衡水中学2019届高三开学二调考试（数学文）（解析版）

衡水中学2019届高三开学二调考试（数学文）（解析版）

河北省衡水中学2019届高三开学二调考试（数学文）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 注意事项： ‎ ‎1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2.答卷Ⅰ前，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1.设集合，．若，则 (　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵ 集合，，‎ ‎ ∴是方程的解，即 ‎ ∴‎ ‎ ∴，故选C ‎2.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：逐一按奇偶性以及单调性定义验证与判定.‎ 详解：因为在其定义域上既是非奇非偶函数又是减函数，‎ 在其定义域上是奇函数,在和上是减函数，‎ 在其定义域上是偶函数,‎ 在其定义域上既是奇函数又是减函数 因此选D,‎ 点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．‎ ‎3.命题则为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据特称命题的否定为全称命题，易知原命题的否定为:, 故选B．‎ ‎4.下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可。‎ 详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点。‎ 故选项B正确 点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题。‎ ‎5.函数的图象可能是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项；因为时，，所以排除选项，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1‎ ‎）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎6.已知实数若函数的零点所在区间为，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的单调性，结合函数零点判定定理进行求解即可．‎ ‎【详解】当a＞1时，函数f（x）为增函数， 若函数f（x）的零点所在区间为（0，1）， 当x→0时，f（x）＜0， 则只需要f（1）＞0，即可， 则f（1）=0+1-m＞0，得m＜1， 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点判定定理的应用，根据条件判断函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎7.已知，则的大小关系为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.‎ 详解：由题意可知：，即，，即，‎ ‎，即，综上可得：.本题选择D选项.‎ 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎8.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．‎ ‎【详解】∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax2+（b-a）x-b为偶函数， ∴f（-x）=f（x）， 则ax2-（b-a）x-b=ax2+（b-a）x-b， 即-（b-a）=b-a， 得b-a=0，得b=a， 则f（x）=ax2-a=a（x2-1）， 若f（x）在（0，+∞）单调递减， 则a＜0， 由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0， 得x＞4或x＜2， 即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞）， 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键．‎ ‎9.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）‎ A. -2018 B. 0 C. 2 D. 50‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．‎ 详解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），‎ ‎∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，‎ 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），‎ 即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ ‎∵f（1）=2，‎ ‎∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，‎ f（4）=f（0）=0，‎ 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，‎ 则 ‎=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）+f（2018）‎ ‎=f（1）+f（2）=2+0=2，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．‎ ‎10.如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是 A. 是的极大值点 B. 是的极小值点 C. 不是的极值点 D. 是的极值点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由F（x）=f（x）-g（x）在x0处先减后增，得到F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点．‎ ‎【详解】：∵可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x）， ∴F（x）=f（x）-g（x）在x0处先减后增， ∴F′（x0）=0， x=x0是F（x）的极小值点． 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ ‎11.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在有交点，通过分析整理，结合二次函数的性质判断即可.‎ 解析：，‎ 若在上不单调，‎ 令，‎ 则函数与x轴在有交点，‎ 设其解为，‎ 则，‎ 因此方程的两解不可能都大于1，‎ 其在中只有一解，‎ 其充要条件是，‎ 解得或，‎ 因此选项C是满足要求的一个充分必要条件.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质.‎ ‎12.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，结合题意得到 ，从而求出f（x）的解析式；‎ ‎【详解】由， 得 ‎ ，即， 所以 ， 所以 ，又因为f（0）=1，所以c=1， 所以函数f（x）的解析式是；‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了考查导数的应用以及求函数的解析式问题，考查转化思想，是一道中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）‎ ‎13.已知为定义在上的奇函数，当时，则_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，利用f（-3）=-f（3），即可求得所求的函数值．‎ ‎【详解】由题意，f（x）是定义在R上的奇函数， 当x≥0时（m为常数）， ∴f（0）=20+m=0，解得m=-1， 故有x≥0时f（x）=2x-1， ∴f（-3）=-f（3）=-7， 故答案为：-7．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用f（0）=0求出参数m的值，再利用性质转化求值，本题考查了转化的思想，方程的思想．‎ ‎14.设函数若，则实数的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a≤0时，f（a）=22a-1+3=4，a＞0时，f（a）=1-log2a=4，由此能求出实数a的值．‎ ‎【详解】函数，， ∴a≤0时，f（a）=22a-1+3=4，解得（舍）， a＞0时，f（a）=1-log2a=4，解得 ， ∴实数a的值为．‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：构造函数，故函数单调递减，，即.‎ 考点：函数导数与不等式．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查函数导数与不等式，构造函数法求解不等式.通过阅读题目，可以知道，这是一个定义在上的函数，有的时候题目还会增加奇偶性.另外给了一个含有导数的式子，像这样的题目我们一般考虑构造函数来做，即构造，利用导数可以知道它是单调递减的，这样我们就可以将要求解的不等式利用单调性求解出来.‎ ‎16.已知定义在上的函数满足：①；②在上为增函数.若时，成立，则实数的取值范围为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：首先根据，得到函数的图像关于直线对称，再由其在上为增函数，推出其在上是减函数，得到函数随着自变量的变化，函数值的变化趋势，从而利用，得到，化简求值即可得结果.‎ 详解：根据题意，可知函数的图像关于直线对称，‎ 因为其在上为增函数，则在上是减函数，‎ 并且距离自变量离1越近，则函数值越小，‎ 由可得，，化简得，‎ 因为，所以，‎ 所以该不等式可以化为，‎ 即不等式组在上恒成立，‎ 从而有，解得，故答案为.‎ 点睛：该题是对有关函数的性质的综合考查，涉及的知识点有函数图像的对称性，函数图像的单调性，函数值的大小与自变量的大小的关系，绝对值不等式的解法，以及不等式在某个区间上恒成立的问题，注意对不等式的转化，找到相应的不等式组，从而可以求得结果.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置上）‎ ‎17.（1）关于的方程有两个不相等的正实数根，求实数取值的集合；‎ ‎（2）不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意，列出不等式组，即可求解实数取值的集合；（2）根据和分类讨论，即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）依题知，∴，‎ ‎∴ 实数的取值的集合为；‎ ‎（2）①当时，不等式成立，‎ ‎②当时，，∴，综上，∴．‎ 考点：一元二次方程的根；不等式的恒成立．‎ ‎18.函数是实数集上的奇函数，当时，‎ ‎（1）求的值和函数的表达式；‎ ‎（2）求方程在上的零点个数.‎ ‎【答案】（1）； （2）方程在上有3个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的奇偶性的性质，转化求解．利用函数的奇偶性，求解函数解析式即可． （2）因为f（2）=log22+2-3=0，所以方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有解x=2，又方程f（x）=0可化为log2x=3-x，设函数g（x）=log2x，h（x）=3-x，证明方程g（x）=h（x）在区间（0，+∞）上只有一个解即可．又函数是实数集上的奇函数，所以方程在区间上有解，且，所以方程在上有3个零点.‎ ‎【详解】（1）由题知，函数是实数集上的奇函数，‎ 所以，即.（2分）‎ 又函数是实数集上的奇函数，所以.（3分）‎ 当时，所以，‎ 所以，即.‎ 所以;‎ ‎（2）易知在区间上为增函数，‎ 因为由零点存在定理，可知方程上有唯一解.‎ ‎ 又函数是实数集上的奇函数，所以方程在区间上有解，‎ ‎ 且，所以方程在上有3个零点.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查函数值以及函数的求法，函数的零点的应用，考查计算能力．‎ ‎19.已知函数在处取得极值.‎ ‎（1）求，并求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，利用f（x）在x=1处取得极值，得到f′（1）=0，得到a=3，求出切点坐标切线的斜率，然后求解函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程． （2）由（1），通过导函数的符号，求解函数的单调增区间与函数的单调减区间．‎ ‎【详解】（1）由题得，‎ ‎ 又函数在处取得极值，所以解得 ‎ 即.（3分）‎ 因为，所以，‎ 所以曲线在点.‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 令，‎ 所以的单调递增区间为.‎ 令，‎ 所以的单调递减区间为.‎ 综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的切线方程的求法，单调区间的求法，考查计算能力．‎ ‎20.已知函数在点处的切线方程为 ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若存在，满足求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）利用导数求得切线方程，将其和已知的切线方程对比，可得.（II）将原不等式分离常数，得到在上有解，令，利用其二阶导数判断出在区间 上单调递减，求得其最小值，进而得到的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为.‎ 因为，所以.‎ 所以函数在点处的切线方程为 ，即.‎ 已知函数在点处的切线方程为，比较求得.‎ 所以实数的值为.‎ ‎（Ⅱ）由，即 .‎ 所以问题转化为在上有解.‎ 令 ，‎ 则 .‎ 令，‎ 所以当时，有 .‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 所以 .‎ 所以，即在区间上单调递减.‎ 所以 .‎ 所以实数的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查函数导数与切线，函数导数与不等式存在性问题的求解.第一问涉及函数导数与切线的问题，主要把握住两个关键，一个是切点的坐标，一个是在切点处切线的斜率.第二问根据存在性问题求参数的取值范围，主要采用分离常数法，利用导数求得含有部分函数的最值，即可求得参数的取值范围.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）设函数若对 恒不小于，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导数f′（x）=ex-1，解f′（x）＜0和f′（x）＞0便可得出函数f（x）的单调区间，从而求出函数f（x）的极小值，并判断没有极大值； （2）根据条件可得出，对任意的x∈R，都有ex-mx-n≥0成立，然后令u（x）=ex-mx-n，求导u′（x）=ex-m，讨论m的取值，根据导数符号求函数的最小值，从而得出m+n≤2m-mlnm，同样根据导数便可求出2m-mlnm的最大值，这样即可求出m+n的最大值．‎ ‎【详解】（1）由题得，.‎ 令令.‎ 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 故函数的极小值为，无极大值. ‎ ‎（2）依题意对恒成立.‎ ‎ 令 ‎ ①若，则在上单调递增，没有最小值，不合题意，舍去； ‎ ‎②若，令得.‎ 当 即时，单调递减；‎ 当 即时，单调递增.‎ 故 故.（9分）‎ 令，则.‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 故，即，即.‎ ‎【点睛】本题考查根据导数求函数极值的方法与过程，以及导数符号和函数单调性的关系，以及根据导数求函数最值的方法．‎ ‎22.已知函数，其中 ‎（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数在区间上有极大值，求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数，其中x＞0，a∈R．可得．由题意可得：在区间（1，+∞）上有解，分离参数可得： 上有解．设，利用到时讨论其的单调性即可得出． （2）当a≥0时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，此时无极值．‎ 当时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，此时无极值．‎ 当时，，得.．（其中）‎ ‎．所以函数f（x）在[1，α）上单调递减，在（α，β）上单调递增，在（β，+∞）上单调递减，由极大值，又aβ2+β-1=0，消去a利用导数研究函数的单调性进而得出．‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以上有解，‎ 所以 上有解.‎ 设 所以函数在上是减函数，在上是增函数，‎ 所以 ‎ 经验证，当时，函数上单调，‎ 所以.‎ ‎（2）当 所以.‎ ‎ 当时， 所以.‎ ‎ 当时，由，得.‎ ‎（其中）‎ ‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎ 由极大值.‎ ‎ 又 ‎ ‎ 设函数，则，‎ ‎ 所以函数在上单调递增.‎ 而所以 故当时，.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎ ‎