九年级数学 方程组与不等式组 1 中考考点复习 练习题及答案

九年级数学 方程组与不等式组 1 中考考点复习 练习题及答案

方程组与不等式组（一）‎ 中考考点复习 练习题 考点11 一元一次方程 温故而知新：‎ ‎1.等式的概念及性质 等式：表示相等关系的式子叫做等式.‎ 等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍相等.‎ ‎（2）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.‎ ‎2.一元一次方程及相关概念 方程：含有未知数的等式叫做方程.‎ 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解也叫它的根.‎ 解方程：求方程解的过程叫做解方程.‎ 一元一次方程：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.‎ 一元一次方程的一般形式 ：ax+b=0(a≠0).‎ ‎3.一元一次方程的解法 一般步骤：（1）去分母，（2）去括号，（3）移项，（4）合并同类项，（5）系数化1.‎ 注意：（1）去分母时不要漏乘无分母的项.‎ ‎（2）去括号时，括号前是“-”号，去掉括号时括号内每一项都要改变符号.‎ ‎（3）移项时要变号. ‎ 探究类型之一 等式的基本性质 ‎ 例 1 如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（ ）‎ A.10g，40g B.15g，35g C.20g，30g D.30g，20g 解析：设每块巧克力和每个果冻的重量分别为x g，y g，‎ 则解得 答案：C 小结：（1）当天平的左右两盘的质量相等时，天平就处于平衡状态，即可找到等量关系.‎ ‎(2)利用等式性质，等式两边同乘以（或除以）同一个数时，一定要注意此数不为0.‎ 举一反三：‎ ‎1.如图①所示，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②所示，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A与____个砝码C的质量相等．‎ 解析： = =‎ ‎ = = ‎ ‎ =‎ 例2 依据下列解方程=的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据.‎ 解：原方程可变形为=.(________分数的性质___________)‎ 去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (________等式的性质___________)‎ 去括号，得9x+15=4x-2.（__________乘法分配律____________）‎ ‎(_______移项__________),得9x-4x=-15-2. (_______等式的性质___________)‎ 合并，得5x=-17. (__________合并同类项法则__________)‎ ‎（_______系数化为1__________）,得x=-.（________等式的性质_____________） ‎ 小结：解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1等.在解具体方程时，要仔细观察它的特点，注意解方程的方法与技巧；去分母时，分子是多项式的要添括号. ‎ 举一反三：‎ ‎2.解方程.‎ 解析：先去分母，然后再去括号、移项、合并同类项，最后再将系数化为1，在去分母的过程中，注意不含分母的项别忘了也要乘各分母的最小公倍数.‎ 考点12 二元一次方程组的解法 温故而知新：‎ ‎1.二元一次方程组的有关概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.‎ 二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做二元一次方程的解.‎ 二元一次方程组：由几个二元一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组.‎ 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.‎ ‎2.二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法.‎ 例1 已知是二元一次方程组的解，则a-b的值为（ ）‎ A.－1 B.1 C.2 D.3‎ ‎ ‎ 解析：把代入到二元一次方程组中得解得 a-b=2-3=-1.‎ 答案：A 小结：（1）根据方程组的概念，代入原方程组可以判定给出的一对未知数的值是不是二元一次方程组的解．‎ ‎（2）适合二元一次方程的一对未知数的值叫二元一次方程的一个解.‎ 举一反三：‎ ‎1.若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y < 2，则a的取值范围为___________．‎ 解析：将两个二元一次方程相加得4x+4y=4+a，即x+y=； ‎ ‎＜2，解得a＜4.‎ ‎3. 已知是关于x，y的二元一次方程x=y+a的解，求（a+1）（a-1）+7的值.‎ 解析：把代入x=y+a得2=+a，解得a=； ‎ ‎（a+1）（a-1）+7=a2+6=（）2+6=9.‎ 例 2 解方程组：‎ 解析：用加减消元法解此二元一次方程组.‎ 答案：解：‎ ‎①×2+②×3得，13x=26，即x=2.‎ 把x=2代入②得6+2y=12，解得y=3.‎ 所以此二元一次方程组的解为 小结：（1）在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法.‎ ‎（2）当两个方程中的某个未知数的系数相等时，或者系数均不为零时，一般采用加减消元法把两个方程增大适当的倍数再相加减可消去一个未知数.‎ 举一反三：‎ ‎2.解方程组：‎ 解析：此二元一次方程组适合用代入法解.‎ 考点13 二元一次方程组的应用 温故而知新：‎ ‎1.列方程（组）解应用题的一般步骤：‎ 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.‎ 设：设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位.‎ 列：根据题意寻找等量关系列方程.‎ 解：解方程.‎ 验：检验方程的解是否符合题意.‎ 答：写出答案（包括单位）.‎ ‎2.常见的几种方程类型及等量关系 ‎ ‎（1）行程问题 基本量之间的关系：路程=速度×时间.‎ 相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程.‎ 追及问题：若甲为快者，则被追路程=甲走的路程-乙走的路程.‎ 流水问题：v顺=v静+v水，v逆=v静-v水.‎ ‎（2）工程问题 基本量之间的关系：工作效率=.‎ 相等关系：甲、乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.‎ 提醒：工程问题中通常把工作总量看做“1”.‎ ‎（3）利率问题 等量关系：①本息和=本金+利息.‎ ‎②利息=本金×利率×期数.‎ ‎③利息税总额=利息总额×利息税率.‎ 例1 某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，班主任安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：‎ 请根据上面的信息，解决问题：（1）试计算两种笔记本各买了多少本？（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？‎ 解析：（1）根据相等关系：两种笔记本本数和=40，两种笔记本钱数=300-68+13列方程组求解；‎ ‎（2）根据相等关系：两种笔记本本数和=40，两种笔记本钱数=300-68列方程组，解方程组得出解不为正整数即可说明.‎ 答案：解：设5元的笔记本买了x本，8元的笔记本买了y本.‎ ‎（1）根据题意得解得 故5元的笔记本买了25本，8元的笔记本买了15本.‎ ‎（2）如果是找回68元，则买笔记本共花了232元，可得方程组 解得由于买的笔记本的数量只能是整数，故与实际生活不符，也就是说不可能找回68元.‎ 小结：运用二元一次方程解应用题，关键是弄清题意，找出各种等量关系，列出方程并解出结果.对于用图表信息的形式表示的等量关系，要从数据出发，探究内在联系从而找出等量关系.‎ 举一反三：‎ ‎1.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是（ ） ‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析：根据等量关系“甲种奖品件数+乙种奖品件数=30件”及“购买甲种奖品钱数+购买乙种奖品钱数=400元”列方程组.‎ ‎2. 在长为10 m,宽为8 m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示，求小矩形花圃的长和宽．‎ 解析：设小矩形花圃的长为x m，宽为y m，观察图形可得 ‎3.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“‎ 我乘这种出租车走了23千米，付了35元”.请你算一算这种出租车的起步价是多少元？超过3千米后，每千米的车费是多少元？‎ 解析：设这种出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，根据题意可得 考点14 一元二次方程 温故而知新：‎ ‎1.一元二次方程的概念 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).‎ 易错点：一元二次方程的概念隐含其二次项系数不等于0，故解有关字母系数的一元二次方程不要忘掉其二次项系数a≠0.‎ ‎2.一元二次方程的解法 ‎（1）直接开平方法：它适合于(x+a)2=b(b≥0)或(ax+b)2=(cx+d)2形式的方程.‎ ‎（2）配方法：通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法，叫做配方法.‎ ‎（3）公式法：先把方程整理成一般形式ax2+bx+c=0,且b2-4ac≥0，其求根公式为x1,2= .‎ ‎（4）因式分解法：把方程化为mn=0,得m=0或n=0的形式.‎ 例 1 若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解，则m的值是（ ）‎ A.6 B.5 C.2 D.-6‎ 解析：把x=2代入x2-mx+8=0得4-2m+8=0，解得m=6.‎ 答案：A 小结：1）由一元二次方程根的定义，可以求出一元二次方程未知系数的值；（2）通常的方法是代入求解.‎ 举一反三：‎ ‎2.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）‎ A.1 B.2 C.-2 D.-1‎ 解析：方法一：把x=1代入x2+bx-2=0得1+b-2=0，得b=1，所以x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2；方法二：根据根与系数的关系可知x1x2=-2，又x1=1，故x2=-2.‎ 例 2 解方程x2-4x+1=0.‎ 解析：用配方法或公式法求解.‎ 答案：解： 方法一：移项，得x2-4x=-1.‎ 配方，得（x-2）2=3.‎ 两边开平方，得x-2=，故x=2，即x1=2+，x2=2-.‎ 方法二：因为a=1，b=-4，c=1，所以=b2-4ac=12＞0.‎ 方程有两个不相等的实数根 x===2，即x1=2+，x2=2-.‎ 小结：（1）解一元二次方程先要观察其特点再选定适当的方法；（2）对于不能使用特殊方法的，要选择求根公式法，但必须注意到根的判别式的值，作出根的情况判断，再求根.‎ 举一反三：‎ ‎1.一元二次方程x(x-1)=0的解是（ ）‎ A.x=0 B.x=1‎ C.x=0或x=1 D.x=0或x=-1‎ 解析：由x(x-1)=0可得x=0或x-1=0，即x=0或x=1.‎ ‎3. 解方程x(x+6)=16.（用三种不同的方法）‎ 解析：将方程化为x2+6x=16然后用配方法求解或将方程化为x2+6x-16=0，然后再用公式法或因式分解法求解.‎ 考点15 一元二次方程根的判别式 温故而知新：‎ 一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,也把它记作Δ=b2-4ac.‎ ‎（1）b2-4ac>0方程有两个不相等的实数根.‎ ‎（2）b2-4ac=0方程有两个相等的实数根.‎ ‎（3）b2-4ac<0方程没有实数根.‎ ‎（4）b2-4ac≥0方程有实数根.‎ 易错点： 在使用根的判别式解决问题时，二次项系数中含有字母，常漏掉二次项系数不为零这个隐含条件. ‎ 例 1 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是（ ）‎ A.a<2 B.a>2 ‎ C.a<2且a≠1 D.a<－2‎ 解析：Δ=（-2）2-4×（a-1）×1=8-4 a；‎ 方程有两个不相等的实数根，故8-4 a＞0，即a＜2；‎ 又方程为一元二次方程，故a－1≠0，即a≠1，所以a＜2且a≠1.‎ 答案：C 小结：判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ=b2-4ac的值，看它是否大于等于0．因此，在计算前应先将方程化为一般式，在判别方程实根的情况时，可遵循在一元二次方程ax2+bx+c=‎ ‎0中，当a，c异号时，方程必有两个不等实根；只有当a，c同号时，才用计算判别式的值的方法判断，以加快解题速度.‎ 例 2 关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围．‎ ‎（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．‎ 解析：（1）由题意，令Δ=b2-4ac>0，求k的取值范围； ‎ ‎（2）在k的取值范围内选取负整数.‎ 答案：解：（1）Δ=（-3）2-4×1×（-k）=9+4k.‎ 方程有两个不相等的实数根则Δ＞0，即9+4k＞0，解得k＞.‎ ‎（2）可选取k=-2，此时该一元二次方程为x2-3x+2=0，‎ 解这个一元二次方程得x1=1，x2=2.‎ 小结：Δ=b2-4ac>0等价于一元二次方程有两个不相等的实数根，选用未知系数的值一定要注意它的取值，这是此类开放性问题的一个易错点.‎ 举一反三：‎ ‎1.证明：不论取何值时，关于x的方程（x-1）（x-2）=m2总有两个不相等的实数根.‎ 解析：将（x-1）（x-2）=m2化为一般形式，然后证明Δ＞0即可.‎ ‎2.若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值.‎ 解析：方程有两个实数根，即Δ≥0，然后解不等式即可得到k的取值范围，然后找出所有符合条件的非负整数值.‎ 考点16 一元二次方程根与系数的关系 温故而知新：‎ 一元二次方程根与系数的关系：如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2=-，x1·x2=.‎ 例 1 已知一元二次方程x2-6x-5=0的两根为a，b，则的值是_________．‎ 解析：根据根与系数的关系可得a+b=6，ab=-5；‎ ‎==.‎ 答案：‎ 小结：关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择哪种方式要根据具体题目的特点来确定）：①利用求根公式求根；②利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：x1+x2=-，x1x2=，以便后继作整体代换；③将根代入方程中进行整体处理.‎ 举一反三：‎ ‎1.已知一元二次方程y2-3y+1=0的两个实数根分别为y1，y2，则（y1-1）（y2-1）的值为_________.‎ 解析：由根与系数的关系可得y1+y2=3，y1y2=1；‎ ‎（y1-1）（y2-1）= y1y2-（y1+y2）+1=1-3+1=-1.‎ 例 2 关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）如果x1+ x2－x1 x2＜－1且k为整数，求k的值.‎ 解析：（1）一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实数根，故Δ≥0；‎ ‎（2）根据根与系数的关系得x1+ x2=-2, x1 x2=k+1，再根据x1+ x2－x1 x2＜－1及（1）的结论确定出k的范围，最后结合k为整数确定k的值.‎ 答案：解：（1）因为一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实数根，‎ 所以Δ=22-4（k+1）=-4k ≥ 0，即k ≤ 0.‎ ‎（2）根据根与系数的关系得x1+ x2=-2, x1 x2=k+1，‎ 所以-2-（k+1）＜-1，解得k＞-2，结合（1）知-2＜k≤ 0.‎ 又k为整数，所以k=-1或0.‎ 小结：（1）用根与系数的关系求字母的值时，要代入Δ检验.‎ ‎（2）一元二次方程根与系数的关系常用于求有关根的代数式的值，体现了整体思想. ‎ 举一反三：‎ ‎2.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1，x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.‎ 解析：根据根与系数的关系可知x1+x2=4，结合x1=3x2可求出x1，x2的值；‎ 根据根与系数的关系得x1x2= k-3求出k的值.‎ ‎3.已知关于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.‎ ‎（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值.‎ 解析：（1）方程x2－2（k－1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，则Δ≥ 0从而确定出k的取值范围；‎ ‎（2）由根与系数的关系得x1+x2=2（k－1），x1x2= k2，代入|x1+x2|=x1x2-1求出k的值，要注意k的取值范围.‎ 考点17 一元二次方程的应用 温故而知新：‎ ‎1.增长率问题 等量关系：（1）增长率=增量÷基础量.‎ ‎（2）设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b，当m为平均下降率时，则a(1-m)n=b.‎ ‎2.利润率问题 等量关系：（1）毛利润=售出价-进货价.‎ ‎（2）纯利润=售出价-进货价-其他费用.‎ ‎（3）利润率=.‎ 例 1 广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.‎ ‎（1）求平均每次下调的百分率；‎ ‎（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？‎ 解析：（1）设平均每次下调的百分率为x，第一次下调后价格为6000（1-x）元，第二次下调后价格为6000（1－x）2元；‎ ‎（2）分别算出两种优惠价格.‎ 答案：解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则根据题意可得6000（1－x）2=4860，‎ 解这个方程得x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）.‎ 所以平均每次下调的百分率为10%.‎ ‎（2）按方案①购房优惠4860×100×0.02=9720（元）；‎ 按方案②购房优惠80×100=8000（元）.‎ 因为9720＞8000，所以方案①更优惠.‎ 小结：理清等量关系是解决此类问题的基础.‎ 举一反三：‎ ‎1.某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）‎ A.289（1-x）2=256 B.256（1-x）2=289 ‎ C.289（1-2x）=256 D.256（1-2x）=289‎ 解析：第一次降价后的售价为289（1-x）元，第二次降价后售价为289（1-x）（1-x）=289（1-x）2元，故289（1-x）2=256.‎ 例 2 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：‎ ‎（1）商场日销售量增加_______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；‎ ‎（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？‎ 解析：（2）根据等量关系“每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100元”列方程求解.‎ 答案：（1）2x；（50-x） ‎ 解：（2）根据题意可得（50-x）（30+2x）=2100, 整理得x2-35x+300=0，‎ 解这个方程得x1=15，x2=20.‎ 因为随着价格的降低销售量逐渐增加，所以为了要尽快减少库存应降价20元.‎ 即当降价20元时，商场日盈利可达到2100元.‎ 小结：（1）把售价、每件利润、销售件数表示出来.‎ ‎（2）利用“每件利润×销售件数=销售利润”列方程.‎ ‎（3）常利用求二次函数的最大值来确定最大利润、进货件数及定价.‎ 举一反三：‎ ‎3.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个.商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？‎ ‎（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？‎ ‎（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？‎ ‎（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则定价多少？‎ 解析：（1）本题适合设定价增加x元，需表示出每件的利润和销售量；‎ ‎（2）根据“每件的利润×销售量=2000元”列方程，方程的解为正值表明是提高定价，方程的解为负值表明降低定价；‎ ‎（3）利用二次函数确定最大利润.‎ 小结：接下来我们看一道面积型的一元二次方程应用题.‎ ‎2.如图所示，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m．若矩形的面积为4 m2，则AB的长度是_________m（可利用的围墙长度超过6 m）．‎ 解析：设AB=x m，则BC=（6-2x）m；‎ 根据题意得x（6-2x）=4，解得x1=1，x2=2；‎ 当x=2时，6-2x=2，也就是说此时AB= BC=2 m，与图中的“邻边不等”‎ 相矛盾，故应舍去.‎