新疆2020届高三高考数学（文科）二模试题 Word版含解析

新疆2020届高三高考数学（文科）二模试题 Word版含解析

‎2020年新疆高考数学二模试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集，，，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再求出其补集即可．‎ ‎【详解】解：因为全集，，‎ 所以或 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查了集合的并集、补集的运算，属于基础题．‎ ‎2. 设复数满足，则的虚部为（ ）‎ A. B. 0 C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知求出复数，可得的虚部．‎ ‎【详解】‎ 则的虚部为 故选：C ‎【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的定义，属于基础题．‎ - 25 -‎ ‎3. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）‎ A. -4040 B. -2020 C. 2020 D. 4040‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明是等差数列，由此求得数列的首项和公差，由此求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】设等差数列的前项和为，则，‎ 所以是等差数列．因为，‎ 所以的公差为，又，‎ 所以是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，所以 故选：C ‎【点睛】本题主要考查等差数列前项和公式的理解和运用，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.‎ ‎4. 设M是所在平面上的一点，，D是的中点，，则实数t的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由D是的中点，可得，由于，从而得 - 25 -‎ ‎，所以，可求得t的值.‎ ‎【详解】解：因为D是的中点，所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎5. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）‎ A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于甲乙在同一路口执勤且有一路口需3人，所以甲乙在三人组，第一步给甲乙组选一人，剩余两人为两组，第二步把三组人安排到3个路口即可.‎ ‎【详解】5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，所以不同路口的执勤人数为，‎ 又甲、乙在同一路口，先选一个人和甲乙组成一组有种选法,剩余两人为两组，‎ 然后安排到3个路口共有种不同的安排方法，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理，排列组合的应用，分组问题，属于中档题.‎ ‎6. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和动点P的轨迹形成的图形的周长是（ ）‎ - 25 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据己知条件， 判断P点在与垂直的平面上，同时又在正方体表面，得出P点轨迹，然后求解轨迹长度.‎ ‎【详解】因为动点P满足，‎ 所以动点P的轨迹为过点与直线垂直的截面与正方体的交线，就是图形中（除去点）,如图，‎ 所以点和点的轨迹形成的图形的周长即为的周长，‎ 因为正方体的棱长为1，‎ 所以的周长为，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的位置关系的应用，平面的基本性质，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.‎ ‎7. 下列命题中不正确命题的个数是（ ）‎ - 25 -‎ ‎①已知a，b是实数，则“”是“”的充分而不必要条件；‎ ‎②，使；‎ ‎③，；‎ ‎④若角的终边在第一象限，则的取值集合为.‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可判断出①错误，由当时，可判断出②错误，由当时，，可得到③正确，由可得，然后可判断出④正确.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以“”是“”的必要不充分条件，故①错误 因为当时，，即，故②错误 因为当时，，所以，所以，故③正确 因为角的终边在第一象限，即，所以 - 25 -‎ 当为奇数时，在第三象限，‎ 当为偶数时，在第一象限，‎ 所以的取值集合为，故④正确 综上：不正确命题的个数是2‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查的知识点：指对数函数的性质，三角函数的概念及其在每个象限符号特点，属于基础题.‎ ‎8. 《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？意思是：“现在有一根金棰，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”假设金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列，则从粗端开始的第三尺的重量是（ ）‎ A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 3斤 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 此问题是一个等比数列，设首项为，则，求，根据等比数列的下标和性质计算可得．‎ ‎【详解】解：依题意可得，此问题是一个等比数列，且首项为，则 因 所以，解得或（舍去）‎ 故选：A - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎9. 甲、乙、丙三人中，一人是董事长，一人是总经理，一人是秘书，已知：丙的年龄比秘书的大，甲的年龄和总经理不同；总经理的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ）‎ A. 甲是董事长，乙是秘书，丙是总经理 B. 甲是秘书，乙是总经理，丙是董事长 C. 甲是秘书，乙是董事长，丙是总经理 D. 甲是总经理，乙是秘书，丙是董事长 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由“甲的年龄和总经理不同”和“总经理的年龄比乙小”可以推得丙是总经理，所以丙的年龄比乙小，再由“丙的年龄比秘书的大”，可知乙不是秘书，即可得出结论.‎ ‎【详解】根据题意，甲和乙都不是总经理，所以丙是总经理，‎ 因为丙的年龄比秘书的大，且比乙的年龄小，‎ 所以乙不是秘书，乙是董事长，所以甲是秘书.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查推理和证明，从矛盾中逐渐找到结论是解答此类问题的常用方法，属于基础题.‎ ‎10. 已知函数，若且，则函数取得最大值时x的可能值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得直线是函数的对称轴，可得，，对分奇偶讨论可知，根据余弦函数的最值可得结果.‎ ‎【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，‎ - 25 -‎ 所以，，所以，，‎ 当为奇数时，，‎ 此时，，不满足，‎ 当为偶数时，，‎ 此时，，满足，‎ 故，‎ 当，即，时，取得最大值1,‎ 当时，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的对称轴、最值，考查了分类讨论思想，属于基础题.‎ ‎11. 已知双曲线的左、右焦点分别为,是右支上的一点，与轴交于点 ，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由双曲线的定义和内切圆的切线性质，圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求的值 ‎【详解】设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为 则，‎ 由双曲线的对称性可得：‎ - 25 -‎ 由双曲线的定义可得 解得 又，即有 则离心率 故选 ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率，结合了三角形内切球，由切线长定理和双曲线定义求出的值是本题的关键，综合性较强 ‎12. 已知函数，，函数，若对于任意，总存在，使得成立，则a的值为（ ）‎ A. -1 B. 1 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究的单调性，即可求出的值域，再根据二次函数的性质可得的值域，最后根据两集合的包含关系得到不等式组，解得即可；‎ ‎【详解】解：因为，，‎ 所以 ，可得时，即在区间上单调递减；时，即在区间上单调递增；‎ 又，，，‎ 故 因为，‎ - 25 -‎ 所以在上单调递减；，‎ 所以 又因为对于任意，总存在，使得成立，‎ 所以 所以解得所以 故选：D ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，存在性问题的解法，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 点P是内部任意一点，则的面积小于面积一半的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的面积小于面积一半，则点P在中位线与底边和其他两边所围成的部分，然后求得面积，代入几何概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】如图所示：‎ DE为三角形的中为线，‎ 因为的面积小于面积一半，‎ 所以点P的区域是图中阴影部分，‎ 由面积之比是相似比的平方得：‎ - 25 -‎ 图中阴影部分是整个三角形面积的，‎ 所以的面积小于面积一半的概率为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎14. 在中，，，D为边上的点，且，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求出cosB，可得sinB，在△ABC中利用正弦定理可得AC．‎ ‎【详解】如图，‎ ‎∵，，，‎ 在△ABD中，余弦定理，‎ ‎∵‎ ‎∴．‎ 由正弦定理：，‎ 可得：,‎ 故答案为：．‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题时要注意合理选择正余弦定理，属于中档题．‎ ‎15. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中给出的条件可判断出点S在底面中的射影为三角形的外心，即边AB的中点．然后再结合所给三棱锥的特点得到球心在棱锥的高上，然后即可建立方程求出，然后可得球心到平面的距离.‎ ‎【详解】∵三棱锥中，‎ ‎∴顶点在底面上的射影为的外心，‎ 又是以为斜边的等腰直角三角形，‎ ‎∴点为的中点．‎ ‎∴平面．‎ 如上图，设点O为三棱锥外接球的球心，则的长即为外接球的球心到平面的距离．‎ 设球半径为，则．‎ 由题意得，，‎ 在中，有，即，解得，‎ ‎∴，‎ 即三棱锥的外接球的球心到平面的距离为．‎ - 25 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是几何体外接球的问题，解答本题的关键时是确定三棱锥外接球的球心的位置，属于基础题.‎ ‎16. 已知椭圆的一条弦为，点P的坐标为，且，则弦的中点到直线的距离为_________________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设坐标，根据在椭圆上以及条件解出纵坐标，再根据中点坐标公式得弦的中点纵坐标，最后根据点到直线距离公式得结果.‎ ‎【详解】设,‎ 因为，所以 因为在椭圆上，所以 所以， ‎ 相减得 因此弦的中点纵坐标为，其到直线的距离为 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 设的内角所对的边长分别为且，.‎ ‎（Ⅰ）求和边长a；‎ ‎（Ⅱ）当取最小值时，求的面积.‎ - 25 -‎ ‎【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据条件利用正弦定理化边为角得，再根据平方关系解得，，回代条件得边长a，根据诱导公式得；‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理化简为一元二次函数，再根据二次函数性质求最小值，并确定等号取法，最后根据三角形面积公式得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由正弦定理及与得：‎ ‎，（R是的外接圆半径）‎ 两式相除，得，‎ 设，‎ ‎∵B是的内角，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，，‎ 将代入，得，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理知 ‎∴ ‎ 当且仅当时，取得最小值.‎ - 25 -‎ ‎∴‎ ‎∴最小时的面积为 ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及二次函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.‎ ‎18. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，底面，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）在侧棱上是否存在点E，使与底面所成的角为45°？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在点E满足要求，且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．‎ ‎（Ⅱ）假设侧棱上存在点E，使得直线与底面所成的角为45°，设，过E作交于F，可证平面，连接，可知就是直线与底面所成的角，从而计算可得；‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）在平行四边形中，，，‎ 由余弦定理得 ‎∴，∴，‎ - 25 -‎ 又底面，底面.‎ ‎∴‎ 又，平面，平面，‎ ‎ ∴平面 又平面 ∴平面平面 ‎ ‎（Ⅱ）假设侧棱上存在点E，使得直线与底面所成的角为45°，设，‎ 如图，过E作交于F，‎ ‎∵底面，∴平面平面.‎ 平面平面 ‎∴平面.‎ 连接，可知就是直线与底面所成的角，‎ ‎∴，∴‎ 易知，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴存在点E满足要求，且.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，已知直线与平面所成的角求其它量，属于中档题.‎ ‎19. 目前，我国老年人口比例不断上升，造成日趋严峻的人口老龄化问题.2019年10月12日，北京市老龄办、市老龄协会联合北京师范大学中国公益研究院发布《北京市老龄事业发展报告（2018）》，相关数据有如下图表.规定年龄在15岁至59岁为“劳动年龄”，具备劳动力，60岁及以上年龄为“老年人”，据统计，2018年底北京市每2.4名劳动力抚养1名老年人.‎ - 25 -‎ ‎（Ⅰ）请根据上述图表计算北京市2018年户籍总人口数和北京市2018年的劳动力数；（保留两位小数）‎ ‎（Ⅱ）从2014年起，北京市老龄人口与年份呈线性关系，比照2018年户籍老年人人口年龄构成，预计到2020年年底，北京市90以上老人达到多少人？（精确到1人）‎ ‎（附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.，）‎ ‎【答案】（Ⅰ）1374.41万人837.84万人（Ⅱ）59878人.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由图表数据及题意计算可得；‎ - 25 -‎ ‎（Ⅱ）设2014年是第1年，第x年老年人口为y万人，可得如下表格；依题意设，根据所给数据求出，，求出、，即可得得到回归直线方程，再将代入计算可得；‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）2018年北京市老年人349.1万人，占户籍总人口的25.4%，所以北京市2018年户籍总人口万人； ‎ ‎2018年北京市“老年人”有349.1万人，每2.4名劳动力抚养1名老年人，故北京市2018年的劳动力数为万 ‎（Ⅱ）设2014年第1年，第x年老年人口为y万人，则 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎296.7‎ ‎313.3‎ ‎3292‎ ‎333.3‎ ‎349.1‎ 由于从2014年起，北京市老龄人口与年份呈线性关系，设 则，.‎ 得 ‎∴ ‎ 当时，‎ ‎∴北京市2020年年底的老年人人数约为374.24万人，‎ ‎90以上老人占1.6%，万人≈59878人 答：预计到2020年年底，北京市90以上老人约为59878人.‎ ‎【点睛】本题考查统计图表 - 25 -‎ 应用，最小二乘法求回归直线方程以及利用回归方程预测数据，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于M，抛物线C的焦点为F，且.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点Q是抛物线C上的动点，点D，E在y轴上，圆内切于三角形，求三角形的面积的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据抛物线的定义得到点的坐标，将其代入抛物线方程即可得到结果；‎ ‎（Ⅱ）设，，且，利用直线与圆相切可得，同理可得，所以，是方程的两根.利用根与系数的关系求出，再根据三角形面积公式与基本不等式可得答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为直线与抛物线交于M，且.‎ 根据抛物线的定义可知，，所以，所以，‎ 所以，因为，所以解得，‎ ‎∴抛物线方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设，，且，‎ ‎∴直线的方程为，即，‎ 由直线与圆相切，‎ 得，注意到，‎ 化简得，‎ - 25 -‎ 同理得 所以，是方程的两根，‎ 所以，，‎ 所以，‎ ‎∴（当且仅当时等号成立）‎ 因此三角形的面积的最小值为8.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与圆相切的位置关系、根与系数关系、三角形的面积公式、基本不等式、运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21. 已知函数，，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的导函数的零点个数；‎ ‎（Ⅱ）若时，恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）零点的个数是0.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出，令，得，设，转化为求的零点个数，通过求导求出单调区间，极值最值即可得出结论；‎ ‎（Ⅱ）时，，等价转化为恒成立，设，等价于，利用二次求导得出在上递增，所以只需求出，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵‎ - 25 -‎ ‎∴，其定义域为 ‎ 令，得，即 设，则，‎ ‎∴在上，在上 ‎∴在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数没有零点，‎ ‎∴的导函数零点的个数是0.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎， ‎ 令，则，‎ 令，，‎ ‎，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ ‎∴‎ ‎∴在上递增.‎ ‎∵等价于，即，‎ ‎∴.‎ - 25 -‎ 设，，‎ 则，得，‎ 在时递增，在时递减 ‎∴，∴‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查函数导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点、不等式恒成立等基础知识，构造函数多次求导是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理以及数学计算能力，属于较难题.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲].‎ ‎22. 平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（s为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，，直线与曲线C交于A，B两点.‎ ‎（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点P的极坐标为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的普通方程为：；曲线C的直角坐标方程为. （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由直线的参数方程能求出的普通方程，由曲线的极坐标方程转为，能求出曲线的直角坐标方程；‎ - 25 -‎ ‎（Ⅱ）的角坐标为，直线的参数方程为（为参数），代入曲线的直角坐标方程，结合韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵直线的参数方程为（为参数），‎ ‎∴的普通方程为：；‎ 又∵曲线的极坐标方程为，即，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，‎ 即曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（Ⅱ）点P的极坐标为，其直角坐标为，‎ 直线的参数方程为（ 为参数）‎ 代入曲线的直角坐标方程得，‎ 即，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查直线的普通方程和曲线的直线坐标方程的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，属于中档题.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲].‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若的值域是，若恒成立，求k的最大值.‎ - 25 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再分类列不等式，最后解不等式求结果;‎ ‎（Ⅱ）先根据绝对值三角不等式得的最小值，根据条件可得，再利用1的代换求最小值，即得k的取值范围，进而可得结果.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴ ‎ 当时，化为，不等式的解为；‎ 当时，化为，不等式的解为；‎ 当时，化为，所以不等式的解为；‎ 综上所述，不等式的解集为或（‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ 当且仅当时取“=”号 又的值域是，‎ ‎∵，∵，.∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎（当且仅当，即时取“=”号）‎ ‎∴，当且仅当时取“=”号.‎ 又恒成立，∴‎ ‎∴k的最大值是 - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、根据绝对值三角不等式求最值以及利用基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题.‎ - 25 -‎