中考数学分类汇编 平移旋转轴对称

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中考数学分类汇编 平移旋转轴对称

平移、旋转、轴对称 一、选择题 ‎1.(2011·江苏省盐城市一模,5,3)图中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是 ( )‎ A.点 B.点 C.点 D.点 O P M N ‎【答案】A ‎2. (2011·广东省深圳市一模,4,3)下列图形中,不是轴对称图形的为( )‎ A        B        C        D ‎【答案】A ‎3. (2011·山东省青州市一模,6,3)把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB = ‎3 cm,BC = ‎5 cm,则重叠部分△DEF的面积是( )‎ A、‎7.5cm B、‎5.1cm C、‎5.2cm D、‎‎7.2cm A B C F E ‎′‎ 第6题图 ‎( )‎ D ‎【答案】B ‎4. (2011·山东省青州市一模,12,3)如图,直径AB为6的半圆,绕A点逆时针旋转60°,‎ 此时点B到了点B’,则图中阴影部分的面积是( ) ‎ A、 6p B、 5p ‎ C、 4p D、 3p 。‎ A B B’‎ ‎【答案】A ‎5. (2011·上海市静安区一模,6,4)下列图形中,可能是中心对称图形的是 ‎ ‎ ‎【答案】D ‎6. (2011·湖南省一模, 2,3)如果一个四边形ABCD是中心对称图形,那么这个四边形一定是(  )‎ A.等腰梯形    B.矩形     C.菱形     D.平行四边形 ‎【答案】D ‎7. (2011·湖北省天门市一模,2,4)2.边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′,两图叠成一个“蝶形风筝”(如图所示阴影部分),则这个风筝的面积是( )。‎ A.2- B. C.2- D.2 ‎ ‎【答案】A ‎8. (2011·湖北省天门市一模,6,4)如图所示,在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,点D的对应点为G,连接DG,,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. B. ‎6 C. D.‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎9. (2011·湖北省天门市麻洋三模,1,3)4张扑克牌如图(1)所示放在桌子上,小新把其中一张旋转180°后得到如图(2)所示,那么他所旋转的牌从左起是( )‎ A.第一张、第二张 B.第二张、第三张 C.第三张、第四张 D.第四张、第一张 ‎ (1) (2)‎ ‎【答案】A ‎10. (2011·甘肃省兰州市一模诊断,13,4)如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG>60°,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则与∠BEG相等的角的个数为( )‎ A.4 B.‎3 C.2 D.1‎ ‎【答案】B ‎11. (2011·江苏省苏州市一模1,4,3)如图2所示,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转20°,点B落在B'位置,点A落在A'位置,若AC⊥A'B',则∠BAC的度数是 ( )‎ ‎ A.50° B.60°‎ ‎ C.70° D.80°‎ ‎【答案】C ‎12. (2011·江苏省苏州市一模5,3,3)下列四个图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 ( )‎ ‎ A.①② B.①③ C.②③ D.①②③‎ ‎【答案】B ‎13. (2011·江苏省苏州市一模4,4,3)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )‎ ‎【答案】C ‎14. (2011·上海市杨浦区一模,4,4)下列图形中,是中心对称图形的是 ( ▲ )‎ ‎【答案】B ‎15. (2011·上海市静安区二模,6,4).下列图形中,可能是中心对称图形的是 ‎ ‎ ‎【答案】D ‎16. (2011·山东省菏泽市一模,2,3)2. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )‎ A B D C ‎【答案】D ‎17. (2011·江苏省南通市启东中学一模,3,3)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )‎ ‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.菱形 ‎【答案】D ‎18. (2011·湖北省黄冈市黄冈一模,10,3)如图,将三角形向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则平移后三个顶点的坐标是( ).    ‎ A.(1, 7) , (-2, 2),(3, 4) B.(1, 7) , (-2, 2),(4, 3) ‎ C.(1, 7) , (2, 2),(3, 4) D.(1, 7) , (2,-2),(3, 3)‎ ‎10题图 ‎-4‎ ‎(-1,4)‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ x O y ‎(1,1)‎ ‎(-4,-1)‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎【答案】A ‎19. (2011·河南省一模,5,3)5.如图,在平面直角坐标系中,其中一个三角形是由另一个三角形绕着某点旋转一定的角度得到的,则其旋转中心可能是【 】‎ A.(0,1) B.(0,2) C.(−1,1) D.(−1,2)‎ ‎【答案】D ‎20.(2011·浙江省杭州市二模,5,3)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ▲ )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎21.(2011·浙江省杭州市一模,8,3)如图,方格纸的两条对称轴相交于点,‎ 对图分别作下列变换:‎ ‎①先以直线为对称轴作轴对称图形,再向上平移4格;‎ ‎②先以点为中心旋转,再向右平移1格;‎ ‎③先以直线为对称轴作轴对称图形,再向右平移4格,‎ 其中能将图变换成图的是(   )‎ A.①② B.①③ C.②③ D.③‎ ‎(第8题图)‎ ‎【答案】D ‎22.(2011·质量检测,6,3)如下图,将一个等腰直角三角形按图示方式依次进行翻折,若DE=a,则下列说法:①DC’平分∠BDE;②BC长为(+2)a;③△BDC’是等腰三角形;④△CED的周长等于BC的长,正确的个数有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】C ‎23.(2011·黑龙江省大庆市月考,4,3)4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】B ‎24.(2011·湖北省枝江市十校联考,6,3)6、平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),将线段OA绕原点O顺时针旋转得到,则点 的坐标是(▲ )‎ A.(,3) B.(,4) C.(3,) D.(4,)‎ ‎【答案】C ‎ ‎25.(2011·湖北省荆州市一模,6,3)(2010年天津)下列图形中,既可以看作是轴对称图形,又可以看作是中心对称图形的为( ) ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B 第7题图 ‎26.(2011·湖北省荆州市一模,7,3)(2010年恩施)如图5,EF是△ABC的中位线,将△AEF沿中线AD方向平移到△AEF的位置,使EF与BC边重合,已知△AEF的面积为7,则图中阴影部分的面积为( )‎ A. 7 B. ‎14 C. 21 D. 28‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎1.(2011·上海市闵行区一模,18,4)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,AC = BC,AB = 6.如果将△ABC在直线AB上平行移动2个单位后得△A′B′C′,那么△CA′B的面积为 ▲ .‎ A B C ‎(第18题图)‎ ‎【答案】6或12.‎ ‎2. (2011·山西省山西大学附中一模,3,3)点P(1,2)关于轴的对称点的坐标是 .‎ ‎【答案】(1,-2)‎ ‎3. (2011·上海市静安区一模,18.,4)在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,△ABC 绕着点C旋转后, 点B落在AC边上的点B’,点A落在点A’,那么tan∠AA’B’的值为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎4. (2011·北省黄冈市一模,9,3)9. 如图,在Rt中,,.将绕直角顶点C按顺时针方向旋转,得,斜边分别与BC、AB相交于点D、E,直角边与AB交于点F.若,则至少旋转30° 度才能得到,此时与的重叠部分(即四边形CDEF)的面积为 .‎ ‎【答案】30 、‎ ‎5. (2011·湖北省黄冈市一模,10,3)10.已知一个半圆形工件,未搬动前如图所示,直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移‎50米,半圆的直径为‎4米,则圆心O所经过的路线长是___ ______.‎ O O O O l ‎【答案】‎ ‎6. (2011·湖北省天门市麻洋模2, 13,3)现有一张矩形纸片ABCD(如图),其中AB=‎4cm,BC=‎6cm,点E是BC的中点.将纸片沿直线AE折叠,点B落在四边形AECD内,记为点.则线段= ‎ B A C D E E ‎(第13题)‎ ‎【答案】解:连接BB'交AE于点O, 由折线法及点E是BC的中点,∴EB=EB′=EC ∴∠EBB′=∠EB′B,∠ECB′=∠EB′C 又∵△BB'C三内角之和为180° ∴∠BB'C=90° ∵点B′是点B关于直线AE的对称点 ∴AE垂直平分BB′ 在Rt△AOB和Rt△BOE中,BO2=AB2-AO2=BE2-(AE-AO)2 将AB=4,BE=3,AE= =5代入,得AO= ∴BO= = = ‎ ‎∴BB′=2BO= ′ ∴在Rt△BB'C中,B′C= = = .‎ ‎7. (2011·湖北省天门市麻洋一模,14,3)如图,一副三角板拼在一起,O为AD的中点,AB = a.将△ABO沿BO对折于△A′BO, ‎ ‎ M为BC上一动点,则A′M的最小值为 .‎ ‎45° ‎60° A′‎ B M A O D C ‎【答案】‎ ‎8. (2011·湖北省黄冈市黄冈中学一模,10,3)如图,在平面直角坐标系中,已知△是等边三角形,点A的坐标是(0,3),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把△绕着点A逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD。当点P运动到点时,此时点D的坐标为 。‎ ‎【答案】‎ ‎9. (2011·湖北省天门市麻洋三模,12,3)‎ 如图所示,一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形沿对开后,再把矩形沿对开,依此类推.若各种开本的矩形都相似,那么=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎10.(2011·江苏省苏州市一模,17,3)如图9所示,在平面直角坐标系中,△PQR是△ABC经过某种变 换后得到的图形,观察点A与点P,点B与点Q,点C与点R的坐 标之间的关系.在这种变换下,如果△ABC中任意一点M的坐标为(x,y),那么它的对应点N的坐标是________.‎ ‎【答案】(-x,-y)‎ ‎11.(2011·江苏省苏州市一模,18,3)18.如图10所示,小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图‎10a,AD>CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图10b);再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(如图‎10c).如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,那么矩形ABCD长与宽的比值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎12. (2011·江苏省苏州市一模6,18,3)先将一矩形ABCD置于直角坐标系中,使点A与坐标系的原点重合,边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如图(1)),再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°(如图(2)),若AB=4,BC=3,则图(1)中B点的坐标为______ ,C点的坐标为______;图(2)中B点的坐标为______,C点的坐标为______.‎ ‎【答案】(4,0)(4,3)(2,2)(,) ‎ ‎13. (2011·上海市杨浦区一模,18,4)如图,EF是△ABC的中位线,将△AEF沿中线AD的方向平移到△A1E‎1F1,使线段E‎1F1落在BC边上,若△AEF的面积为‎7cm2,则图中阴影部分的面积是 ▲ cm2.‎ ‎【答案】14‎A B C E F D A1‎ E1‎ F1‎ ‎(第18题图)‎ ‎14. (2011·上海市静安区二模,18,4)在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,△ABC 绕着点C旋转后, 点B落在AC边上的点B’,点A落在点A’,那么tan∠AA’B’的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎15. (2011·上海市奉贤区二模,18,4)如图,在等边△ABC中,,点在上,且,点 是上一动点,连结,将线段绕点逆时针旋转得到线段.要使 点恰好落在上,则的长是 ▲ .‎ ‎【答案】6‎ ‎16. (2011·山东省菏泽市一模,3,3)平移二次函数的图象,使它经过原点,写出一个平移后所得图象表示的二次函数的解析式__________.‎ ‎【答案】‎ D Q C B P R A ‎17. (2011·山东省菏泽市一模,4,3)在矩形中,,,点是边上的动点(点不与点,点重合),过点作直线,交边于点,再把沿着动直线对折,点的对应点是点,则=____________.‎ D Q C B P R A ‎【答案】30°‎ ‎18. (2011·江苏省南通市启东中学一模2,17,3)如图6所示,将一块斜边长为‎12 cm,∠B=60°的直角三角板ABC,绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A'B'C'的位置,再沿CB向右平移,使点B'‎ 刚好落在斜边AB上,那么此三角板向右平移的距离是_______cm.‎ ‎【答案】6-2‎ ‎19. (2011·江苏省南通市启东中学一模2,18,3)如图7所示,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎20.(2011·江苏省南通市启东中学一模3,17,3)17.如图7所示,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动90°,转动3s后停止,则顶点A经过的路线长为_______.‎ ‎【答案】12π ‎21.(2011·河南省一模,14,3)在矩形ABCD纸片中, AD=4,CD=3.限定点E在边AB上,点F在边BC上,将△BEF沿EF翻折后叠合在一起,则点B距点A的最小距离是 ___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎22.(2011·河南省一模,15,3)15.如图,点C在以AB为直径的半圆弧上,∠ABC=30°,沿直线CB将半圆折叠,直径AB和弧BC交于点D,已知AB=6,则图中阴影部分的面积和周长分别等于________________. ‎ ‎【答案】,‎ ‎23.(2011·浙江省杭州市一模,15,4)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点 B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=6,BC=8,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是 .‎ ‎【答案】4 , ‎ ‎24.(2011·浙江省杭州市一模,15,3)二次函数y=x2-2x-3的图象关于原点O(0,0)对称的图象的解析式是_________.‎ ‎【答案】Y=_-x2-2x+3(写成顶点式也对)‎ ‎25.(2011·质量检测,13,3)如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,点P是△ABC内一点,△ABP绕点A 逆时针旋转后与△ACP’重合,如果AP=,那么P点走过的路线长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎26.(2011·上海市奉贤区二模,18,4)如图,在等边△ABC中,,点在上,且,点 是上一动点,连结,将线段绕点逆时针旋转得到线段.要使点恰好落在上,则的长是 ▲ .‎ C O D P B A 第18题图 ‎【答案】6‎ ‎26.(2011·上海市毕业考试模拟1,18,4)18.在中,,,为边上一点,沿过点的一条直线折叠,使点落在射线上的点处.若∽,则的长为 .‎ A B C P′‎ P ‎(图2)‎ ‎【答案】.‎ ‎27.(2011·上海市卢湾区模拟1,18,4)18.在中,,是上的点,,将线段绕点旋转,使点落在线段的延长线上,记作点,已知,,则 ‎  ▲  .‎ ‎【答案】2‎ 三、解答题 ‎1.(2011·广东省珠海市香洲区一模,21,9)已知,如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.‎ ‎(1)求证:BE=DG;(2)∠若B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?证明你的结论.‎ A D G C B F E ‎【答案】证明:(1)∵四边形是平行四边形,‎ ‎∴. ……1分 ‎∵是边上的高,且是由沿方向平移而成.‎ ‎∴. ……2分 ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴. ……3分 ‎∴. ……4分 ‎(2)当时,四边形是菱形. ……5分 ‎∵,,‎ ‎∴四边形是平行四边形. ……6分 ‎∵中,,‎ ‎∴,‎ ‎∴. ……7分 ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴. ……8分 ‎∴四边形是菱形. ……9分 ‎2. (2011·江苏省盐城市一模,23,8)‎ 图(1)、图(2)均为7×6的正方形网格,点A、B、C在格点上。‎ ‎ (1)在图(1)中确定格点D,并画出以A、B、C、D为顶点的四边形,使其为轴对称图形(画一个即可);‎ ‎ (2)在图(2)中确定格点D,并画出以A、B、C、D为顶点的四边形,使其为中心对称图形(画一个即可)。‎ 图(1) ‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ A B C 图(2) ‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ A B C ‎【答案】略 ‎3. (2011·江苏省盐城市一模,26,10)已知:如图所示,△ABC为任意三角形,若将△ABC绕点C顺时针旋转 得到△DEC.‎ ‎(1)试猜想AE与BD有何关系?说明理由;‎ ‎(2)若△ABC的面积为‎4cm2,求四边形ABDE的面积;‎ ‎(3)请给△ABC添加条件,使旋转得到的四边形ABDE ‎ 为矩形,并说明理由.‎ C E B A D ‎【答案】26、(1)互相平分 (2)16 (3)AC=BC ‎4. (2011·湖南省长沙市一模,21,6)如图4—10,在网格中、建立了平面直角坐标系,每个小正方形的边长均为1个单位长度,将四边形ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180°后得到四边形A1B‎1C1D1.‎ ‎(1)写出点D1的坐标_________,点D旋转到点D1所经过的路线长__________;‎ ‎(2)请你在△ACD的三个内角中任选二个锐角,若你所选的锐角是________,则它所对应的正弦函数值是_________;‎ ‎(3)将四边形A1B‎1C1D1平移,得到四边形A2B‎2C2D2,若点D2 (4,5),画出平移后的图形.(友情提示:画图时请不要涂错阴影的位置哦!)‎ ‎【答案】‎ 解:(1)(3,一l),π; (2)∠ACD, (或∠DAC,) ‎ ‎(3)画出正确图形(见图D4-1) ‎ ‎5. (2011·湖北省武汉市一模,21,7)‎ ‎(1)在平面直角坐标系中,将直线l :y= -2x+4绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到直线l 1 ,再将直线l 1 向上平移1个单位得到直线l 2,直接写出直线l 1 ,l 2的解析式。‎ ‎(2)在平面直角坐标系中,将直线a: y=-2x+m绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到直线a1,‎ 再将直线a1向上平移k个单位得到直线a2,直接写出直线a1、a2的解析式。‎ ‎(3)在平面直角坐标系中,将直线b: y= nx+m绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到直线b1,‎ 再将直线b1沿竖直方向平移k个单位得到直线b2,直接写出直线b2的解析式。‎ ‎【答案】21. (1), ‎ ‎(2), ‎ ‎(3)‎ ‎6. (2011·湖北省天门市麻洋模2,21,9)‎ 已知:等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图,点A的坐标为(),点B的坐标为(-6,0).‎ ‎(1)若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O,请直接写出A、B的对称点 的坐标;‎ ‎(2)若将三角形沿x轴向右平移a个单位,此时点A恰好落在反比例函数的图像上,求a的值;‎ ‎(3)若三角形绕点O按逆时针方向旋转度().‎ ‎ ①当=时点B恰好落在反比例函数的图像上,求k的值.‎ ‎ ②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上,若能,求出的值;若不能,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)A(3,3)B(-6,0);‎ ‎(2)3=6×,x=2,a=5;‎ ‎(3)A落到x轴上,B于A关于x轴对称,设B'(x,);则k=9。‎ ‎7. (2011·湖北省天门市麻洋模2,24,9)如图,已知正方形在直角坐标系中,点分别在轴、轴的正半轴上,点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点,‎ 分别在上,且将三角板绕点逆时针旋转至的位置,连结 ‎(1)求证:‎ ‎(2)若三角板绕点逆时针旋转一周,是否存在某一位置,使得若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】【答案】(1)证明:∵四边形OABC为正方形,∴OC=OA,∵三角板OEF是等腰直角三角形,∴OE1=OF1,又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE‎1F1的位置时,∠AOE1=∠COF1,∴△OAE1≌△OCF1;‎ ‎(2)存在,∵OE⊥OF,过点F与OE平行的直线有且只有一条,并且与OF垂直,又当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时,则点F与OF垂直的直线必是⊙O的切线,又点C为⊙O外一点,过点C与⊙O相切的直线只有2条,不妨设为CF1和CF2,此时,E点分别在E1和E2点,满足CF1∥OE1,CF2∥OE2,点切点F1在第二象限时,点E1在第一象限,在Rt△CF2O中,OC=4,OF1=2,cos∠COF1=,∴∠COF1=60°,∴∠AOE1=60°,∴点E1的横坐标为2cos60°=1,点E1的纵坐标为2sin60°=,∴E1的坐标为(1,),当切点F2在第一象限时,点E2在第四象限,同理可求E2(1,-),∴三角板OEF绕O点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得OE∥CF,此时点E的坐标分别为E1(1, )或者E2(1,-).‎ ‎8. (2011湖北省天门市麻洋一模,24,10)如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,连接AE.AC和BE相交于点O.‎ ‎(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由; ‎ ‎(2)如图2,P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AB于点Q,QR⊥BD,垂足为点R.‎ ①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积;‎ ②当线段BP的长为何值时,△PQR与△BOC相似?‎ C O E D B A ‎(备用图)‎ ‎1‎ C O E D B A R P Q C O E D B A ‎(第24题图2)‎ ‎【答案】24(10分)解:(1)略 ‎(2)①四边形PQED的面积不发生变化,理由如下:‎ 由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO,∴S△PBO= S△QEO,‎ ‎∵△ECD是由△ABC平移得到得,∴ED∥AC,ED=AC=6,‎ 又∵BE⊥AC,∴BE⊥ED,‎ ‎∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED=×BE×ED=×8×6=24.‎ ‎(第24题2)‎ P Q C R O E D B A ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ G ‎(第24题1)‎ P Q C H R O E D B A ②如图2,当点P在BC上运动,使△PQR与△COB相似时,‎ ‎∵∠2是△OBP的外角,∴∠2>∠3,∴∠2不与∠3对应,∴∠2与∠1对应,‎ 即∠2=∠1,∴OP=OC=3, 过O作OG⊥BC于G,则G为PC的中点,△OGC∽△BOC,‎ ‎∴CG:CO=CO:BC,即:CG:3=3:5,∴CG=,‎ ‎∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×=.‎ ‎∴BD=PB+PR+RF+DF=x++x+=10,x=.‎ ‎9. (2011·湖北省黄冈市黄州中学3月考,20,8 )如图,△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长. ‎ 小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路,探究并解答下列问题:‎ ‎⑴分别以AB、AC为对称轴,画出△ABD、△ACD的轴对称图形,D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点,证明四边形AEGF是正方形;⑵设AD=x,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,求出x的值.‎ B C A E G D F ‎【答案】(1)证明:由题意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF ‎ ‎∴∠DAB=∠EAB ,∠DAC=∠FAC ,又∠BAC=45°,‎ ‎∴∠EAF=90°‎ 又∵AD⊥BC ‎∴∠E=∠ADB=90°∠F=∠ADC=90°‎ 又∵AE=AD,AF=AD ‎∴AE=AF ‎∴四边形AEGF是正方形 ‎(2)解:设AD=x,则AE=EG=GF=x ‎∵BD=2,DC=3‎ ‎∴BE=2 ,CF=3‎ ‎∴BG=x-2,CG=x-3‎ 在Rt△BGC中,BG2+CG2=BC2‎ ‎∴( x-2)2+(x-3)2=52‎ 化简得,x2-5x-6=0‎ 解得x1=6,x2=-1(舍)‎ 所以AD=x=6‎ ‎10.(2011·福建省福州市一模,17,7)在如图所示的平面直角坐标系中,△AOB的三个顶点坐标分别为O(0,0),A(1,-3),B(3,-2)⑴将△AOB绕原点O逆时针旋转90°,画出旋转后的△OA′B′;⑵求出点B到点B′所走过的路径的长。‎ ‎【答案】⑴略;⑵。‎ ‎11.(2011·北京市101中学一模,25,8)如图,△ABC为直角三角形,∠C = 90°,BC = ‎2cm,∠A = 30°;四边形DEFG为矩形,DE=cm,EF=‎6cm,且点C、B、E、F在同一条直线上,点B与点E重合.‎ 备用图 ‎ ‎ ‎(1)求边AC的长;‎ ‎(2)将Rt△ABC以每秒‎1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移,当点C与点F重合时停止移动,设Rt△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y,请求出重叠部分的面积y (cm2 )与移动时间x (s )的函数关系式(时间不包含起始与终止时刻);‎ ‎(3)在(2)的基础上,当Rt△ABC移动至重叠部分的面积为cm2时,将Rt△ABC沿边AB向上翻折,得到Rt△ABC′,请求出Rt△ABC′ 与矩形DEFG重叠部分的周长.‎ ‎【答案】25.解:(1)∵,,,‎ ‎ ∴,. ………………………………………………………1分 ‎(2)‎ ‎①当时,,‎ ‎ ∴.∴.……………………………………2分 ‎②当时,. ……………………………………3分 ‎③当时,,∴.‎ ‎ 在中,,‎ ‎∴.∴. ‎ ‎∴ ……………………………………4分 ‎(3)‎ ‎① 当,且时,‎ 即,解得(不合题意,舍去).……………5分 ‎∴.‎ ‎    由翻折的性质,得,,.‎ ‎   ∵∥,∴.‎ ‎    ∵,‎ ‎   ∴.‎ ‎∴重叠部分的周长=.‎ ‎……………………………………………………………………………6分 ‎② 解法与①类似,当,且时,‎ 即,解得(不合题意,舍去).……7分 重叠部分的周长=.‎ ‎∴当时,重叠部分的周长为.……8分 ‎12. (2011·江苏省苏州市一模4,29,9)29.(本题9分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=6,等边△DEF从初始位置(点E与点B重合,EF落在BC上,如图所示)在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移,DE、DF分别与AB相交于点M、N.当点F运动到点C时,△DEF终止运动,此时点D恰好落在AB上,设△DEF平移的时间为x.‎ ‎ (1)求△DEF的边长;‎ ‎ (2)求M点、N点在BA上的移动速度;‎ ‎(3)在△DEF开始运动的同时,如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE→EF运动,最终运动到F点.若设△PMN的面积为y,求y与x的函数关系式,写出x的取值范围;并说明当P点在何处时,△PMN的面积最大?‎ ‎【答案】(1)3 (2)M点: N点: ‎ ‎(3) y与x的函数关系式 ‎ x=0,P在O点时,△PMN的面积最大 ‎13. (2011·上海市奉贤区二模,23,12)如图(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.‎ ‎(1)求证:CF=CH;‎ ‎ (图1) (图2)‎ 第23题图 D C B E A H M F E D C B A F H M ‎(2)如图(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】23.解:(1) 证明:在△ACB和△ECD中 ‎ ∵∠ACB=∠ECD=‎ ‎ ∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB, ‎ ‎∴ ∠1=∠2………………………………………………………(2分)‎ ‎ 又∵AC=CE=CB=CD, ‎ ‎ ∴∠A=∠D= ………………………………………………(2分)‎ ‎ ∴△ACB≌△ECD, ∴CF=CH ……………………………(2分)‎ ‎ ‎ ‎(2)答: 四边形ACDM是菱形……………………………………………(1分)‎ ‎ 证明: ∵∠ACB=∠ECD=, ∠BCE=‎ ‎ ∴∠1=, ∠2=‎ ‎ 又∵∠E=∠B=,‎ ‎ ∴∠1=∠E, ∠2=∠B…………………………………………(2分)‎ ‎ ∴AC∥MD, CD∥AM , ‎ ‎ ∴四边形ACDM是平行四边形………………………………(2分)‎ ‎ 又∵AC=CD, ∴四边形ACDM是菱形……………………(2分)‎ ‎14. (2011·江苏省南通市启东中学一模1,28,13)如图17所示,已知点B(l,3)、C(l,0),直线y=x+k经过点B,且与x 轴交于点A,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD.‎ ‎ (1)填空:A点坐标为(_______,_______),D点坐标为(_______,_______).‎ ‎ (2)若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点,求抛物线的解析式.‎ ‎ (3)将(2)中的抛物线沿y轴向上平移,设平移后所得抛物线与y轴交点为E,点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴?若存在,此时抛物线向上平移了几个单位?若不存在,请说明理由.‎ ‎[提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-,顶点坐标是()].‎ ‎【答案】28.(1)A(-2,0) D(-2,3)(2)‎ ‎(3)抛物线向上平移个单位能使直线EM∥x轴 ‎15. (2011·江苏省南通市启东中学一模3,22,7)如图8所示,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.‎ ‎ (1)线段OA1的长是_______,‎ ‎ ∠AOB1的度数是_______.‎ ‎ (2)连接AA1,求证:四边形OAA1B1是平行四边形.‎ ‎(3)求四边形OAA1B1的面积.‎ ‎【答案】22.(1)6,135° (2)四边形OAA1B1是平行四边形 (3)36‎ ‎16. (2011·江苏省南通市启东中学一模3,26,11)26.(本小题11分)如图11所示,在图‎11a至图‎11c ‎ ‎ 中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1=∠2=45°.‎ ‎ (1)如图‎11a,若AO=OB,请写出AO与BD的 数量关系和位置关系.‎ ‎ (2)将图‎11a中的MN绕点O顺时针旋转得到图11b,其中AO=OB.求证:AC=BD,AC⊥‎ ‎ BD.‎ ‎ (3)将图11b中的OB拉长为AO的k倍得到图 ‎11c,求的值.‎ ‎【答案】26.(1)AO=BD,AO⊥BD (2)略 (3)= k ‎17. (2011·江苏省南通市启东中学一模3,28,13)28.(本小题13分)如图‎13a所示,以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,A点的坐标为(3,0),C点的坐标为(0,4).将矩形OABC绕O点逆时针旋转,使B点落在y轴的正半轴上,旋转后的矩形为OA1B‎1C1,BC、A1B1相交于点M.‎ ‎ (1)求点B1的坐标与线段B‎1C的长.‎ ‎ (2)将图‎13a中的矩形OA1B‎1C1沿y轴向上平移,如图13b所示,矩形PA2B‎2C2是平移过程中的某一位置,BC、A2B2相交于点M1,点P运动到C点停止,设点P运动的距离为x,矩形PA2B‎2C2与原矩形OABC重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.‎ ‎ (3)如图‎13c所示,当点P运动到点C时,平移后的矩形为PA3B‎3C3,请你思考如何通过图形变换使矩形P A3B‎3C3与原矩形OABC重合,请简述你的做法.‎ ‎【答案】28.(1)B1的坐标为(0,5)B‎1C=1 ‎ ‎(2)当自变量x的取值范围为≤x≤4时,求得y=(或)(3)部分参考答案:①把矩阵形PA3B‎3C3沿∠BPA3的角平分线所在直线对折, ②把矩形PA3B‎3C3绕C点顺时针旋转,使点A3与点B重合,再沿y轴向下平移4个单位长度. ③把矩形PA3B‎3C3绕C点顺时针旋转,使点A3‎ 与点B重合,再沿BC所在的直线对折, ④把矩形PA3B‎3C3沿y轴向下平移4个单位长度,再绕O点顺时针旋转使点A3与点A重合.(说明:本问只要求整体图形的重合,不必要求图形原对应点的重合.)‎ ‎18. (2011·江苏省南通市启东中学一模4,21,14)21.如图10所示,将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图‎10a;再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE、DF,如图10b,证明:四边形AEDF是菱形.‎ ‎【答案】略 ‎19. (2011·浙江省杭州市一模,9,6)9.(本小题满分6分)‎ 在如图的方格纸中,每个小正方形的边长都为l. ‎ ‎(1)画出将△A1B‎1C1,沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B‎2C2;‎ ‎(2)要使△A2B‎2C2与△CC‎1C2重合,则△A2B‎2C2绕点C2顺时针方向旋转,至少要旋转多少度?(直接 ‎(第19题)‎ 写出答案) ‎ ‎【答案】解:(1)图形正确 ……………2分 结论 ……………1分 ‎(2)至少旋转90.…………3分 ‎20.(2011·广东省一模,20,9)‎ 有一个数学活动,其具体操作过程是: ‎ 第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开 ‎(如图1);‎ 第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).‎ ‎((图1) (图2) ‎ 请解答以下问题:‎ ‎(1)如图2,若延长MN交线段BC于P,△BMP是什么三角形?请证明你的结论.‎ ‎(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP ?‎ ‎【答案】解:(1)△BMP是等边三角形. …………………………………………………1分 ‎ 证明:连结AN ‎ ∵EF垂直平分AB ∴AN = BN 由折叠知 AB = BN ‎ ‎∴AN = AB = BN ∴△ABN为等边三角形 ‎ ‎∴∠ABN =60° ∴∠PBN =30° …………………………3分 又∵∠ABM =∠NBM =30°,∠BNM =∠A =90°‎ ‎ ∴∠BPN =60°‎ ‎∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°‎ ‎∴∠BMP =60°‎ ‎∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°‎ ‎∴△BMP为等边三角形 . …………………………………………………5分 ‎(2)要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP,则BC ≥BP……………………7分 在Rt△BNP中, BN = BA =a,∠PBN =30°‎ ‎∴BP = ∴b≥ ∴a≤b .‎ ‎∴当a≤b时,在矩形上能剪出这样的等边△BMP.……………………9分 y A P B Q C O x ‎21.(2011·广东省一模,22,9)如图,在平面直角坐标系中,四边形为矩形,,,为直线上一动点,将直线绕点逆时针方向旋转交直线于点;‎ ‎(1)当点在线段上运动(不与重合)时,‎ 求证:OA·BQ=AP·BP;‎ ‎(2)在(1)成立的条件下,设点的横坐标为,‎ 线段的长度为,求出关于的函数解析式,‎ 并判断是否存在最小值,若存在,请求出最小值;‎ 若不存在,请说明理由。‎ ‎(3)直线上是否存在点,使为等腰三角形,若存在,‎ 请求出点的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎22.(1)证明:∵四边形OABC为矩形 ‎∴∠OAP=∠QBP=90°,‎ ‎∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP ‎∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ ‎∴‎ ‎∴OA·BQ=AP·BP -----3分 ‎(2) 由(1)知OA·BQ=AP·BP ∴3×BQ=m(4-m) ∴BQ=‎ ‎∴CQ=3-=‎ 即L= (0<m<4)‎ ‎= ‎ ‎∴当m=2 时, L(最小)= ---6分 (图1)‎ ‎(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形,则PO=PQ . ‎ 当点P在线段AB上时,如图 (1) ‎ △ AOP≌△BPQ ∴PB=AO=3 ‎ △ ‎∴AP=4-3=1‎ ‎∴(1,3)‎ 当点P在线段AB的延长线上时,如图(2) ‎ 此时△QBP≌△PAO ‎ ‎∴PB=AO=3 ∴AP=4+3=7 (图2)‎ ‎(图3) ‎ ‎∴(7,3)‎ 当点P在线段AB的反向延长线上时,如图 (3) ‎ 此时∵PB>AB>AO, ‎ ‎∴△PQB不可能与△OPA全等,‎ 即PQ不可能与PO相等,‎ 此时点P不存在.‎ 综上所述,知存在(1,3), (7,3). -----9分 ‎ ‎ ‎22. (2011·河北省石家庄市一模4,18,10)已知,等腰Rt△ABC中,点O是斜边的中点,△MPN是直角三角形,固定△ABC,滑动△MPN,在滑动过程中始终保持点P在AC上,且 ‎ PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为E、F.‎ ‎(1)如图1,当点P与点O重合时,OE、OF的数量和位置关系分别是____ __.‎ ‎(2)当△MPN移动到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由. ‎ ‎(3)如图3,等腰Rt△ABC的腰长为6,点P在AC的延长线上时,Rt△MPN的边 PM ‎ 与AB的延长线交于点E,直线BC与直线NP交于点F,OE交BC于点H,且 EH:HO=2:5,则BE的长是多少? ‎ 图1‎ A B C O M N E F ‎(P)‎ A B C O M N E F P 图2‎ A B C O M N E F P 图3‎ H ‎ ‎ ‎【答案】(1)数量关系:相等,位置关系:垂直. ‎ ‎(2)成立,易证△OEB≌△OFC;‎ ‎ (3).‎ ‎23.(2011·上海市卢湾区模拟1,24,12)已知:抛物线经过点,,且对称轴与轴交于点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)如图,点、分别是轴、对称轴上的点,且四边形是矩形,点是上一点,将沿着直线翻折,点与线段上的点重合,求点的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,点是对称轴上的点,直线交于点,,求点坐标.‎ ‎(第24题图)‎ ‎【答案】 解(1)由题意得…………………………………………(1分)‎ 解,得∴.…………………………………………(3分)‎ ‎(2)∵与重合,,∴,,∴,又,‎ ‎∴,∵,∴∽,………(2分)‎ ‎∴,……………………………………………………(1分)‎ ‎∵四边形是矩形,∴,,‎ 设,则,∴,‎ ‎∴,解,得,∴,∴.…………(1分)‎ ‎(3)过点作,垂足为点.‎ ‎∵,∴,…………………………………(1分)‎ ‎∵,,∴∥,‎ ‎∴,∴,∴.……………………(1分)‎ ‎∴经过点,的直线的表达式为,……………(1分)‎ ‎∴.………………………………………………………………………(1分)‎ ‎24.(2011·上海市普陀区二模,25,14)直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角(且≠ 90°),得到Rt△,‎ ‎(1)如图9,当边经过点B时,求旋转角的度数;‎ ‎(2)在三角板旋转的过程中,边与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥交边于点E,联结BE.‎ ‎①当时,设,,求与之间的函数解析式及定义域;‎ ‎②当时,求的长. ‎ 图9‎ 备用图 备用图 ‎ ‎ ‎25.解:(1)在Rt△中,∵∠A=30°,‎ ‎∴.………………………………………………………(1分)‎ 由旋转可知:,,‎ ‎∴△为等边三角形.……………(2分)‎ ‎∴=.……………(1分)‎ ‎(2)① 当时,点D在AB边上(如图). ‎ ‎ ∵ DE∥,‎ ‎ ∴ ..…………………………………………………(1分)‎ ‎ 由旋转性质可知,CA =,CB=, ∠ACD=∠BCE.‎ ‎∴ ,.…………………………………………………(1分)‎ ‎∴ .‎ ‎∴ △CAD∽△CBE. .………………………………………(1分)‎ ‎∴.‎ ‎∵∠A=30°‎ ‎∴.……………………………………………(1分)‎ ‎∴(0﹤﹤2)…………………………………………(2分)‎ ‎②当时,点D在AB边上 AD=x,,∠DBE=90°.‎ ‎ 此时,.‎ ‎ 当S =时,.‎ ‎ 整理,得 .‎ ‎ 解得 ,即AD=1. …………………………………(2分)‎ 当时,点D在AB的延长线上(如图).‎ ‎ 仍设AD=x,则,∠DBE=90°..‎ ‎ .‎ ‎ 当S =时,.‎ ‎ 整理,得 .‎ ‎ 解得 ,(负值,舍去). ‎ ‎ 即.…………………………………………………(2分)‎ ‎ 综上所述:AD=1或.‎ ‎ ‎
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