【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版1-4基本不等式学案
第四节 基本不等式
突破点一 利用基本不等式求最值
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值为4.( )
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
二、填空题
1．当x>0时，函数f(x)＝的最大值为________．
答案：1
2．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab
的最大值为________．
解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取到等号．
答案：2
3．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋≥2 ＝4，
当且仅当即时取得等号．
答案：4
4．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，所以＋＝＝＋＋≥＋2 ＝.当且仅当a＝2b＝时取等号．
答案：
考法一 通过拼凑法利用基本不等式求最值
利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
[例1] (1)(2019·泉州检测)已知0
2)的最小值为6，则正数m的值为________．
[解析] (1)∵02，m>0，
∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当x＝2＋时取等号，
又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，
∴2＋2＝6，解得m＝4.
[答案] (1)B (2)4
[方法技巧]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
考法二 通过常数代换法利用基本不等式求最值
[例2] (1)(2019·青岛模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是________．
(2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x>0，y>0，x＋2y＝1，有＋≥m恒成立，则m的最大值是________．
[解析] (1)因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
(2)∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴＋＝(x＋2y)·＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当x＝，y＝时取等号，
∴＋的最小值为8，
又＋≥m恒成立，
∴m≤8，即m的最大值为8.
[答案] (1)4 (2)8
[方法技巧]
通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
1.已知x<0，则函数y＝＋x的最大值是________．
解析：∵x<0，∴y＝－≤－4，当且仅当x＝－2时取等号．
答案：－4
2.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为a>0，b>0，＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16.由题意．得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.
答案：[6，＋∞)
突破点二 基本不等式的实际应用问题
[典例] 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为
S cm2.
(1)试用a，b表示S；
(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
[解] (1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0，
∴ab＝28 800.①
设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则3h＋18＝b，∴h＝，
∴透光部分的面积S＝(a－18)×＋(a－12)×＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)．
(2)∵9a＋8b≥2＝2＝2 880，
当且仅当9a＝8b时等号成立，
此时b＝a，代入①式得a＝160，从而b＝180，
即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．
∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大．
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
[针对训练]
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解：由题意知t＝－1(1
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