湖北省鄂州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

湖北省鄂州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

鄂州市2018—2019学年度高中质量监测 高二数学（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号填写清楚。‎ ‎2．选择题的每小题选出答案后，把答案代码填在答题纸前面的选择题答题表内，不能答在试卷上。‎ ‎3．填空题和解答题应在指定的地方作答，否则答案无效。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡指定区域内作答．‎ ‎1.若，则 A. 1 B. -1 C. i D. -i ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故选C．‎ ‎【考点】复数的运算、共轭复数．‎ ‎【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．‎ ‎2.已知命题p为真命题，命题q为假命题．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为p为真命题，则为假命题，因为q为假命题，则为真命题。然后根据真值表，对①②③④进行分析判断。‎ ‎【详解】因为p为真命题，则为假命题，因为q为假命题，则为真命题。由真值表知，①为假命题；②为真命题；③为真命题；④为假命题。故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题的真假判断，较简单。‎ ‎3.下列说法错误的是（ ）‎ A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好 C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 D. 在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.‎ ‎4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间的人数为 A. 7 B. 9 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样的定义，可知抽到的号码数可组成一个以 为通项公式的等差数列，令，解不等式可得结果。‎ ‎【详解】每组人数=人，即抽到号码数的间隔为30，因为第一组抽到的号码为29，根据系统抽样的定义，抽到的号码数可组成一个等差数列，且，令，得，可得n的取值可以从7取到16，共10个，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键。‎ ‎5.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，‎ 由古典概型公式，满足题意的概率值为.‎ 本题选择C选项.‎ 考点：古典概型 名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.‎ ‎6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. B. 3 C. 5 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 抛物线焦点为,故,双曲线焦点到渐近线的距离等于,故距离为,所以选.‎ ‎7.观察下列一组数据 ‎…‎ 则从左到右第一个数是（ ）‎ A. 91 B. 89 C. 55 D. 45‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 各组和式的第一个数为： ‎ 即 ‎ 其第项为：.‎ 所以第10项为：从而 的第一个加数为 ，故选A.‎ ‎8.如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分茎叶图，其中茎为十位数，叶为个位数，甲、乙两人得分的中位数为X甲、X乙，则下列判断正确的是（ ）‎ A. X乙﹣X甲=5，甲比乙得分稳定 B. X乙﹣X甲=5，乙比甲得分稳定 C. X乙﹣X甲=10，甲比乙得分稳定 D. X乙﹣X甲=10，乙比甲得分稳定 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据茎叶图中的数据，求出甲、乙二人的中位数以及数据分布的稳定性．‎ 解：分析茎叶图可得：‎ 甲运动员的得分为：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51共11个，中位数是26，‎ 且分布较分散些，不稳定；‎ 乙运动员的得分为：18，24，25，31，31，36，36，37，39，44，50共11个，中位数是36，‎ 且分布较集中些，相对稳定些；‎ 所以X乙﹣X甲=10，乙比甲得分稳定．‎ 故选：D．‎ 考点：茎叶图．‎ ‎9.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误， ‎ 因为选项C正确，故选C．‎ ‎【考点】指数函数与对数函数的性质 ‎【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.‎ ‎10.设则（ ）‎ A. 都不大于 B. 都不小于 C. 至少有一个不大于 D. 至少有一个不小于 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：因为相加，利用均值不等式得到 ‎，因此至少有一个不小于-2‎ ‎11.已知抛物线的焦点为F，设是抛物线上的两个动点，如满足，则的最大值 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据抛物线的定义有,由余弦定理得,故的最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,‎ 考查利用余弦定理解三角形,考查了利用基本不等式求最值的方法,还考查了特殊角的三角函数值.首先利用抛物线的定义,将已知条件转化为,结合余弦定理和基本不等式可求得所求角的余弦值的最值,由此确定角的值.‎ ‎12.已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可化为g（﹣x）﹣f（x）＝0在（0，+∞）上有解即x+a0在（0，+∞）上有解，即函数y＝x+a与y在（0，+∞）上有交点，画出函数y＝x+a与y在（0，+∞）上的图象，求得直线和曲线相切的条件，即可得到所求a的范围．‎ ‎【详解】解：由题意知，方程g（﹣x）﹣f（x）＝0在（0，+∞）上有解，‎ 即ex+2x2+ax﹣lnx﹣ex﹣x2＝0，即x+a0在（0，+∞）上有解，‎ 即函数y＝x+a与y在（0，+∞）上有交点，‎ y的导数为y′，‎ 当x＞e时，y′＜0，函数y递减；‎ 当0＜x＜e时，y′＞0，函数y递增．‎ 可得x＝e处函数y取得极大值，‎ 函数y＝x+a与y在（0，+∞）上的图象如右：‎ 当直线y＝x+a与y相切时，‎ 切点为（1，0），可得a＝0﹣1＝﹣1，‎ 由图象可得a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．‎ 故选：C．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、导数的应用以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.不等式的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围。‎ ‎,‎ 是一个递增函数；‎ 故答案为：.‎ 考点：指数函数的单调性和特殊性 ‎14.运行如图所示的程序，输出结果为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一次运行，条件成立；第二次运行，条件成立；第三次运行，条件成立；第四次运行，条件不成立；输出，故答案应填：1．‎ 考点：算法及程序语言．‎ ‎15.已知A（3，1），B（﹣4，0），P是椭圆上的一点，则PA+PB的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 注意到是椭圆的左焦点，设右焦点为，故，而的最大值为，由此求得的最大值.‎ ‎【详解】依题意可知，椭圆，故为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为 ‎，根据椭圆的定义，有.根据三角形两边的差小于第三边可知，故的最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查利用椭圆的定义求解椭圆中的最值问题.属于中档题.‎ ‎16.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：‎ ‎①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；‎ ‎④当时，函数有个零点；⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．‎ ‎【答案】①②⑤．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：①由f（x）的导函数y=f′（x）的图象知，函数f（x）的极大值点为0，4，故①正确；②因为在[0，2]上导函数为负，故函数f（x）在[0，2]上是减函数，故②正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）-a有几个零点，所以③不正确；④不正确．⑤不正确故答案为：①②．‎ 考点：导函数和原函数单调性 点评：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知函数．求不等式的解集.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数定义域分成三部分：分别对不等式进行求解，然后将三种情况的解并起来就是本题的答案。‎ ‎【详解】①当时，，得，所以；‎ ‎②当时，恒成立，所以；‎ ‎③时，，得，所以。‎ 综上，不等式的解集为。‎ ‎【点睛】含2个或2个以上绝对值的不等式要分段讨论。‎ ‎18.已知命题p：，；命题q：方程表示双曲线．‎ ‎⑴若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎⑵若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若命题p为真命题时，，进而确定实数m的取值范围；‎ ‎（2）因为表示双曲线的等价条件是，解不等式可求得m的取值范围；若命题“”为真命题，“”为假命题，则p,q一个为真命题，一个为假命题，分两种情况，可求得答案。‎ ‎【详解】解：（1）对于任意，，‎ ‎ 若命题p为真命题，则，所以； ‎ ‎ （2）若命题q真命题，则，所以， 因为命题“”为真命题，“”为假命题，‎ ‎ 所以p，q一个为真命题，一个为假命题，‎ ‎ 当命题p为真命题，命题q为假命题时，，则，‎ ‎ 当命题p假命题，命题q为真命题时，，则，‎ ‎ 综上，或．‎ ‎【点睛】本题主要考查根据复合命题的真假来确定参数m的取值范围，主要用到了分类讨论的思想。‎ ‎19.选修4-5：不等式选讲 ‎（1）已知，都是正数，且，求证：；‎ ‎（2）已知，，都是正数，求证：.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用作差法，变形，可得，从而得证；（2）根据基本不等式可得，，①，同理②，③，以上三个式子相加即可得证．‎ 试题解析：（1），∵，都是正数，∴，‎ 又∵，∴，于是，即，‎ ‎∴；（2）∵，，∴①，‎ 同理②，③，‎ ‎①②③相加得，从而，‎ 由，，都是正数，得，因此．‎ 考点：1．作差法证明不等式；2．基本不等式．‎ ‎20.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:‎ 日期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差 x (℃)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数 y(个)‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.‎ ‎（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?‎ ‎（参考公式: ，‎ ‎）‎ 参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498.‎ ‎【答案】（1） （2）线性回归方程是理想的. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据给出的公式计算回归方程.（2）根据（1）中的回归方程计算预测值，看它与实际值的差是否不超过2即可.‎ 解析：（1）由数据求得，由公式求得，再由，所以关于的线性回归方程为. ‎ ‎（2）当时， ，；同样，当时, ， ，所以，该小组所得线性回归方程是理想的. ‎ ‎21.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率；‎ ‎（2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程.‎ 试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为，‎ 则原点到直线的距离，‎ 由，得，解得离心率.‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.‎ 依题意，圆心是线段的中点，且.‎ 易知，不与轴垂直.‎ 设其直线方程为，代入（1）得 ‎.‎ 设，则，.‎ 由，得，解得.‎ 从而.‎ 于是.‎ 由，得，解得.‎ 故椭圆方程为.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（2）构造函数F（x）=f（x）-x+1，先求出函F（x）的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）通过讨论k的范围，结合函数的单调性求解即可 试题解析：（1）得.‎ 得，解得 故的单调递增区间是 ‎（2）令,‎ 则有 当时，‎ 所以在上单调递减，‎ 故当时，，即当时，‎ ‎（3）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意。‎ 当时，对于，有则 从而不存在满足题意。‎ 当时，令，‎ 由得，。‎ 解得 当时，，故在内单调递增。‎ 从而当，即 综上吗，k的取值范围是 考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 ‎ ‎ ‎ ‎