江苏省无锡市普通高中2019—2020学年高一下学期期终调研考试数学试题（解析版）

江苏省无锡市普通高中2019—2020学年高一下学期期终调研考试数学试题（解析版）

江苏省无锡市普通高中2019—2020学年高一下学期期终调研考试 数学试题 ‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．用符号表示“点P在直线l上，直线l在平面外”，正确的是 A．Pl，l B．Pl，l C．Pl，l D．Pl，l ‎2．某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是 A．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能冶愈 B．2位病人中一定有1位能治愈 C．每位病人治愈的可能性是50%‎ D．所有病人中一定有一半的人能治愈 ‎3．直线x＋2y＋3＝0在y轴上的截距为 ‎ A． B．3 C．﹣3 D．‎ ‎4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据：‎ x/106元 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y/106元 ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎ 对上述数据进行分析，发现y与x之间具有线性相关关系，下列四个线性回归方程中正确的选项是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点分别为A(1，2，1)，B(1，4，2)，C(0，4，2)，则△ABC的形状为 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎6．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为 A．24π米3 B．48π米3 C．96π米3 D．192π米3‎ ‎7．如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进若干米后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，已知山的高度BC为1千米，则该登山队从A到D前进了 A．千米 B．千米 C．1千米 D．1.5千米 ‎ ‎ 14‎ ‎8．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别为边BC，CD上的动点，P为MN的中点，且MN＝2，则AP长度的最小值为 ‎ A． B． C．4 D．‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列叙述正确的有 A．直线A1B与B1C所成角为60° B．直线A1C与C1D所成角为90°‎ C．直线A1C与平面ABCD所成角为45° D．直线A1B与平面BCC1B1所成角为60°‎ ‎10．已知一组数据，，，，的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有 A．，，，，的平均数为3‎ B．，，，，的方差为3‎ C．，，，，的方差为4‎ D．，，，，的方差为8‎ ‎11．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有 A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C．若一条直线的斜率为tan，则该直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为(≠90°)，则该直线的斜率为tan ‎12．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝6，sinA＝2sinC，则以下四个结论正确的有 A．△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC有可能是等边三角形 C．当A＝B时，△ABC的周长为15 D．当B＝时，△ABC的面积为 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．下表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据，人数如表所示：‎ 选修物理 选修历史 男生 ‎160‎ ‎40‎ 女生 ‎80‎ ‎120‎ ‎ 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调查，若在“选修物理的男生”中抽取了8人，则n的值为 ．‎ ‎14．若两条直线ax＋2y＋1＝0和(a﹣1)x﹣ay﹣1＝0互相垂直，则a的值为 ．‎ ‎15．已知直三棱柱A1B1C1—ABC中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝90°，其外接球的表面积为9π，则该三棱柱的侧棱长为 ．‎ ‎16．从A，B，C，D，E五位条件类似的应聘者中任选2人担任秘书职位，则A被录用的概率为 ．‎ 14‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位：cm），得到如下频数分布表和频率分布直方图：‎ ‎（1）请求出频数分布表中a，b的值；‎ ‎（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）从样本中底部周长在115cm以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm以上的概率．‎ ‎18．（本小题满分10分）‎ 如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，P是上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O．‎ ‎（1）求证：OQ∥平面ABEF；‎ ‎（2）求证：AP⊥CE．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知圆C过三点(1，3)，(4，2)，(1，﹣7)．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若△CMN为等腰直角三角形，求 14‎ 直线l的方程．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，已知tanA＝2，tanB＝3．‎ ‎（1）若△ABC最小边的长为5，求△ABC最大边的长；‎ ‎（2）若AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB．‎ ‎（1）求三棱锥P—AMN的体积；‎ ‎（2）求二面角M—AN—D的正切值．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知圆C：和圆D：，P为圆D上动点．‎ ‎（1）过点A作一条直线l，若l被圆C和圆D截得的弦长相等，求直线l的方程；‎ ‎（2）求证：当点P不在x轴上时，总存在圆C上点M和圆D上点N，使得四边形AMPN为平行四边形．‎ 14‎ 江苏省无锡市普通高中2019—2020学年高一下学期期终调研考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．用符号表示“点P在直线l上，直线l在平面外”，正确的是 A．Pl，l B．Pl，l C．Pl，l D．Pl，l 答案：B 考点：点、线、面的关系 解析：点与直线的关系是元素与集合的关系，是属于与不属于的关系；直线与平面的关系是集合与集合的关系，是包含与不包含的关系．故选B．‎ ‎2．某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是 A．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能冶愈 B．2位病人中一定有1位能治愈 C．每位病人治愈的可能性是50%‎ D．所有病人中一定有一半的人能治愈 答案：C 考点：随机事件 解析：概率问题都是可能性问题，带有“一定”的都是错的，故选C．‎ ‎3．直线x＋2y＋3＝0在y轴上的截距为 ‎ A． B．3 C．﹣3 D．‎ 答案：D 考点：截距 解析：令x＝0，解得，故选D．‎ ‎4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据：‎ x/106元 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y/106元 ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ 14‎ ‎ 对上述数据进行分析，发现y与x之间具有线性相关关系，下列四个线性回归方程中正确的选项是 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 考点：线性回归方程 解析：，，‎ ‎ ，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，故选A．‎ ‎5．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点分别为A(1，2，1)，B(1，4，2)，C(0，4，2)，则△ABC的形状为 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案：B 考点：空间向量 解析：＝(0，2，1)，＝(﹣1，2，1)，＝(﹣1，0，0)，‎ ‎∴，∴AB⊥BC，故选B．‎ ‎6．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为 A．24π米3 B．48π米3 C．96π米3 D．192π米3‎ 答案：B 考点：圆锥的体积 解析：，故选B．‎ ‎7．如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进若干米后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，已知山的高度BC为1千米，则该登山队从A到D前进了 14‎ ‎ ‎ A．千米 B．千米 C．1千米 D．1.5千米 答案：C 考点：正弦定理 解析：设，由正弦定理得：‎ 选C．‎ ‎8．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别为边BC，CD上的动点，P为MN的中点，且MN＝2，则AP长度的最小值为 ‎ ‎ ‎ A． B． C．4 D．‎ 答案：C 考点：圆 解析：以为轴，以为轴建系：设 ‎ ‎ 表示圆心到（-4，-3）距离最小得一半 14‎ 选C 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列叙述正确的有 ‎ ‎ A．直线A1B与B1C所成角为60° B．直线A1C与C1D所成角为90°‎ C．直线A1C与平面ABCD所成角为45° D．直线A1B与平面BCC1B1所成角为60°‎ 答案：AB 考点：异面直线所成角、线面角 解析：连CD1，∵CD1∥A1B，∴∠B1CD1就是直线A1B与B1C所成角或补角，∵△B1CD1是等边三角形，故∠B1CD1＝60°，∴直线A1B与B1C所成角为60°，故A正确；‎ ‎ ∵直线A1C在平面CDD1C1的射影是CD1，且CD1⊥C1D，∴A1C⊥C1D，故直线A1C与C1D所成角为90°，故B正确；‎ ‎ 首先∠A1CA就是直线A1C与平面ABCD所成角，∵∠A1CA≠45°，故C错误；‎ ‎ 首先∠A1BB1就是直线A1B与平面BCC1B1所成角，∵∠A1BB1＝45°，故D错误．‎ ‎ 故选AB．‎ ‎10．已知一组数据，，，，的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有 A．，，，，的平均数为3‎ B．，，，，的方差为3‎ C．，，，，的方差为4‎ D．，，，，的方差为8‎ 答案：AD 考点：平均数与方差 解析：根据，，，，的平均数和方差均为2，可得，，，，的平均数为3，故A正确；，，，，的方差为2，故B错误；，，，，的方差为8，故C错误；‎ 14‎ ‎，，，，的方差为8，故D正确．故选AD．‎ ‎11．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有 A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C．若一条直线的斜率为tan，则该直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为(≠90°)，则该直线的斜率为tan 答案：AD 考点：倾斜角与斜率 解析：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，故A正确，B错误；若一条直线的斜率为tan，则该直线的倾斜角不一定为，若一条直线的倾斜角为(≠90°)，则该直线的斜率为tan，故C错误，D正确．故选AD．‎ ‎12．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝6，sinA＝2sinC，则以下四个结论正确的有 A．△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC有可能是等边三角形 C．当A＝B时，△ABC的周长为15 D．当B＝时，△ABC的面积为 答案：CD 考点：正余弦定理 解析：由正弦定理得 ‎ ‎ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．下表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据，人数如表所示：‎ 选修物理 选修历史 男生 ‎160‎ ‎40‎ 女生 ‎80‎ ‎120‎ ‎ 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调查，若在“选修物理的男生”中抽取了8人，则n的值为 ．‎ 答案：20‎ 考点：分层抽样 14‎ 解析：，．‎ ‎14．若两条直线ax＋2y＋1＝0和(a﹣1)x﹣ay﹣1＝0互相垂直，则a的值为 ．‎ 答案：0或3‎ 考点：两直线垂直 解析：，解得a＝0或3．‎ ‎15．已知直三棱柱A1B1C1—ABC中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝90°，其外接球的表面积为9π，则该三棱柱的侧棱长为 ．‎ 答案：2‎ 考点：球的表面积 解析：将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外 接球．‎ 所以体对角线BC1的长为球O的直径．S球＝4πR2＝9π.所以半径R=‎ 设侧棱为x,2R＝3.解得侧棱为2．‎ ‎16．从A，B，C，D，E五位条件类似的应聘者中任选2人担任秘书职位，则A被录用的概率为 ．‎ 答案：‎ 考点：古典概型 解析：总数共10种，A被录用可能为AB、AC、AD、AE四种，故P＝．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位：cm），得到如下频数分布表和频率分布直方图：‎ 14‎ ‎（1）请求出频数分布表中a，b的值；‎ ‎（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）从样本中底部周长在115cm以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm以上的概率．‎ 解：（1）‎ ‎（2）108.5‎ ‎（3）‎ ‎18．（本小题满分10分）‎ 如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，P是上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O．‎ ‎（1）求证：OQ∥平面ABEF；‎ ‎（2）求证：AP⊥CE．‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知圆C过三点(1，3)，(4，2)，(1，﹣7)．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若△CMN为等腰直角三角形，求直线l的方程．‎ 解：（1）圆心在y=-2上，设圆心坐标（x，-2），‎ 14‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，已知tanA＝2，tanB＝3．‎ ‎（1）若△ABC最小边的长为5，求△ABC最大边的长；‎ ‎（2）若AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．‎ 解：（1），∵,∴,∵,∴,‎ ‎∴∴∴最大边为b，最小边为c 由正弦定理，得，∴，即最大边长为 法一：（2）解：由正弦定理得：a:b:c=sinA:sinB:sinC,设b=则 由余弦定理中线长定理：‎ 得，解得,‎ 得∴‎ 法二：见切作高：作CE垂直AB，设 由中线长公式得 14‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB．‎ ‎（1）求三棱锥P—AMN的体积；‎ ‎（2）求二面角M—AN—D的正切值．‎ 解：⑴ ∵PB=PC,∴PN⊥BC,又∵PN⊥AB,AB∩BD=B,AB、BC,‎ ‎∴PN⊥平面ABCD,∵AB=BC=PB=PC=2,∴PN=,‎ ‎∴‎ ‎⑵ 取DN中点E,连接ME,∵M、E为中点，∴ME∥PN,∵PN⊥平面ABCD,∴ME⊥平面ABCD 过E作EQ⊥AN,则MQ⊥AN,∠MQE即为该二面角的平面角，∴‎ ‎∵PN=,∴,∵∴,∴‎ 即该二面角的正切值为 ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知圆C：和圆D：，P为圆D上动点．‎ ‎（1）过点A作一条直线l，若l被圆C和圆D截得的弦长相等，求直线l的方程；‎ ‎（2）求证：当点P不在x轴上时，总存在圆C上点M和圆D上点N，使得四边形AMPN为平行四边形．‎ 14‎ 解：⑴设直线l：‎ 由弦长相等，得 ‎∴ l: y=4或8x+y-20=0‎ ‎⑵设P（x0,y0）,则 设AM： ，则PN：‎ 由弦长相等，得 得：‎ 化为关于k的方程：‎ 二次项系数 ‎ ‎∴存在k使等式成立，即存在k使AMPN为平行四边形 14‎