2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-2 双曲线及其性质(理科)

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2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-2 双曲线及其性质(理科)

第2节 双曲线及其性质 题型116 双曲线的定义与标准方程 ‎1.(2013江西理14)抛物线的焦点为,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则 .‎ ‎2.(2013陕西理11) 双曲线的离心率为,则等于 .‎ ‎3.(2013广东理7)已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(2014 天津理 5)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为(  ).‎ A.   B.‎ C.   D.‎ ‎5.(2014 广东理 4)若实数满足则曲线与曲线的( ).‎ A.焦距相等 B.实半轴长相等 C. 虚半轴长相等  D.离心率相等 ‎6.(2014 北京理 11)设双曲线经过点,且与具有相同渐近线,则的方程为________;渐近线方程为________.‎ ‎7.(2015福建理3)若双曲线 的左、右焦点分别为,点在双曲线 上,且,则( ).‎ A.11 B.‎9 ‎ C.5 D.3‎ ‎7.解析 由双曲线定义得,即,得 ‎.故选B.‎ ‎8.(2015广东理7)已知双曲线的离心率,且其右焦点为,‎ 则双曲线的方程为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎8.解析 因为所求双曲线的右焦点为,且离心率为,所以,,‎ 所以,所以所求双曲线方程为.故选C.‎ ‎9.(2015天津理6)已知双曲线 的一条渐近线过点 ,且 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎9.解析 双曲线的渐近线方程为,‎ 由点在渐近线上,所以,‎ 双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上,‎ 所以,由此可解得,,所以双曲线方程为.故选D.‎ ‎10.(2016江苏3)在平面直角坐标系中,双曲线的焦距是 .‎ ‎10. 解析 ,故焦距为.‎ ‎11.(2016全国乙理5)已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为,则的取值范围是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎11. A 解析 由表示双曲线,则,‎ 得,所以焦距,得,‎ 因此.故选A.‎ ‎12.(2016天津理6)已知双曲线,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,四点,四边形的面积为,则双曲线的方程为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎12. D 解析 根据对称性,不妨设在第一象限,,‎ 联立,得.所以,得.‎ 故双曲线的方程为.故选D.‎ ‎13.(2016北京理13)双曲线的渐近线为正方形的边,所在的直线,点为该双曲线的焦点.若正方形的边长为,则_______________.‎ ‎13. 解析 可得双曲线C的渐近线方程为,所以.再由正方形的边长为,得其对角线的长,所以,解得.‎ ‎14.(2017北京理9)若双曲线的离心率为,则实数_________.‎ ‎14. 解析 由题知,则.‎ ‎15.(2017天津理5)已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过点和点两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎15.解析 由题意得,,所以.又因为,所以,,则双曲线方程为.故选B.‎ ‎16.(2017全国3卷理科5)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则的方程为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎16.解析 因为双曲线的一条渐近线方程为,则 ①‎ 又因为椭圆与双曲线有公共焦点,易知,则 ②‎ 由①,②,解得,则双曲线的方程为.故选B.‎ 题型117 双曲线的渐近线 ‎1.(2013江苏3)双曲线的两条渐近线的方程为 .‎ ‎2.(2013四川理6)抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. (2013福建理3)双曲线的顶点到渐近线的距离等于( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.(2014 新课标1理4)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.(2014 山东理 10)已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(2014 北京理 11)设双曲线经过点,且与具有相同渐近线,则的方程为________;渐近线方程为________.‎ ‎7.(2015安徽理4)下列双曲线中,焦点在轴上且渐近线方程为的是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 解析 由题可得选项A,C的渐近线方程都为,但选项A的焦点在轴上.‎ 故选C.‎ ‎8.(2015北京理10)已知双曲线的一条渐近线为,则 ‎ .‎ ‎8. 解析 依题意,双曲线的渐近线方程为,‎ 则,得.‎ ‎9.(2015江苏12)在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点.若 点到直线的距离大于恒成立,则实数的最大值为 .‎ ‎9. 解析 找到到直线的最小距离(或取不到),该值即为实数的最大值.‎ 由双曲线的渐近线为,易知与平行,‎ 因此该两平行线间的距离即为最小距离(且无法达到),故实数的最大值为 ‎.‎ ‎10.(2015四川理5)过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两 条渐近线于两点,则( ).]‎ A. B. C. 6 D. ‎ ‎10. 解析 由题意可得,,故.‎ 所以渐近线的方程为.将代入渐近线方程,得.‎ 则.故选D.‎ ‎11.(2015浙江理9)双曲线的焦距是 ,渐近线方程是 .‎ ‎11. 解析 因为,所以焦距是,渐近线方程为.‎ ‎12.(2015重庆理10)设双曲线的右焦点为,右顶点为,过 作的垂线与双曲线交于,两点,过,分别作,的垂线,两垂线交 于点.若到直线的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ‎( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 解析 根据题意知点一定在轴上,所以点到直线的距离为,由图知 ‎,,又因为,‎ 所以,解出,所以,‎ 根据实际情况,所以.故选A.‎ ‎13.(2016上海理21(1))双曲线的左、右焦点分别为,,直线过且与双曲线交于,两点.若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;‎ ‎13.解析 (1)由已知,,不妨取,则,由题意,又,,‎ 所以,即,解得,‎ 因此渐近线方程为.‎ ‎14.(2017江苏08)在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,其焦点是,则四边形的面积是 .‎ ‎14.解析 双曲线的渐近线方程为,而右准线为,所以,,从而.故填.‎ ‎15.(2017山东理14).在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点,若 ‎,则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎15. 解析 设,由题意得.‎ 又,所以,‎ 从而双曲线的渐近线方程为.‎ 题型118 双曲线离心率的值及取值范围 ‎1.(2013湖南理14)设是双曲线的两个焦点,是上一点,若 且的最小内角为,则的离心率为___.‎ ‎2.(2013浙江理9)如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二.四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎3.(2013湖北理5)已知,则双曲线与 的( ).‎ ‎ A. 实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 ‎4.(2014 重庆理 8)设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得,则该双曲线的离心率为( ).‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎5.(2014 湖北理 9)已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ).‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎6.(2014 浙江理 14)设直线与双曲线两条渐近线分别交于点,若点满足,则该双曲线的离心率是__________.‎ ‎7.(2015湖北理8)将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加 个单位长度,得到离心率为的双曲线,则( ).‎ ‎ A.对任意的, B.当时,;当时,‎ ‎ C.对任意的, D.当时,;当时,‎ ‎7.解析 由题意,,‎ 当时,,;当时,,.故选D.‎ 命题意图 考查双曲线的有关概念、性质及比较实数大小的基本方法 ‎8.(2015湖南理13)设是双曲线的一个焦点,若上存在点,使线 段的中点恰为其虚轴的一个端点,则的离心率为 .‎ ‎8. 解析 根据对称性,不妨设,短轴端点为,从而可知点在双曲线 上,所以.‎ ‎9.(2015全国II理11)已知为双曲线的左、右顶点,点在上,为 等腰三角形,且顶角为,则的离心率为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 解析 设双曲线方程为,如图所示,‎ 由,,则过点作轴,垂足为, ‎ 在中,,,故点的坐标为,‎ 代入双曲线方程可得,即有,所以.故选D.‎ 命题意图 在圆锥曲线的考查中,双曲线经常以选择或填空题的形式出现.一般抓住其定义和性质可以求解.本题中要充分利用顶角为的等腰三角形的性质来求解.‎ ‎10.(2015山东理15)平面直角坐标系中,双曲线的渐近 线与抛物线交于点. 若△的垂心为的焦点,则的 离心率为 .‎ ‎10.解析 由题意,可设所在直线方程为,则所在直线方程为,‎ 联立,解得,而抛物线的焦点为的垂心,‎ 所以,所以,所以,‎ 所以,所以.‎ ‎11.(2016山东理13)已知双曲线,若矩形的四个顶点在上,,的中点为的两个焦点,且,则的离心率是_______.‎ ‎ 11. 解析 由题意,,又因为,则,于是点在双曲线上,代入方程,得,再由得的离心率为.‎ ‎12.(2016全国甲理11)已知,是双曲线E:的左,右焦点,点M在E上,与轴垂直,,则E的离心率为( ).‎ A. B. C. D.2‎ ‎12. A 解析 离心率,因为,所以.故选A.‎ ‎13.(2016四川理19)已知数列的首项为, 为数列的前项和, ,其中, .‎ ‎(1)若,,成等差数列,求的通项公式;‎ ‎(2)设双曲线 的离心率为 ,且 ,证明:.‎ ‎13.解析 (1)由已知得,,,两式相减得到,‎ ‎.又由得到,故对所有都成立.‎ 所以,数列是首项为,公比为的等比数列.从而.‎ 由,,成等差数列,可得,即,则.‎ 又,所以.所以.‎ ‎(2)由(1)可知,.‎ 所以双曲线的离心率 .‎ 由,解得.‎ 因为,所以.‎ 于是,故.‎ ‎14.(2107全国2卷理科9)若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为( ).‎ A.2 B. C. D.‎ ‎14.解析 取渐近线,化成一般式,圆心到直线的距离为,得,,.故选A.‎ ‎15.(2017全国1卷理科15)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于,两点.若,则的离心率为________.‎ ‎15. 解析 如图所示,,.因为,所以,‎ ‎,从而.又因为,所以 ‎,解得,则.‎ 题型119 双曲线的焦点三角形 ‎1.(2014 大纲理 9)已知双曲线的离心率为,焦点为,,点在上,若,则( ).‎ A. B. C. D.‎
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