【数学】2018届一轮复习人教A版2-5指数与指数函数学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版2-5指数与指数函数学案

‎§2.5 指数与指数函数 考纲展示► 1.了解指数函数模型的实际背景.‎ ‎2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.‎ ‎3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.‎ ‎4.知道指数函数是一类重要的函数模型.‎ 考点1 指数幂的化简与求值 ‎1.根式 ‎(1)根式的概念 若________,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.‎ ‎(2)a的n次方根的表示 xn=a⇒ 答案:(1)xn=a ‎ ‎2.有理数指数幂 ‎(1)幂的有关概念 ‎①正分数指数幂:a=________(a>0,m,n∈N*,且n>1);‎ ‎②负分数指数幂:a=________=________(a>0,m,n∈N*,且n>1);‎ ‎③0的正分数指数幂等于________,0的负分数指数幂________.‎ ‎(2)有理数指数幂的性质 ‎①aras=________(a>0,r,s∈Q);‎ ‎②(ar)s=________(a>0,r,s∈Q);‎ ‎③(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q).‎ 答案:(1)① ②  ③0 无意义 ‎(2)①ar+s ②ars ③arbr ‎(1)[教材习题改编]若x+x-1=5,则x2-x-2=________.‎ 答案:±5 解析:把x+x-1=5两边平方,可得x2+x-2=23,所以(x-x-1)2=x2-2+x-2=21,所以x-x-1=±,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±5.‎ ‎(2)[教材习题改编]若x+x=3,则=________.‎ 答案: 解析:由x+x=3,得(x+x)2=9,‎ 即x+x-1=7.‎ = ‎==.‎ 根式化简与指数运算的误区:混淆“”与“()n”;误用性质.‎ ‎(1)=__________;‎ 答案:|a-b|= ‎ 解析:=|a-b|= ‎ ‎(2)化简[(-2)6]-(-1)0的结果为________.‎ 答案:7 ‎ 解析:[(-2)6]-(-1)0=(26)-1=8-1=7.‎ ‎[典题1] 化简下列各式:‎ ‎(1)[(0.064)-2.5]--π0;‎ ‎(2)÷×.‎ ‎【解】 (1)原式=--1‎ ‎=--1‎ ‎=--1‎ ‎=0.‎ ‎(2)原式=÷× ‎=a (a-2b)××=a×a×a=a2.‎ ‎[点石成金] 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.‎ ‎2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.‎ ‎3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.‎ 考点2 指数函数的图象及应用 指数函数的图象与性质 y=ax a>1‎ ‎00时,________;x<0时,________‎ 当x>0时,________;x<0时,________‎ 在区间(-∞,+∞)上是________‎ 在区间(-∞,+∞)上是________‎ 答案:(0,+∞) (0,1) y>1 01 增函数 减函数 ‎(1)[教材习题改编]若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(-1,3),则f(2)=________.‎ 答案: 解析:依题意可知a-1=3,解得a=,‎ 所以f(x)=x,所以f(2)=2=.‎ ‎(2)[教材习题改编]函数y=的定义域为________. ‎ 答案:[0,+∞)‎ 解析:要使函数有意义,需满足1-x≥0,得x≥0.‎ 指数函数常见误区:概念.‎ 函数y=(a2-‎3a+3)ax是指数函数,则有a=‎ ‎________.‎ 答案:2‎ 解析:根据定义有a2-‎3a+3=1,解得a=2或a=1(舍去).‎ ‎[典题2] (1)[2017·陕西西安模拟]函数y=ax-(a>0,a≠1)的图象可能是(  )‎ A      B ‎ ‎ C      D ‎[答案] D ‎[解析] 当a>1时1函数单调递增,且函数图象恒过点,‎ 因为0<1-<1,故A,B均不正确;‎ 当00,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.‎ ‎(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往 往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.‎ ‎(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.‎ ‎1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是(  )‎ A     B ‎ ‎ C     D 答案:A 解析:将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质,故选A.‎ ‎2.当k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?‎ 解:函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.‎ 当k<0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解;‎ 当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;‎ 当0-3,此时-30,a≠1)的单调性和底数a有关,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.‎ ‎3.底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”:当a>1时,指数函数的图象“上升”;当01,还是01时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.‎ 当00,‎ 又102x1+1>0,102x2+1>0,‎ 所以f(x2)-f(x1)>0,‎ 即f(x2)>f(x1),‎ 所以f(x)是R上的增函数.‎ ‎(3)y== ‎=1-.‎ 因为102x+1>1,‎ 所以0<<1,‎ 所以-2<-<0,‎ 所以-1<1-<1.‎ 故函数f(x)的值域为(-1,1).‎ ‎2.与指数型函数有关的恒成立问题的解法 与指数型函数有关的恒成立问题,通常采取转化与化归的思想,即:当a>1时,af(x)≥ag(x)恒成立⇔f(x)≥g(x)恒成立⇔f(x)-g(x)≥0恒成立⇔[f(x)-g(x)]min≥0,再构造函数h(x)=f(x)-g(x),求出h(x)的最小值即可.‎ 当00,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).若不等式x+x-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数m的最大值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·ax,得 结合a>0,且a≠1,‎ 解得所以f(x)=3·2x.‎ 要使x+x≥m在x∈(-∞,1]上恒成立,‎ 只需保证函数y=x+x在(-∞,1]上的最小值不小于m即可.‎ 因为函数y=x+x在(-∞,1]上为减函数,‎ 所以当x=1时,y=x+x有最小值.‎ 所以只需m≤即可.‎ 所以m的最大值为.‎
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