【数学】2018届一轮复习人教A版2-5指数与指数函数学案

【数学】2018届一轮复习人教A版2-5指数与指数函数学案

‎§2.5　指数与指数函数 考纲展示►　1.了解指数函数模型的实际背景．‎ ‎2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．‎ ‎3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．‎ ‎4．知道指数函数是一类重要的函数模型．‎ 考点1　指数幂的化简与求值 ‎1.根式 ‎(1)根式的概念 若________，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．‎ ‎(2)a的n次方根的表示 xn＝a⇒ 答案：(1)xn＝a　‎ ‎2．有理数指数幂 ‎(1)幂的有关概念 ‎①正分数指数幂：a＝________(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；‎ ‎②负分数指数幂：a＝________＝________(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；‎ ‎③0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________．‎ ‎(2)有理数指数幂的性质 ‎①aras＝________(a＞0，r，s∈Q)；‎ ‎②(ar)s＝________(a＞0，r，s∈Q)；‎ ‎③(ab)r＝________(a＞0，b＞0，r∈Q)．‎ 答案：(1)①　②　　③0　无意义 ‎(2)①ar＋s　②ars　③arbr ‎(1)[教材习题改编]若x＋x－1＝5，则x2－x－2＝________.‎ 答案：±5 解析：把x＋x－1＝5两边平方，可得x2＋x－2＝23，所以(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝21，所以x－x－1＝±，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±5.‎ ‎(2)[教材习题改编]若x＋x＝3，则＝________.‎ 答案： 解析：由x＋x＝3，得(x＋x)2＝9，‎ 即x＋x－1＝7.‎ ＝ ‎＝＝.‎ 根式化简与指数运算的误区：混淆“”与“()n”；误用性质．‎ ‎(1)＝__________；‎ 答案：|a－b|＝ ‎ 解析：＝|a－b|＝ ‎ ‎(2)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为________．‎ 答案：7　‎ 解析：[(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝8－1＝7.‎ ‎[典题1]　化简下列各式：‎ ‎(1)[(0.064)－2.5]－－π0；‎ ‎(2)÷×.‎ ‎【解】　(1)原式＝－－1‎ ‎＝－－1‎ ‎＝－－1‎ ‎＝0.‎ ‎(2)原式＝÷× ‎＝a (a－2b)××＝a×a×a＝a2.‎ ‎[点石成金]　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．‎ ‎2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．‎ ‎3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．‎ 考点2　指数函数的图象及应用 指数函数的图象与性质 y＝ax a>1‎ ‎00时，________；x<0时，________‎ 当x>0时，________；x<0时，________‎ 在区间(－∞，＋∞)上是________‎ 在区间(－∞，＋∞)上是________‎ 答案：(0，＋∞)　(0,1)　y>1　01　增函数　减函数 ‎(1)[教材习题改编]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(－1,3)，则f(2)＝________.‎ 答案： 解析：依题意可知a－1＝3，解得a＝，‎ 所以f(x)＝x，所以f(2)＝2＝.‎ ‎(2)[教材习题改编]函数y＝的定义域为________. ‎ 答案：[0，＋∞)‎ 解析：要使函数有意义，需满足1－x≥0，得x≥0.‎ 指数函数常见误区：概念．‎ 函数y＝(a2－‎3a＋3)ax是指数函数，则有a＝‎ ‎________.‎ 答案：2‎ 解析：根据定义有a2－‎3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．‎ ‎[典题2]　(1)[2017·陕西西安模拟]函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)‎ A　　　　 　B ‎　‎ C　　 　　　D ‎[答案]　D ‎[解析]　当a>1时1函数单调递增，且函数图象恒过点，‎ 因为0<1－<1，故A，B均不正确；‎ 当00，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.‎ ‎(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往 往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．‎ ‎(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.‎ ‎1.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)‎ A　　　　　B ‎　‎ C　　　　　D 答案：A 解析：将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质，故选A.‎ ‎2．当k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？‎ 解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．‎ 当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；‎ 当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；‎ 当0－3，此时－30，a≠1)的单调性和底数a有关，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论．‎ ‎3．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当01，还是01时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解．‎ 当00，‎ 又102x1＋1>0,102x2＋1>0，‎ 所以f(x2)－f(x1)>0，‎ 即f(x2)>f(x1)，‎ 所以f(x)是R上的增函数．‎ ‎(3)y＝＝ ‎＝1－.‎ 因为102x＋1>1，‎ 所以0<<1，‎ 所以－2<－<0，‎ 所以－1<1－<1.‎ 故函数f(x)的值域为(－1,1)．‎ ‎2．与指数型函数有关的恒成立问题的解法 与指数型函数有关的恒成立问题，通常采取转化与化归的思想，即：当a>1时，af(x)≥ag(x)恒成立⇔f(x)≥g(x)恒成立⇔f(x)－g(x)≥0恒成立⇔[f(x)－g(x)]min≥0，再构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，求出h(x)的最小值即可．‎ 当00，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得 结合a>0，且a≠1，‎ 解得所以f(x)＝3·2x.‎ 要使x＋x≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，‎ 只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．‎ 因为函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，‎ 所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值.‎ 所以只需m≤即可．‎ 所以m的最大值为.‎