，，‎ 则，，‎ 则．‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，得，‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的交点，根据交点坐标之间的关系求抛物线方程，属于中档题.‎ ‎21.如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，直线与直线交于点P，，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到，将点代入椭圆方程，结合，得到关于的方程组，解出，得到答案；（2）根据得到，从而得到，根据对称性得到与椭圆的另一个交点的坐标与的关系，从而得到，得到，再结合直线与椭圆联立后得到的，，从而得到关于的斜率的方程，得到答案.‎ ‎【详解】解（1）因为椭圆的左、右焦点分别为，，‎ 所以，‎ 把点代入椭圆方程，得到 而在椭圆中，‎ 解得，‎ 所以所求的椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）设交椭圆于另一点M，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 根据对称性可知点和点关于原点对称，‎ 所以 所以得到，‎ 设，‎ 所以，‎ 设直线，代入椭圆方程得 ‎，‎ ‎，，‎ 所以有 所以，‎ 解得，‎ 由，可知，‎ 故.‎ 所以的斜率为1．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的对称性，根据的值求椭圆方程，直线与椭圆的交点，属于中档题.‎ ‎22.椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若的周长为，且面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为为坐标原点，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过2a+2c=且，计算即得结论；‎ ‎（2）当直线AB的斜率k＝0时，|OP|，‎ 当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为：x＝my+t，由可得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，求得p（，）．由，⇒2t2＝m2+4，代入|OP|2的运算中，化简得|OP|2∈（，2]即可．‎ ‎【详解】（1）由题知，的周长为2a+2c=且，‎ ‎∴，c=‎ ‎∴椭圆C的方程为：；‎ ‎（2）当直线AB的斜率k＝0时，‎ 此时k1，k2（O为坐标原点），满足，k1＝-k2=﹣．‎ 可令OB的方程为：y，（xB＞0）‎ 由可得B（，），‎ 此时|OP|，‎ 当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为：x＝my+t，‎ 由可得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，‎ ‎△＝4m2t2﹣4（m2+4）（t2﹣4）＞0⇒m2﹣t2+4＞0…①‎ ‎，‎ x1+x2＝m（y1+y2）+2t．‎ ‎∴p（，）．‎ ‎∵，∵⇒4y1y2+x1x2＝0．‎ ‎⇒（4+m2）y1y2+mt（y1+y2）+t2＝0．‎ ‎⇒t2﹣4t2＝0．‎ ‎⇒2t2＝m2+4，且t2≥2，…②‎ 由①②可得t2≥2恒成立，‎ ‎|OP|2∈（，2]‎ ‎|OP|．‎ 综上，|OP|的取值范围为[，]．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的方程的求法，考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了计算能力，转化思想，属于难题．‎ ‎ ‎