高考数学（理）一轮复习人教A版-第七章 第1节
第1节 不等式的性质与一元二次不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不
等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模
型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方
程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求
解的程序框图.
知 识 梳
理1.两个实数比较大小的方法
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2.不等式的性质
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3.三个“二次”间的关系
{x|x＞x2或x＜x1} R
{x|x1＜x＜x2} ∅ ∅
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a＞b
⇔
ac2＞bc2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解
集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(
)
诊 断 自
测
解析 (1)由不等式的性质，ac2＞bc2
⇒
a＞b；反之，c＝0时，a＞b
⇒
/ ac2＞
bc2.
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅ .
(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
答案 B
3.设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )
A.(0，4] B.[0，4) C.[－1，0) D.(－1，0]
解析 ∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1
1}
5.已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取
值范围是________.
解析 若a＝0，则f(x)＝－1≤0恒成立，
若a≠0，则由题意，得
综上，得a∈[－4，0].
答案 [－4，0]
解析 (1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝
ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错
误；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，
而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由
以上分析，知①③正确.
答案 (1)A (2)C
规律方法 1.比较大小常用的方法：
(1)作差法；(2)作商法；(3)函数的单调性法.
2.判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个
验证；二是用特殊法排除.
答案 (1)D (2)A
解析 由2x2－x－3>0，得(x＋1)(2x－3)>0，
答案 B
命题角度2 含参不等式
【例2－2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≤0).
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，
对参数进行分类讨论：
(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易
分解因式，则可对判别式进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二
次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
答案 {x|x≥3或x≤2}
解之得－3＜k＜0.
答案 D
命题角度2 在给定区间上恒成立
【例3－2】 (一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，
3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.
解析 要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，
故mx2－mx＋m－6＜0，
有以下两种方法：
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以m＜6，所以m＜0.
答案
命题角度3 给定参数范围的恒成立问题
【例3－3】 已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x
的取值范围为( )
A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，
＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋
4，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，
所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0，
且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，
答案 C
规律方法 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次
函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数
的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或
用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范
围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练3】 (1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的
取值范围是( )
A.[－1，4]
B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D.[－2，5]
(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0
成立，则实数m的取值范围是________.
解析 (1)由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－
3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
(2)二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，
都有f(x)＜0成立，
