【数学】2018届一轮复习人教A版 指数与指数函数 学案
第5讲 指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
知 识 梳 理
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念；函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0
0时，y>1；
当x<0时，01；
当x>0时，01)的值域是(0，＋∞).( )
解析 (1)由于＝＝4，故(1)错.
(2)(－1)＝＝1，故(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( )
A.－9 B.7
C.－10 D.9
解析 原式＝(26)－1＝8－1＝7.
答案 B
3.函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
解析 函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当01，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.
答案 D
4.(2015·山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.a1，∴b0，b>0)；
(2)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
解 (1)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.
(2)原式＝＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简求值：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5；
(2).
解 (1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＝a－－－·b＋－＝.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
解析 (1)f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，
又e|x|≥1，∴f(x)的值域为(－∞，0]，
因此排除B、C、D，只有A满足.
(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
答案 (1)A (2)[－1，1]
规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
【训练2】 (1)(2017·福建五校联考)定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( )
(2)方程2x＝2－x的解的个数是________.
解析 (1)因为当x≤0时，2x≤1；当x>0时，2x>1.
则f(x)＝1⊕2x＝图象A满足.
(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.
答案 (1)A (2)1
考点三 指数函数的性质及应用(易错警示)
【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
(2)已知函数f(x)＝.
①若a＝－1，求f(x)的单调区间；
②若f(x)有最大值3，求a的值；
③若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.
(1)解析 A中，
∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B.
答案 B
(2)解 ①当a＝－1时，f(x)＝，
令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x
)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).
②令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
③由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
【训练3】 (1)(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a0时，f(x)为增函数，
log0.53＝－log23，所以log25>|－log23|>0，
所以b＝f(log25)>a＝f(log0.53)>c＝f(2m)＝f(0)，
故b＞a＞c，选B.
(2)当x≥8时，f(x)＝x≤3，
∴x≤27，即8≤x≤27；
当x<8时，f(x)＝2ex－8≤3恒成立，故x<8.
综上，x∈(－∞，27].
答案 (1)B (2)(－∞，27]
[思想方法]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
[易错防范]
1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.
2.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
