北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

北京市理工附中通州校区高二年级2019-2020学年度第二学期期中数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题；每题4分，共40分）‎ ‎1.设，是两个集合，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：若，对任意，则，又，则，所以，充分性得证，若，则对任意，有，从而，反之若，则，因此，必要性得证，因此应选充分必要条件．故选C．‎ 考点：充分必要条件．‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知可得：，故选A．‎ 考点：函数的定义域．‎ ‎3.若复数满足，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为复数满足，所以z=1-3+4i=-2+4i，所以根据复数实部和虚部的概念得z 的虚部为4.故选B.‎ ‎4.已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）条.‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点的坐标，然后根据导数的几何意义求出曲线的切线，根据切线过点，结合关于切点横坐标的方程解的个数进行求解即可.‎ ‎【详解】设曲线的切点的坐标为，由，‎ 因此该曲线切线的斜率为，‎ 所以该曲线切线的方程为：，该切线过点，‎ 所以有，解得或，‎ 因此过点且与曲线相切直线的条数有2条.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了过定点与曲线相切的直线的条数问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.‎ ‎5.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，‎ 且，故选D.‎ ‎【考点】三角恒等变换 ‎【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：‎ ‎（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．‎ ‎（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．‎ ‎6.已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝ (　 　)‎ A. 32 B. ‎1 ‎C. －243 D. 1或－243‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用二项式定理求出项的系数，从而结合已知求得参数，最后通过赋值法求得所有项的系数和．‎ 详解：由题意，∴．‎ 在中令得．‎ 故选B．‎ 点睛：二项展开式求系数的和的问题常常用到赋值法，‎ 设中，‎ 则，，‎ 奇数项系数和：，‎ 偶数项系数和：．‎ ‎7.记为等差数列的前n项和．已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．‎ ‎【详解】由题知，，解得，∴，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．‎ ‎8.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ）‎ A. 16种 B. 18种 C. 37种 D. 48种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，‎ 其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；‎ 则符合条件的有种，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．‎ ‎9.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据 ‎，判断出三个数的正负性，然后根据作差比较法，通过构造函数法，结合导数进行判断其中两个正数的大小即可.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ ‎，设，‎ 因为，所以，因此当时，函数单调递增，‎ 所以当时，，‎ 因此.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了判断多项式和对数式之间大小关系，考查了比较法的应用，考查了构造函数法，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.当然本题用特例法更为简便，取，‎ ‎，直接选出答案D.‎ ‎10.函数的图象大致为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先验证函数是否满足奇偶性，由f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数f（x）为偶函数，，排除B,D ，再由函数特殊值确定答案．‎ ‎【详解】令f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln ‎ x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C，A项满足.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．‎ 二、填空题（共5小题；每题5分，共25分）‎ ‎11.若复数(为虚数单位)，则的共轭复数为（）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】若复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，‎ 则共轭复数2i，‎ 故答案为2i．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎12.一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意知，又，‎ ‎∴‎ 考点：椭圆性质 ‎13.已知，则的值为___.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 因为 ，所以 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ ‎14.2位教师和4名学生站成一排合影，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_______（结果用数字表示）．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分步完成：第一步按排两位教师站在中间，第二步按排甲靠近教师的两侧的两个位置中的一个，第三步其他3人在剩下的三个位置任意排列．‎ ‎【详解】完成这个排法分步完成：第一步按排两位教师站在中间有种方法，第二步按排甲靠近教师的两侧的两个位置中的一个，有种方法，第三步其他3人任意排列，有种方法，‎ ‎∴不同的方法为．‎ 故答案为：24．‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查分步计数原理．解题关键是确定完成事件的方法．‎ ‎15.设函数 当时，____；如果对于任意的都有，那么实数b的取值范围是____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分段函数解方程可得a的值；由对数函数和一次函数的单调性，可得f（x）的值域，由不等式恒成立思想可得b的范围．‎ ‎【详解】若a≥－1，则有，解得：a＝，不符；‎ 若a＜－1，则有－‎2a－4＝－1，解得：＜－1，符合题意，‎ 所以，；‎ 画出函数的图象，由图可知f（x）的值域为（﹣2，+∞），‎ 对于任意的x∈R都有f（x）≥b，‎ 则有，所以，‎ 故答案为，（﹣∞，﹣2]．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的运用：求自变量和值域，考查不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于基础题．‎ 三、解答题（共6小题；共85分）‎ ‎16.实数取什么值时，复数是：‎ ‎（1）实数?‎ ‎（2）虚数?‎ ‎（3）纯虚数?‎ ‎（4）表示复数的点在第一象限?‎ ‎【答案】（1）或，（2）且，（3），（4）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可得，解出即可 ‎（2）由条件可得，解出即可 ‎（3）由条件可得且，解出即可 ‎（4）由条件可得，解出即可 ‎【详解】（1）若是实数 则，解得或 ‎（2）若是虚数 则，解得且 ‎（3）若是纯虚数 则且，解得 ‎（4）表示复数的点为，要在第一象限，‎ 则有，解得或 ‎【点睛】本题考查的是复数的概念及其几何意义，较简单.‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数进行化简，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期；‎ ‎（2）根据题意可知m小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出的最大值，即可知m的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ 所以函数的最小正周期T=.‎ ‎（2）由题意可知，不等式有解，即，‎ 因为，所以，‎ 故当，即时取得最大值，且最大值.‎ 从而可得.‎ ‎【点睛】对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ ‎18.如图，三棱锥中，，底面为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若平面，，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：取AC的中点OO，连接PO， BO，‎ ‎∵PA=PC，‎ ‎∴PO⊥AC，‎ 又AB=CB，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC⊥PB.‎ ‎（Ⅱ）平面PAC⊥平面ABC且交于AC， PO⊥AC，‎ ‎∴PO⊥平面ABC，则可建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz.‎ 又PA=PC ， AC=PC=2，△ABC为正三角形，‎ ‎∴P(0 ， 0 ， ) ， B(0 ， ， 0) ， C(−1 ， 0 ， 0) ‎ ‎ =(0 ， ， -) ， =(−1 ， ， 0)‎ 设=(x ， y ， z)为平面PBC的法向量，则 =0, =0‎ ‎∴y−z=0,−x−y=0‎ 取y=−1，则=( ， −1 ， −1)为平面PBC的一个法向量，‎ 又=(0 ， ， 0)为平面PAC的一个法向量，‎ ‎∴，‎ 则二面角A−PC=BA−PC=B的余弦值为.‎ ‎19.已知函数的图象过点，且在点处的切线斜率为8．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）求函数在区间上的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1） a=4，b=−3；（2）函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为 ‎；（3）函数f(x)在[−1,1]上的最大值为6，最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知，利用f(1)=2，解方程求解即可；‎ ‎ (2) 求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；‎ ‎(3)由(2)知,函数f(x)在处取得极小值，结合，比较大小即可得结果.‎ ‎【详解】(1)由 ‎ 可得 ‎∵函数的图象过点P(1,2)‎ ‎∴f (1)=2，∴a+b=1，‎ 又函数在点处的切线斜率为8，‎ 解得 a=4，b= −3，‎ ‎ (2)由(1)得，‎ 令f ′(x)>0,得 x<−3或 ，‎ 令f ′(x)<0,得，‎ 函数f (x)的单调增区间为 函数f (x)的单调减区间为 ‎(3)由(2)知,又函数f(x)在处取得极小值，，‎ 所以函数f(x)在[−1,1]上的最大值为6,最小值为.‎ ‎【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解；第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较区间端点的函数值与极值的大小．‎ ‎20.已知．‎ ‎（1）若展开式中奇数项二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数；‎ ‎（2）若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项．‎ ‎【答案】（1）1120；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由奇数项的二项式系数和为128求得，再利用二项式系数的性质求解即可；‎ ‎（2）由展开式前三项的二项式系数和等于37求得，利用展开式中系数最大的项的系数比相邻两项的系数大，列不等式求解即可.‎ ‎【详解】（1）由展开式中奇数项的二项式系数和为,‎ 可得，‎ 所以展开式中二项式系数最大的项第五项，其系数为；‎ ‎（2）由展开式前三项的二项式系数和，‎ 化为，解得，或（舍去），‎ 设展开式中系数最大的项为第项，‎ 则，‎ 所以展开式中系数最大的项为第6或第7项，‎ 即 ‎【点睛】本题主要考查展开式中二项式系数最大的项以及展开式中项的系数最大的项，同时考查了二项展开式的通项公式，考查了计算能力，意在考查学生综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数f（x）＝ax2﹣（a+4）x+2lnx，其中.‎ ‎（1）当时，求曲线的点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，若函数在区间上的最小值为-4，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出及的值，然后代入点斜式方程即可得到曲线在点处的切线方程；（2）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可求得函数的单调区间，从而可求出在区间上的最小值，建立不等式可求出所求.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎，，.‎ 切线方程为，即.‎ ‎（2）函数f（x）＝ax2﹣（a+4）x+2lnx，的定义域为，‎ 当时，，‎ 令得或，‎ ‎①当，即时，在上递增，‎ 在上的最小值为，符合题意；‎ ‎②当，即时，在上递减，在上递增，‎ 在上最小值为，不合题意；‎ ‎③当，即时，在上递减，‎ 在上最小值为，不合题意.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点晴】本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题.‎