2013江西卷（理）数学试题

2013江西卷（理）数学试题

‎2013·江西卷(理科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．， 已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　)‎ A．－2i B．2i C．－4i D．4i ‎1．C　[解析] zi＝4⇒z＝－4i，故选C.‎ ‎2． 函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　)‎ A．(0，1) B．[0，1)‎ C．(0，1] D．[0，1]‎ ‎2．B　[解析] x≥0且1－x>0，得x∈[0，1)，故选B.‎ ‎3． 等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于(　　)‎ A．－24 B．0‎ C．12 D．24‎ ‎3．A　[解析] (3x＋3)2＝x(6x＋6)得x＝－1或x＝－3.当x＝－1时，x，3x＋3，6x＋6分别为－1，0，0，则不能构成等比数列，所以舍去；当x＝－3时，x，3x＋3，6x＋6分别为－3，－6，－12，且构成等比数列，则可求出第四个数为－24.‎ ‎4． 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)‎ ‎7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198‎ ‎3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481‎ A.08 B．07‎ C.02 D．01‎ ‎4．D　[解析] 选出来的5个个体编号依次为：08，02，14，07，01.故选D.‎ ‎5． 展开式中的常数项为(　　)‎ A．80 B．－80‎ C．40 D．－40‎ ‎5．C　[解析] Tr＋1＝C(x2)5－r＝C(－2)rx10－5r，当r＝2时，得常数项为40，故选C.‎ ‎6． 若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)‎ A．S10)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．‎ ‎14．6　[解析] 由题知三角形边长为p，得点B，代入双曲线方程得p＝6.‎ ‎15． (1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．‎ ‎ (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为__________________．‎ ‎15．(1)ρcos2θ－sin θ＝0　(2) ‎[解析] (1)曲线方程为y＝x2，将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入得ρcos2θ－sin θ＝0.‎ ‎(2)－1≤|x－2|－1≤1⇒0≤|x－2|≤2⇒－2≤x－2≤2，得0≤x≤4.‎ ‎16． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．‎ 解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A cos B＝0，即有sin A sin B－sin Acos B＝0，‎ 因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝，又00，Sn＝n2＋n.‎ 于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.‎ 综上，数列{an}的通项为an＝2n.‎ ‎(2)证明：由于an＝2n，bn＝，‎ 则bn＝＝.‎ Tn＝ ‎＝<＝.‎ ‎18． 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图1－5)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．‎ ‎(1)求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎(2)求X的分布列和数学期望．‎ 图1－5‎ 解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形；‎ 所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.‎ ‎(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．‎ 所以X的分布列为 X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.‎ ‎19．， 如图1－6所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，联结CE并延长交AD于F.‎ ‎(1)求证：AD⊥平面CFG；‎ ‎(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．‎ 图1－6‎ 解：(1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1.‎ 故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝.‎ 因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，‎ 从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，‎ 所以∠FED＝∠FEA，故EF⊥AD，AF＝FD，‎ 又因为PG＝GD，所以FG∥PA.‎ 又PA⊥平面ABCD，‎ 所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.‎ ‎(2)以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C，D(0，，0)，‎ P0，0，，故＝，＝，＝.‎ 设平面BCP的法向量1＝(1，y1，z1)，则 解得即1＝.‎ 设平面DCP的法向量2＝(1，y2，z2)，‎ 则解得 即2＝(1，，2)．‎ 从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为 cos θ＝＝＝.‎ ‎20.‎ 图1－7‎ ‎， 如图1－7所示，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)由P在椭圆上得＋＝1，①‎ 依题设知a＝2c，则b2＝3c2，②‎ ‎②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)方法一：由题意可设AB的斜率为k，则 直线AB的方程为y＝k(x－1)，③‎ 代入椭圆方程3x2＋4y2＝12并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝，x1x2＝，④‎ 在方程③中令x＝4得，M的坐标为(4，3k)．‎ 从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－，‎ 注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k，所以k1＋k2＝＋＝＋－ ‎＝2k－·，⑤‎ ‎④代入⑤得k1＋k2＝2k－·＝2k－1.‎ 又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，故存在常数λ＝2符合题意．‎ 方法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为：y＝(x－1)．‎ 令x＝4，求得M.‎ 从而直线PM的斜率为k3＝，‎ 联立得A，‎ 则直线PA的斜率为k1＝，直线PB的斜率为k2＝，‎ 所以k1＋k2＝＋＝＝2k3，‎ 故存在常数λ＝2符合题意．‎ ‎21．， 已知函数f(x)＝a，a为常数且a>0.‎ ‎(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x＝对称；‎ ‎(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)‎ 有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；‎ ‎(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3，0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．‎ 解：(1)证明：因为f＝a(1－2|x|)，‎ f＝a(1－2|x|)，‎ 有f＝f，‎ 所以函数f(x)的图像关于直线x＝对称．‎ ‎(2)当0时，有 f(f(x))＝ 所以f(f(x))＝x有四个解0，，，，又f(0)＝0，f＝，‎ f≠，f≠，故只有，是f(x)的二阶周期点．‎ 综上所述，所求a的取值范围为a>.‎ ‎(3)由(2)得x1＝，x2＝，‎ 因为x3为函数f(f(x))的最大值点，所以x3＝，或x3＝.‎ 当x3＝时，S(a)＝，求导得：S′(a)＝.‎ 所以当a∈时，S(a)单调递增，当a∈时S(a)单调递减；‎ 当x3＝时，S(a)＝，求导得：S′(a)＝；‎ 因a>，从而有S′(a)＝>0，‎ 所以当a∈时S(a)单调递增．‎