高考理科数学专题复习练习2.1函数及其表示

高考理科数学专题复习练习2.1函数及其表示

第二章函数 ‎2.1函数及其表示 专题4‎ 分段函数 ‎■(2015河北石家庄高三质检二,分段函数,选择题,理9)函数f(x)=‎2‎x‎,x∈[0,1),‎‎4-2x,x∈[1,2],‎若f(x0)≤‎3‎‎2‎,则x0的取值范围是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.log‎2‎‎3‎‎2‎,‎‎5‎‎4‎ B.‎‎0,log‎2‎‎3‎‎2‎‎∪‎‎5‎‎4‎‎,+∞‎ C.‎0,log‎2‎‎3‎‎2‎‎∪‎‎5‎‎4‎‎,2‎ D.‎log‎2‎‎3‎‎2‎,1‎‎∪‎‎5‎‎4‎‎,2‎ 解析:利用分段函数建立不等式组求解.f(x0)≤‎3‎‎2‎‎⇔‎0≤x‎0‎<1,‎‎2‎x‎0‎‎≤‎‎3‎‎2‎或‎1≤x‎0‎≤2,‎‎4-2x‎0‎≤‎3‎‎2‎,‎解得0≤x0≤log2‎3‎‎2‎或‎5‎‎4‎≤x0≤2,故选C.‎ 答案:C ‎■(2015江西南昌一模,分段函数,填空题,理16)已知函数f(x)=ax-1‎‎,x≤0,‎lgx,x>0,‎若关于x的方程f(f(x))=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为　　　　　. ‎ 解析:利用分段函数的解析式求解.由题意可得a≠0,且由f(f(x))=0只有一个解得f(x)=1有且仅有一个解.当x>0时,f(x)=lgx=1,x=10适合,所以x≤0时,f(x)=ax-1‎=1无解,即x=a+1>0,a>-1.综上可得,实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).‎ 答案:(-1,0)∪(0,+∞)‎ ‎2.3函数的奇偶性与周期性 专题2‎ 奇偶性的应用 ‎■(2015河北保定一模,奇偶性的应用,选择题,理7)已知函数f(x+2)是R上的偶函数,当x>2时,f(x)=x2+1,则当x<2时,f(x)=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x2+1 B.x2-8x+5‎ C.x2+4x+5 D.x2-8x+17‎ 解析:因为函数f(x+2)是R上的偶函数,所以函数f(x)关于x=2对称,所以f(x)=f(4-x).又因为当x>2时,f(x)=x2+1,则当x<2时,-x>-2,4-x>2,所以f(x)=f(4-x)=(4-x)2+1=x2-8x+17,所以当x<2时,f(x)=x2-8x+17,故选D.‎ 答案:D ‎■(2015江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学高三联考,奇偶性的应用,选择题,理7)对于函数f(x)=x3cos 3x+‎π‎6‎,下列说法正确的是(　　)‎ A.f(x)是奇函数且在‎-π‎6‎,‎π‎6‎上单调递增 B.f(x)是奇函数且在‎-π‎6‎,‎π‎6‎上单调递减 C.f(x)是偶函数且在‎0,‎π‎6‎上单调递增 D.f(x)是偶函数且在‎0,‎π‎6‎上单调递减 解析:f(x)=-x3sin3x,f(-x)=-(-x)3sin3(-x)=-x3sin3x=f(x),因此函数f(x)是偶函数.当x∈‎0,‎π‎6‎时,f'(x)=-(3x2sin3x+3x3cos3x)<0.因此函数f(x)在‎0,‎π‎6‎上是减函数,故选D.‎ 答案:D ‎■(2015河北石家庄一模,奇偶性的应用,选择题,理5)已知偶函数f(x),当x∈[0,2)时,f(x)=2sin x,当x∈[2,+∞)时,f(x)=log2x,则f‎-‎π‎3‎+f(4)=(　　)‎ A.-‎3‎+2 B.1 C.‎3‎+2 D.3‎ 解析:因为函数f(x)是偶函数,‎ 所以f‎-‎π‎3‎=fπ‎3‎=2sinπ‎3‎‎=‎‎3‎,又f(4)=log24=2,则f‎-‎π‎3‎+f(4)=‎3‎+2,故选C.‎ 答案:C ‎■(2015江西赣州高三摸底考试,奇偶性的应用,选择题,理3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是(　　)‎ ‎①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.‎ A.①③ B.②③ C.①④ D.②④‎ 解析:因为f(x)是奇函数,所以y=f(|x|)与y=xf(x)是偶函数,①③不满足条件.又因为y=f(-x)与y=f(x)+x是奇函数,所以②④满足条件,故选D.‎ 答案:D 专题3‎ 周期性及其应用 ‎■(2015河北石家庄高三质检一,周期性及其应用,选择题,理5)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1)时,f(x)=‎4x‎2‎-2,-2≤x≤0,‎x,00,ω>0)的图象与两条直线l1:y=m,l2:y=-m(A≥m≥0)的两个交点,记S=|xN-xM|,则S(m)图象大致是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解析:利用排除法求解.由题意可得sin(ωxM+φ)=sin(-ωxN-φ),则结合图象可得(ωxM+φ)+(-ωxN-φ)=π,所以S(m)=|xM-xN|=πω是一个与m无关的常数函数,故选C.‎ 答案:C ‎■(2015江西南昌二模,函数图象的辨识,选择题,理11)已知函数f(x)=‎2‎ex‎+1‎+sin x(e为自然对数的底数),则函数y=f(x)在‎-π‎3‎,‎π‎3‎上的大致图象是(　　)‎ 解析:由题意知f'(x)=-‎2‎ex‎(ex+1‎‎)‎‎2‎+cosx.‎ 因为‎2‎ex‎(ex+1‎‎)‎‎2‎‎=‎2‎exe‎2x‎+2ex+1‎=‎2‎ex‎+‎1‎ex+2‎≤‎‎1‎‎2‎,当且仅当ex=‎1‎ex,即x=0时取等号,在‎-π‎3‎,‎π‎3‎上,‎1‎‎2‎≤cosx≤1,所以f'(x)=-‎2‎ex‎(ex+1‎‎)‎‎2‎+cosx≥-‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=0,即f(x)在‎-π‎3‎,‎π‎3‎上为单调递增函数,故选A.‎ 答案:A ‎■(2015河北衡水中学二模,函数图象的辨识,选择题,理8)若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,则函数y=loga‎1‎x的图象大致为(　　)‎ 解析:因为当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,所以00时,函数y=loga‎1‎x=-logax,显然此时函数单调递增,故选B.‎ 答案:B 专题3‎ 函数图象的应用 ‎■(2015河北衡水中学二模,函数图象的应用,选择题,理12)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,当x>1时,f(x+1)=f(x)+f(1),若直线y=kx与函数y=f(x)的图象恰有7个不同的公共点,则实数k的取值范围为(　　)‎ A.(2‎2‎-2,2‎6‎-4) B.(‎3‎+2,‎3‎‎+‎‎6‎)‎ C.(2‎2‎+2,2‎6‎+4) D.(4,8)‎ 解析:由x>1时,f(x+1)=f(x)+f(1)=f(x)+1可得当x∈[n,n+1],n∈N*时,f(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=…=f(x-n)+n=(x-n)2+n.因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以其图象关于原点对称,因此要使直线y=kx与函数y=f(x)恰有7个不同的公共点,只需满足当x>0时,直线y=kx与函数y=f(x)恰有3个不同的公共点即可.作出x>0时函数y=f(x)图象,由图可知,当直线y=kx与曲线段y=(x-1)2+1,x∈[1,2]相切时,直线与函数y=f(x)恰有5个不同的公共点,与曲线段y=(x-2)2+2,x∈[2,3]相切时,直线与函数y=f(x)恰有9个公共点,若恰有7个,则介于此两者之间,由直线方程y=kx与y=(x-1)2+1,x∈[1,2],消去y得x2-(2+k)x+2=0,因为相切,所以Δ=(2+k)2-8=0,又k>0,所以k=2‎2‎-2.由y=kx与y=(x-2)2+2,x∈[2,3],消去y得x2-(4+k)x+6=0,因为相切,所以Δ=0,得到k=2‎6‎-4,所以k的取值范围为(2‎2‎-2,2‎6‎-4),故选A.‎ 答案:A ‎2.8函数与方程 专题2‎ 函数零点、方程根的个数 ‎■(2015江西南昌二模,函数零点、方程根的个数,选择题,理9)已知函数f(x)=‎(-x‎)‎‎1‎‎2‎,x≤0,‎log‎5‎x,x>0,‎函数g(x)是周期为2的偶函数且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ 解析:在同一坐标系中作出y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,由图象可知当x>0时,有4个零点,当x≤0时,有2个零点,所以一共有6个零点,故选B.‎ 答案:B 专题3‎ 函数零点的综合应用 ‎■(2015河北石家庄高三质检一,函数零点的综合应用,选择题,理12)设函数f(x)=ex+2x-a(a∈R,e为自然对数的底数),若曲线y=sin x上存在点(x0,y0),使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是(　　)‎ A.[-1+e-1,1+e] B.[1,1+e]‎ C.[e,1+e] D.[1,e]‎ 解析:由题意得f(x)为R上的增函数,若f(f(b))=b成立,则f(b)=b,否则不妨设f(b)=cb也不成立,所以f(b)=b,则问题等价于函数f(x)=ex+2x-a的图象与直线y=x在[-1,1]上有交点,即存在x∈[-1,1],使得ex+2x-a=x成立,即a=ex+x在[-1,1]上存在零点.又因为g(x)=ex+x为R上的增函数,所以gmax(x)=g(1)=e+1,gmin(x)=g(-1)=-1+e-1,所以a的取值范围为[-1+e-1,1+e],故选A.‎ 答案:A ‎■(2015江西九校高三联考,函数零点的综合应用,填空题,理16)已知函数f(x)=‎-x,x∈[-1,0),‎‎1‎f(x-1)‎‎-1,x∈[0,1),‎若方程f(x)-kx-3k=0有两个实数根,则k的取值范围是　　　　　. ‎ 解析:依题意,当x∈[0,1)时,x-1∈[-1,0),f(x-1)=-(x-1),f(x)=‎1‎f(x-1)‎-1=-‎1‎x-1‎-1.在坐标平面内画出函数y=f(x)与直线y=k(x+3)(该直线过点(-3,0),斜率为k)的大致图象,结合图象(图略)可知,要使该直线与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点,相应的斜率k的取值范围是‎0,‎‎1‎‎2‎.‎ 答案:‎‎0,‎‎1‎‎2‎