- 2021-05-11 发布 |
- 37.5 KB |
- 28页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2019-2020学年四川省成都市青羊区八年级下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年四川省成都市青羊区八年级第二学期期末数学试卷 一、选择题 1.下列图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.下列多项式分解因式正确的是( ) A.a2﹣2a﹣3=a(a﹣2)﹣3 B.3ax2﹣6ax=3(ax2﹣2ax) C.m3﹣m=m(m﹣1)(m+1) D.x2+2xy﹣y2=(x﹣y)2 3.在平面直角坐标系中,点P(﹣2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为( ) A.(3,6) B.(1,3) C.(1,6) D.(6,6) 4.若关于x的不等式(m﹣1)x>m﹣1的解集是x<1,则m的取值范围是( ) A.m≠1 B.m>1 C.m<1 D.m为任何实数 5.内角和为1800°的多边形是( ) A.十二边形 B.十边形 C.八边形 D.七边形 6.下列各式从左到右的变形,一定正确的是( ) A.=﹣ B.= C.= D.= 7.若解关于x的分式方程=1时出现了增根,则m的值为( ) A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 8.如图,菱形ABCD边长为5cm,P为对角线BD上一点,PH⊥AB于点H,且PH=2cm,则△PBC的面积为( )cm2. A.8 B.7 C.6 D.5 9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CD∥AB交BD于点D,已知∠ACB=34°,则∠D的度数为( ) A.30° B.28° C.26° D.34° 10.如图,若一次函数y=﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,点A的坐标为(0,4),则不等式﹣2x+b<0的解集为( ) A.x>2 B.x<2 C.x<4 D.x>4 二、填空题:(本大题共4个小题,每小题4分,共16分) 11.若x2+mx+=(x﹣)2,则m= . 12.若分式的值为0,则x= . 13.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC边上任意一点,作BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F.连接DE、DF,当BC=1时,△ADE与△CDF的周长之和为 . 14.如图,▱ABCD中,∠B=60°,AB=4,AE⊥BC于E,F为边CD上一动点,连接AF、EF,点G,H分别为AF、EF的中点,则GH的长为 . 三、计算下列各题(第15题每小题12分,第16题8分,共20分) 15.(1)解不等式组:; (2)解分式方程:=﹣3. 16.先化简,再求值:÷(x﹣1﹣),其中x=﹣2. 四、解答题(17、18,19每小题8分、20题10分,共34分) 17.△ABC在平面直角坐标系中如图: (1)画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1,并写出A1点的坐标; (2)画出△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2,并直接写出△AA1A2的面积. 18.如图,在四边形ABCD中,点E和点F是对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE ,且DF∥BE. (1)求证:四边形ABCD是平行四边形; (2)若∠CEB=2∠EBA,BE=3,EF=2,求AC的长. 19.新冠肺炎疫情期间,成都江安河社区有甲、乙两个医疗用品公司,免费为医院加工同种型号的防护服.甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍,两厂各加工600套防护服,甲厂比乙厂要少用4天.求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服? 20.如图1,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=6cm,BD=8cm,分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E. (1)判断四边形BOCE的形状并证明; (2)点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒,连接BG,当S△ABG=2S△OBG时,求t的值. (3)如图2,长度为3cm的线段GH在射线AC上运动,求BG+BH的最小值. 一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分) 21.若x﹣2y=3,xy=1,则2x2y﹣4xy2= . 22.若关于x的分式方程=的解为非负数,则实数a的取值范围是 . 23.已知关于x的不等式组有且只有2个整数解,且a为整数,则a的值为 . 24.如图,正方形ABCD边长为2,F为BC上一动点,作DE⊥AF于E,连接CE.当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时,DE的长为 . 25.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,E为BC边上一动点,作EF⊥AE,且EF=AE.连接DF,AF.当DF⊥EF时,△ADF的面积为 . 二、解答题(26题8分,27题10分,28题12分,共30分) 26.某工厂计划生产A、B两种产品共10件,其生产成本和利润如下表: A种产品 B种产品 成本(万元/件) 2 5 利润(万元/件) 1 3 (1)若工厂计划获利14万元,问A、B两种产品应分别生产多少件? (2)若工厂计划投入资金不多于35万元,且获利多于14万元,问工厂有哪几种生产方案? (3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润. 27.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转,连接AF与CE相交于点G,连接DG. (1)求证:CE⊥AF; (2)求证:AG+CG=DG; (3)连接CF,当EG:AG:FG=l:2:5,且S正方形ABCD=100时,求DG的长和△BCF 的面积. 28.如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知直线AB:y=﹣x+3与直线CD:y=kx﹣2相交于点M (4,a),分别交坐标轴于点A、B、C、D,点P是线段CD延长线上的一个点,△PBM的面积为15. (1)求直线CD解析式和点P的坐标; (2)在(1)的条件下,平面直角坐标系内存在点N,使得以点B、N,M、P为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点N的坐标; (3)如图2,当点P为直线CD上的一个动点时,将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接PQ与OQ.点Q随着点P的运动而运动,请求出点Q运动所形成直线的解析式,以及OQ的最小值. 参考答案 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1.下列图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解. 解:A、不是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不符合题意; B、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项不符合题意; C、是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不符合题意; D、既是中心对称图形,又是轴对称图形,故本选项符合题意. 故选:D. 2.下列多项式分解因式正确的是( ) A.a2﹣2a﹣3=a(a﹣2)﹣3 B.3ax2﹣6ax=3(ax2﹣2ax) C.m3﹣m=m(m﹣1)(m+1) D.x2+2xy﹣y2=(x﹣y)2 【分析】直接利用十字相乘法以及公式法分别分解因式得出答案. 解:A、a2﹣2a﹣3=a(a﹣2)﹣3,不符合因式分解的定义,故此选项错误; B、3ax2﹣6ax=3ax(x﹣2),故此选项错误; C、m3﹣m=m(m﹣1)(m+1),正确; D、x2+2xy﹣y2,无法运用完全平方公式分解因式,故此选项错误; 故选:C. 3.在平面直角坐标系中,点P(﹣2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为( ) A.(3,6) B.(1,3) C.(1,6) D.(6,6) 【分析】让横坐标加3,纵坐标不变即可得到所求的坐标. 解:平移后的横坐标为﹣2+3=1, 纵坐标为3, ∴点P(﹣2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为(1,3), 故选:B. 4.若关于x的不等式(m﹣1)x>m﹣1的解集是x<1,则m的取值范围是( ) A.m≠1 B.m>1 C.m<1 D.m为任何实数 【分析】根据不等式的基本性质3,两边都除以m﹣1后得到x<1,可知m﹣1<0,解之可得. 解:∵将不等式(m﹣1)x>m﹣1两边都除以(m﹣1),得x<1, ∴m﹣1<0, 解得:m<1, 故选:C. 5.内角和为1800°的多边形是( ) A.十二边形 B.十边形 C.八边形 D.七边形 【分析】首先设这个多边形是n边形,然后根据题意得:(n﹣2)×180=1800,解此方程即可求得答案. 解:设这个多边形是n边形, 根据题意得:(n﹣2)×180=1800, 解得:n=12. 故这个多边形是十二边形. 故选:A. 6.下列各式从左到右的变形,一定正确的是( ) A.=﹣ B.= C.= D.= 【分析】根据分式的基本性质对各个选项进行判断. 解:A、,故A错误; B、分子、分母同时扩大10倍,结果不变,则,故B错误; C、a=1,b=2时,此时原式不成立,故C错误; D、分子、分母都除以a+3,值不变,故D正确. 故选:D. 7.若解关于x的分式方程=1时出现了增根,则m的值为( ) A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 【分析】由分式方程的最简公分母为x﹣2,且分式方程有增根知增根为x=2,将x=2代入去分母后所得整式方程,解之可得答案. 解:方程两边都乘以x﹣2,得:2x+m=x﹣2, ∵分式方程有增根, ∴分式方程的增根为x=2, 将x=2代入2x+m=x﹣2,得:4+m=0, 解得m=﹣4, 故选:A. 8.如图,菱形ABCD边长为5cm,P为对角线BD上一点,PH⊥AB于点H,且PH=2cm,则△PBC的面积为( )cm2. A.8 B.7 C.6 D.5 【分析】利用菱形的对角线平分对角和角平分线的性质得到点P到BC边的距离=PH,然后由三角形的面积公式解答. 解:如图,过点P作PM⊥BC于点M. ∵四边形ABCD是菱形,BD是对角线, ∴直线BD平分∠ABC. 又∵PH⊥AB, ∴PH=PM=2cm. ∴S△PBC=BC•PH=×5×2=5(cm2). 故选:D. 9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CD∥AB交BD于点D,已知∠ACB=34°,则∠D的度数为( ) A.30° B.28° C.26° D.34° 【分析】先由三角形内角和定理求得∠ABC,再由角平分线定义求得∠ABD,最后由平行线的性质求得∠D. 解:∵∠BAC=90°,∠ACB=34°, ∴∠ABC=180°﹣90°﹣34°=56°, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠ABC=28°, ∵CD∥AB, ∴∠D=∠ABD=28°, 故选:B. 10.如图,若一次函数y=﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,点A的坐标为(0,4),则不等式﹣2x+b<0的解集为( ) A.x>2 B.x<2 C.x<4 D.x>4 【分析】首先把A点坐标代入一次函数解析式,算出b的值,进而可求出B点坐标,再结合图象可得不等式﹣2x+b<0的解集. 解:∵一次函数y=﹣2x+b的图象过A(0,4), ∴b=4, ∴函数解析式为y=﹣2x+4, 当y=0时,x=2, ∴B(2,0), ∴不等式﹣2x+b<0的解集为x>2, 故选:A. 二、填空题:(本大题共4个小题,每小题4分,共16分) 11.若x2+mx+=(x﹣)2,则m= ﹣3 . 【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简,再利用多项式相等的条件确定出m的值即可. 解:x2+mx+=(x﹣)2=x2﹣3x+, 则m=﹣3. 故答案为:﹣3. 12.若分式的值为0,则x= ﹣2 . 【分析】利用分式值为零的条件进行计算即可. 解:由题意得:x(x+2)=0且x≠0, 解得:x=﹣2, 故答案为:﹣2. 13.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC边上任意一点,作BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F.连接DE、DF,当BC=1时,△ADE与△CDF 的周长之和为 2+ . 【分析】由等腰直角三角形的性质得出AC=BC=1,AB=BC=,由线段垂直平分线的性质得出BE=DE,BF=DF,即可得出△ADE与△CDF的周长之和. 解:∵△ABC是等腰直角三角形, ∴AC=BC=1,AB=BC=, ∵EF是BD的垂直平分线, ∴BE=DE,BF=DF, ∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BE+AE=AD+AB,△CDF的周长=CD+CF+DF=CD+CF+BF=CD+BC, ∴△ADE与△CDF的周长之和=AD+AB+CD+BC=AC+AB+BC=2+; 故答案为:2+. 14.如图,▱ABCD中,∠B=60°,AB=4,AE⊥BC于E,F为边CD上一动点,连接AF、EF,点G,H分别为AF、EF的中点,则GH的长为 . 【分析】根据含30°的直角三角形的性质得出AE,进而利用三角形中位线得出GH即可. 解:∵∠B=60°,AB=4,AE⊥BC于E, ∴AE=2, ∵点G,H分别为AF、EF的中点, ∴GH=, 故答案为:. 三、计算下列各题(第15题每小题12分,第16题8分,共20分) 15.(1)解不等式组:; (2)解分式方程:=﹣3. 【分析】(1)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可. (2)关键解分式方程的步骤解答即可. 解:(1), 解不等式①,得x≥﹣1, 解不等式②,得x<3, 所以原不等式组的解集为﹣1≤x<3; (2)=﹣3, 方程两边同乘x﹣2,得:1=x﹣1﹣3(x﹣2), 解这个方程,得:x=2, 因为分式的分母x﹣2≠0, 所以x=2是原分式方程的增根,原分式方程无解. 16.先化简,再求值:÷(x﹣1﹣),其中x=﹣2. 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算,再把分子分母因式分解,则约分得到原式=,然后把x的值代入计算即可. 解:原式=÷ =• =, 当x=﹣2时,原式==. 四、解答题(17、18,19每小题8分、20题10分,共34分) 17.△ABC在平面直角坐标系中如图: (1)画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1,并写出A1点的坐标; (2)画出△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2,并直接写出△AA1A2的面积. 【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1、C1即可; (2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标,然后描点得到△A2B2C2,再利用等腰直角三角形的性质计算△AA1A2的面积. 解:(1)如图,△A1B1C1为所作,A1点的坐标为(﹣3,2); (2)如图,△A2B2C2为所作; △AA1A2的面积=×()2=13. 18.如图,在四边形ABCD中,点E和点F是对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,且DF∥BE. (1)求证:四边形ABCD是平行四边形; (2)若∠CEB=2∠EBA,BE=3,EF=2,求AC的长. 【分析】(1)证△ADF≌△CBE(SAS),得到AD=CB,∠DAF=∠BCE,证出AD∥CB,即可得到结论; (2)证∠EAB=∠EBA,得出AE=BE=3,则CF=AE=3,即可得出答案. 【解答】(1)证明:∵AE=CF, ∴AE+EF=CF+EF, 即AF=CE, ∵DF∥BE, ∴∠DFA=∠BEC, 在△ADF和△CBE中,, ∴△ADF≌△CBE(SAS), ∴AD=CB,∠DAF=∠BCE, ∴AD∥CB, ∴四边形ABCD是平行四边形; (2)解:∵∠CEB=∠EBA+∠EAB=2∠EBA, ∴∠EAB=∠EBA, ∴AE=BE=3, ∴CF=AE=3, ∴AC=AE+EF+CF=3+2+3=8. 19.新冠肺炎疫情期间,成都江安河社区有甲、乙两个医疗用品公司,免费为医院加工同种型号的防护服.甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍,两厂各加工600套防护服,甲厂比乙厂要少用4天.求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服? 【分析】设乙厂每天加工x套防护服,则甲厂每天加工1.5x套防护服,根据“两厂各加工600套防护服,甲厂比乙厂要少用4天”列出方程并解答. 解:设乙厂每天加工x套防护服,则甲厂每天加工1.5x套防护服, 根据题意,得﹣=4, 解得x=50, 经检验:x=50是所列方程的解, 则1.5x=75. 答:甲厂每天加工75套防护服,乙厂每天加工50套防护服. 20.如图1,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=6cm,BD=8cm,分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E. (1)判断四边形BOCE的形状并证明; (2)点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒,连接BG,当S△ABG=2S△OBG时,求t的值. (3)如图2,长度为3cm的线段GH在射线AC上运动,求BG+BH的最小值. 【分析】(1)结论:四边形BOCE是矩形.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可. (2)分两种情形构建方程求解即可. (3)如图2中,设OG=x,则BG+BH=+,欲求BG+BH的最小值,相当于在x轴上找一点P(x,0),使得点P(x,0)到A(0,4和B(3,4)的距离最小,如图3中,利用轴对称解决最值问题即可. 解:(1)结论:四边形BOCE是矩形. 理由:∵BE∥OC,EC∥OB, ∴四边形OBEC是平行四边形, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∴∠BOC=90°, ∴四边形BOCE是矩形. (2)如图2中,∵四边形ABCD是菱形, ∴OA=OC=3cm,OB=OD=4cm, ∵S△ABG=2S△OBG, ∴AG=2OG, ∴2t=2(3﹣2t)或2t=2(2t﹣3), 解得t=1或t=3, ∴满足条件的t的值为1或3. (3)如图2中,设OG=x,则BG+BH=+, 欲求BG+BH的最小值,相当于在x轴上找一点P(x,0),使得点P(x,0)到A(0,4和B(3,4)的距离最小,如图3中, 作点B关于x轴的对称点B′,连接AB′交x轴于P,连接BP,此时PA+PB的值最小, ∵A(0,4),B′(3,﹣4), ∴AP+PB=AP+PB′=AB′==, ∴BG+BH的最小值为. 一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分) 21.若x﹣2y=3,xy=1,则2x2y﹣4xy2= 6 . 【分析】原式提取公因式,把已知等式代入计算即可求出值. 解:∵x﹣2y=3,xy=1, ∴原式=2xy(x﹣2y)=2×1×3=6. 故答案为:6. 22.若关于x的分式方程=的解为非负数,则实数a的取值范围是 a≥且a≠4 . 【分析】表示出分式方程的解,由解为非负数确定出a的范围即可. 解:去分母得:6x﹣3a=x﹣2, 解得:x=, 由分式方程的解为非负数,得到≥0,且≠2, 解得:a≥且a≠4. 故答案为:a≥且a≠4. 23.已知关于x的不等式组有且只有2个整数解,且a为整数,则a的值为 5 . 【分析】解不等式组得出其解集为3≤x<a,根据不等式组只有2个整数解知4<a≤5,结合a为整数可得答案. 解:解不等式x﹣a<0,得:x<a, 解不等式9﹣2x≤3,得:x≥3, 则不等式组的解集为3≤x<a, ∵不等式组只有2个整数解, ∴不等式组的整数解为3和4, 则4<a≤5, 又a为整数, ∴a=5, 故答案为:5. 24.如图,正方形ABCD边长为2,F为BC上一动点,作DE⊥AF于E,连接CE.当△CDE 是以CD为腰的等腰三角形时,DE的长为 . 【分析】作辅助线,构建全等三角形,先确定当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时,只存在一种情况:CD=CE,由等腰三角形三线合一得DG=EG,证明△AED≌△DGC(AAS),AE=DG=DE,设AE=x,则DE=2x,在Rt△AED中,由勾股定理得:AE2+DE2=AD2,列方程可得结论. 解:过C作CG⊥DE于G, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠ADC=90°, ∵DE⊥AF, ∴∠AED=90°, ∴AD>DE, ∴CD>DE, 当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时,只能CD=CE, ∵CG⊥DE, ∴EG=DG=DE, ∵∠ADE+∠CDG=∠ADE+∠DAE=90°, ∴∠CDG=∠DAE, ∵∠AED=∠CGD=90°, ∴△AED≌△DGC(AAS), ∴AE=DG=DE, 设AE=x,则DE=2x, 在Rt△AED中,由勾股定理得:AE2+DE2=AD2, ∵AD=2, ∴x2+(2x)2=22, 解得:x=, ∵x>0, ∴x=, ∴DE=2x=, 故答案为:. 25.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,E为BC边上一动点,作EF⊥AE,且EF=AE.连接DF,AF.当DF⊥EF时,△ADF的面积为 3﹣ . 【分析】作辅助线,构建全等三角形和矩形,利用面积法可得AE的长,根据勾股定理可得BE的长,设AE=x,证明△ABE≌△EQF(AAS),得FQ=BE=,最后根据三角形面积公式可得结论. 解:如图,过D作DH⊥AE于H,过E作EM⊥AD于M,连接DE, ∵EF⊥AE,DF⊥EF, ∴∠DHE=∠HEF=∠DFE=90°, ∴四边形DHEF是矩形, ∴DH=EF=AE, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠BAD=90°, ∵∠AME=90°, ∴四边形ABEM是矩形, ∴EM=AB=2, 设AE=x, 则S△ADE=, ∴3×2=x2, ∴x=±, ∵x>0, ∴x=, 即AE=, 由勾股定理得:BE==, 过F作PQ∥CD,交AD的延长线于P,交BC的延长线于Q, ∴∠Q=∠ECD=∠B=90°,∠P=∠ADC=90°, ∵∠BAE+∠AEB=∠AEF=∠AEB+∠FEQ=90°, ∴∠FEQ=∠BAE, ∵AE=EF,∠B=∠Q=90°, ∴△ABE≌△EQF(AAS), ∴FQ=BE=, ∴PF=2﹣, ∴S△ADF===3﹣. 二、解答题(26题8分,27题10分,28题12分,共30分) 26.某工厂计划生产A、B两种产品共10件,其生产成本和利润如下表: A种产品 B种产品 成本(万元/件) 2 5 利润(万元/件) 1 3 (1)若工厂计划获利14万元,问A、B两种产品应分别生产多少件? (2)若工厂计划投入资金不多于35万元,且获利多于14万元,问工厂有哪几种生产方案? (3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润. 【分析】(1)设生产A种产品x件,则生产B种产品有(10﹣x)件,根据计划获利14万元,即两种产品共获利14万元,即可列方程求解; (2)根据计划投入资金不多于35万元,且获利多于14万元,这两个不等关系即可列出不等式组,求得x的范围,再根据x是非负整数,确定x的值,x的值的个数就是方案的个数; (3)得出利润y与A产品数量x的函数关系式,根据增减性可得,B产品生产越多,获利越大,因而B取最大值时,获利最大,据此即可求解. 解:(1)设生产A种产品x件,则生产B种产品(10﹣x)件, 依题意得:x+3(10﹣x)=14, 解得 x=8, 则10﹣x=2, 答:生产A产品8件,生产B产品2件; (2)设生产A产品y件,则生产B产品(10﹣y)件 , 解得:5≤y<8. 因为x为正整数,故x=5,6或7; 方案①,A种产品5件,则B种产品5件; 方案②,A种产品6件,则B种产品4件; 方案③,A种产品7件,则B种产品3件, (3)设A种产品x件时,获得的利润为W万元,则 W=x+3(10﹣x)=﹣2x+30, 因为﹣2<0,所以W随x的增大而减小, 所以,当x=5时,W取得最大值为20, 所以,生产方案①获利最大,最大利润为20万元. 27.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转,连接AF与CE相交于点G,连接DG. (1)求证:CE⊥AF; (2)求证:AG+CG=DG; (3)连接CF,当EG:AG:FG=l:2:5,且S正方形ABCD=100时,求DG的长和△BCF的面积. 【分析】(1)证明△FBA≌△EBC(SAS)即可解决问题. (2)过点D作DM⊥GA的延长线于M,过点D作DN⊥CG于N.证明△DMA≌△DNC(AAS),推出DM=DN,AM=CN,推出四边形DMGN是正方形,可得结论. (3)可以假设EG=k,AG=2k,FG=5k,利用勾股定理求出k,求出CG,EB,过点F作FK⊥CB交CB的延长线于K,过点E作EH⊥CK于H.设EH=x,BH=y,利用勾股定理构建方程组求出x,y即可解决问题. 【解答】(1)证明:设AF交BE于J. ∵四边形ABCD是正方形, ∴BA=BC,∠ABC=90°, ∵△EBF是等腰直角三角形, ∴BE=BF,∠EBF=∠ABC=90°, ∴∠FBA=∠EBC, ∴△FBA≌△EBC(SAS), ∴∠AFB=∠BEC, ∵∠FJB=∠EJG, ∴∠EGJ=∠FBJ=90°, ∴CE⊥AF. (2)证明:如图,过点D作DM⊥GA的延长线于M,过点D作DN⊥CG于N. ∵∠M=∠MGN=∠DNG=90°, ∴四边形DMGN是矩形, ∴∠DMN=∠ADC=90°, ∴∠ADM=∠CDN, ∵∠M=∠DNC=90°,DA=DC, ∴△DMA≌△DNC(AAS), ∴DM=DN,AM=CN, ∴四边形DMGN是正方形, ∴GM=GN=DM=DN, ∴AG+CG=GM﹣AM+GN﹣CN=2GM, ∵DG=GM, ∴AG+CG=DG. (3)解:∵EG:AG:FG=l:2:5, ∴可以假设EG=k,AG=2k,FG=5k, ∵△FBA≌△EBC, ∴EC=AF=7k,CG=6k, ∵正方形ABCD的面积为100, ∴AB=BC=10, ∵∠ABC=90°, ∴AC===10, ∵∠AGC=90°, ∴AG2+CG2=AC2, ∴4k2+36k2=200, ∴k=(负根已经舍弃), ∴AG=2,CG=6, ∵AG+CG=DG, ∴DG=4, 过点F作FK⊥CB交CB的延长线于K,过点E作EH⊥CK于H.设EH=x,BH=y, ∵EF==, ∴EB=BF=EF=, 由勾股定理可知,解得, ∵∠FKB=∠EHB=90°,∠FBK=∠BEH,BE=BF, ∴△FKB≌△BHE(AAS), ∴FK=BH=4, ∴S△BFC=•BC•FK=20. 28.如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知直线AB:y=﹣x+3与直线CD:y=kx﹣2相交于点M (4,a),分别交坐标轴于点A、B、C、D,点P是线段CD延长线上的一个点,△PBM的面积为15. (1)求直线CD解析式和点P的坐标; (2)在(1)的条件下,平面直角坐标系内存在点N,使得以点B、N,M、P为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点N的坐标; (3)如图2,当点P为直线CD上的一个动点时,将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ ,连接PQ与OQ.点Q随着点P的运动而运动,请求出点Q运动所形成直线的解析式,以及OQ的最小值. 【分析】(1)PBM的面积=S△BDM+S△BDP=×BD×(xM﹣xP)=×(3+2)(4﹣xP)=15,即可求解; (2)分PB为边、PB为对角线两种情况,分别求解即可; (3)证明△BGP≌△QHB(AAS),求出点Q(5﹣m,3+m),当OQ⊥SR时,OQ最小,即可求解. 解:(1)将点M的坐标代入y=﹣x+3并解得:a=1,故点M(4,1), 将点M的坐标代入y=kx﹣2并解得:k=, 故直线CD的表达式为:y=x﹣2,则点D(0,﹣2), PBM的面积=S△BDM+S△BDP=×BD×(xM﹣xP)=×(3+2)(4﹣xP)=15, 解得:xP=﹣2,故点P(﹣2,﹣); (2)设点N(m,n),而点P、B、M的坐标分别为(﹣2,﹣)、(0,3)、(4,1); 当PB为边时, 点P向右平移2个单位向上平移个单位得到点B,同样点M(N)向右平移2个单位向上平移个单位得到点N(M), 故4±2=m,1±=n, 解得:m=6或2,n=或﹣; 故点N的坐标为(6,)或(2,﹣); 当PB为对角线时, 由中点公式得:﹣2+0=m+4,﹣+3=n+1, 解得:m=﹣6,n=﹣,故点N(﹣6,﹣1.5); 综上,点N的坐标为(6,7.5)或(2,﹣5.5)或(﹣6,﹣1.5); (3)如下图,分别过点P、Q作y轴的垂线,垂足为G、H, 设点P(m,m﹣2), ∵∠HQB+∠HBQ=90°,∠HBQ+∠GBP=90°, ∴∠HQB=∠GBP,∠QHB=∠BGP=90°, BP=BQ, ∴△BGP≌△QHB(AAS), ∴HQ=GB,HB=GP=m, 故HQ=BG=3﹣(m﹣2)=5﹣m,OH=OB+BH=m+3, 故点Q(5﹣m,3+m), 令x=5﹣m,y=3+m, 则y=﹣x+,设该直线与坐标轴的交点分别为R、S,则R(,0)、S(0,), 即OR=,OS=, 当OQ⊥SR时,OQ最小, 则S△ORS=×OR×OS=×OQ×SR, 即×=OQ×, 解得:OQ=, 即OQ的最小值为.查看更多