高考数学第四章平面向量与复数第2课时平面向量的基本定理及坐标表示更多资料关注微博高中学习资料库

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‎《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章　平面向量与复数第2课时　平面向量的基本定理及坐标表示 考情分析 考点新知 ‎① 了解平面向量的基本定理及其意义.‎ ‎②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ ‎　　能正确用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，以及熟练掌握用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ ‎1. (必修4P75习题2.3第3题改编)若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．‎ 答案：－6‎ 解析：a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.‎ ‎2. (必修4P75习题2.3第2题改编)若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．‎ 答案：(－2，－4)‎ 解析：＝＋＝－＝(－2，－4)．‎ ‎3. (必修4P74例5改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ＝________．‎ 答案：－1‎ 解析：λa＋b＝(λ＋2，2λ)，∵向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，∴(λ＋2)×(－2)＝2λ×1，解得λ＝－1.‎ ‎4. (必修4P75习题2.3第5题改编)已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为________．‎ 答案： 解析：设D(x，y)，则由＝2，‎ 得(4，3)＝2(x，y－2)，得 解得 ‎5. 已知e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝2e1－5e2，＝λe1－e2.若三点A、B、D共线，则λ＝________．‎ 答案：8‎ 解析：∵ A、B、D共线，∴与共线，∴存在实数μ，使＝μ.∵＝－＝(λ－2)e1＋4e2，∴ 3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2，‎ ‎∴∴ ‎1. 平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2．我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．‎ 如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．‎ ‎2. 平面向量的直角坐标运算 ‎(1) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎(2) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a∥bx1y2－x2y1＝0.‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　向量的坐标运算 例1　已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且＝3，＝2，求点M、N及的坐标．‎ 解：∵ A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，‎ ‎∴＝(1，8)，＝(6，3)，∴＝3＝(3，24)，＝2＝(12，6)．设M(x，y)，则有＝(x＋3，y＋4)，‎ ‎∴∴∴ M点的坐标为(0，20)．同理可求得N点的坐标为(9，2)，因此＝(9，－18)．故所求点M、N的坐标分别为(0，20)、(9，2)，的坐标为(9，－18)．‎ 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．‎ 答案：(－3，－5)‎ 解析：由题意，得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．‎ 题型2　向量共线的条件 例2　已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，求m的值．‎ 解：a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1，2)．‎ ‎∵(a＋b)∥c，∴＝，∴ m＝－1.‎ 已知向量a＝(6，2)，b＝(－3，k)，若a∥b，求实数k的值．‎ 解：(解法1)∵ a∥b，‎ ‎∴存在实数λ，使b＝λa，‎ ‎∴(－3，k)＝(6λ，2λ)，∴∴ k＝－1.　‎ ‎(解法2)∵ a∥b，∴＝，∴ k＝－1.‎ 题型3　平面向量基本定理 例3　如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE与CD交于P.设存在λ和μ使＝λ，＝μ，＝a，＝b.‎ ‎(1) 求λ及μ；‎ ‎(2) 用a、b表示；‎ ‎(3) 求△PAC的面积．‎ 解：(1) 由于＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.‎ ＝λ＝λ，＝μ＝μ，‎ ＝＋＝＋，即a＋μ(a＋b)＝λ.‎ 　解得λ＝，μ＝.‎ ‎(2) ＝＋＝－a＋＝－a＋b.‎ ‎(3) 设△ABC、△PAB、△PBC的高分别为h、h1、h2，‎ h1∶h＝||∶||＝μ＝，S△PAB＝S△ABC＝8.‎ h2∶h＝||∶||＝1－λ＝，S△PBC＝S△ABC＝2，‎ ‎∴ S△PAC＝4.‎ 如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．‎ 答案： 解析：由B、H、C三点共线，可令＝x＋(1－x)，又M是AH的中点，所以＝＝x＋(1－x).‎ 又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.‎ ‎1. 在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________．‎ 答案： 解析：由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.‎ 又0＜C＜π，所以C＝.‎ ‎2. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，且‎3a＋4b＋‎5c＝0，则a∶b∶c＝________．‎ 答案：20∶15∶12‎ 解析：∵ ‎3a＋4b＋‎5c＝0，∴‎3a(＋)＋4b＋‎5c＝0，∴(‎3a－‎5c)＋(‎3a－4b)＝0.‎ ‎∵在△ABC中，‎ ‎∴、不共线，∴解得 ‎∴ a∶b∶c＝a∶a∶a＝20∶15∶12.‎ ‎3. (2013·北京文)向量a、b、c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ、μ∈R)，则＝________．‎ 答案：4‎ 解析：以向量a、b的交点为原点作直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb＝λ(－1，1)＋μ(6，2)则＝4.‎ ‎4. 在△ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设＝x，＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．‎ 答案： 解析：因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以＝＝(＋)．又＝，＝，所以＝＋.‎ 因为M、E、N三点共线，所以＋＝1，所以 ‎4x＋y＝(4x＋y)＝ ‎≥ ‎＝.‎ ‎1. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________．‎ 答案：1＋ 解析：(解法1)以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系(如图)．‎ 令AB＝2，则＝(2，0)，＝(0，2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线为F，由已知得DF＝BF＝，则＝(2＋，)．∵＝x＋y，∴(2＋，)＝(2x，2y)．‎ 即有 ‎(解法2)‎ 过D点作DF⊥AB交AB的延长线为F.由已知可求得BF＝DF＝AB，＝＋＝＋，‎ 所以x＝1＋，y＝.‎ ‎2. 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若＝＋λ·(λ∈R)，试问：‎ ‎(1) λ为何值时，点P在第一、三象限角平分线上；‎ ‎(2) λ为何值时，点P在第三象限．‎ 解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．由＝＋λ，得∴点P坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．‎ ‎(1) 若点P在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.‎ ‎(2) 若点P在第三象限内，则5＋5λ<0且4＋7λ<0，‎ ‎∴λ<－1.‎ ‎3. 如图，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．‎ 解：∵＝－＝(－)‎ ‎＝(＋)＝，‎ ＝－＝＋λ，‎ 又∵＝，∴＋λ＝，‎ 即λ＝，∴λ＝.‎ ‎4. 如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点．若＝x，＝y，求＋的值．‎ 解：设＝a，＝b，则＝xa，＝yb，‎ ＝＝(＋)＝(a＋b)．‎ ‎∴＝－＝(a＋b)－xa＝a＋b，‎ ＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.‎ ‎∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.‎ ‎∴a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.‎ ‎∵a与b不共线，∴ 消去λ，得＋＝4.‎ ‎1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．‎ ‎2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．‎ ‎3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．‎ 请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．‎ ‎[备课札记]‎