四川省成都市郫都区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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四川省成都市郫都区2019-2020学年度上期期中考试高二数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．‎ ‎【详解】设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．‎ 直线x+y﹣1=0化为．‎ ‎∴tanα=﹣．‎ ‎∵α∈[0°，180°），‎ ‎∴α=150°．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．‎ ‎2.抛物线的焦点坐标是(　 　)‎ A. (0，1) B. (1，0) C. (，0) D. (0，)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．‎ ‎【详解】由题意可知 ‎ ‎∴焦点坐标为(0，)‎ 故答案为：D ‎【点睛】本题主要考查抛物线的性质．属基础题．‎ ‎3.双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据双曲线的标准方程得出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，然后根据点到直线距离公式即可得出结果。‎ ‎【详解】由双曲线的标准方程可知，，，焦点在轴上，‎ 所以，，焦点坐标为，，‎ 所以双曲线的渐近线方程为，‎ 取焦点坐标，渐近线方程，即，‎ 焦点到渐近线的距离，故选C。‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，考查点到直线距离公式，考查对双曲线标准方程的理解，体现了基础性，是简单题。‎ ‎4.下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“3能被2整除”是真命题 B. 命题“， ”的否定是“， ”‎ C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题 D. 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是假命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于A：“3能被2整除”显然不正确；对于B：由于命题“，”的否定是，故B不正确；对于C：47是7的倍数或49是7的倍数是复合命题或的形式，其中：47是7的倍数为假，：49是7的倍数为真，其中 为真，故命题：47是7的倍数或49是7的倍数为真，故C正确；对于D：命题“若，都是偶数，则是偶数”为真命题，由原命题与逆否命题的等价性得，其逆否命题也为真命题，故D不正确；故选C.‎ ‎5.已知是不同的两个平面，直线，直线，条件与没有公共点，条件，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵与没有公共点时，与所在的平面可能平行，也可能相交（交点不在直线上） ∴命题：与没有公共点⇒命题：∥，为假命题 又∵∥时，与平行或异面，即与没有公共点 ∴命题：∥⇒命题：与没有公共点，为真命题； 故是的必要不充分条件 故选B ‎6.直线与平行，则的值等于( )‎ A. -1或3 B. 1或3 C. -3 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：直线可化为，斜率为在y轴上截距两直线平行，则直线斜率存在，即直线可化为斜率为在y 轴上截距为则由得即，解得故选D．‎ 考点：直线方程与直线平行间的关系．‎ ‎7.设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ）‎ ‎①//，则； ②；‎ ‎③； ④．‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎②可以使任意角，③可以是任意角。所以选D ‎8.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为(　　)‎ A. B. C. 或－ D. 和－‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．‎ ‎【详解】如图，直线过定点（0，1），‎ ‎∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，‎ ‎∴k=±．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．‎ ‎9.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） ‎ A. 1 B. 3 C. 6 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.‎ ‎【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，‎ 直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，‎ 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.‎ 四棱锥体积是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．‎ ‎10.已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（ ）‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，圆，即 其圆心为，半径，‎ 圆，其圆心为，半径，‎ 则有，两圆外离，有4条公切线；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎11.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A.‎ 考点：抛物线定义.‎ ‎12.已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．‎ ‎【详解】椭圆的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），‎ ‎∵G为△F1QF2重心，∴G点坐标为 G（，），‎ ‎∵，则∥，∴I的纵坐标为，‎ 又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，‎ ‎∴=•|F1F2|•|y0|，‎ 又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，‎ 内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，‎ ‎∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，‎ 即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，‎ ‎∴该椭圆的离心率，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.已知x、y满足不等式组，则z=3x+y的最大值为______．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时，求出取得最大值．‎ ‎【详解】作出x、y满足不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的三角形及其内部，‎ 其中，设，将直线进行平移，‎ 当经过点时，目标函数达到最大值，‎ ‎．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．‎ ‎14.体积为的球的内接正方体的棱长为_____________。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 可知球半径，而球内接正方体的体对角线长等于球直径。设正方体的棱长为，则有，解得 ‎15.椭圆+=1与双曲线-=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求得|PF1|和|PF2|的值，根据|F1F2|=4，利用余弦定理可得cos∠F1PF2的值．‎ ‎【详解】由题意设焦点F2（2，0）、F1（-2，0），∴3+b2=4，求得b2=1，‎ 双曲线-=1，即双曲线-y2=1．‎ 不妨设点P在第一象限，‎ 再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，‎ 可得|PF1|=+，|PF2|=-，且|F1F2|=4．‎ 再由余弦定理可得cos∠F1PF2=‎ 即=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆、双曲线的定义和性质及其标准方程，余弦定理的应用，属于中档题．‎ ‎16.抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴‎ ‎，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知：方程有两个不等的正根； ：方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）.；（2）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据双曲线的性质可得，当焦点在轴上时，即；（2）分别求出，真时的的范围，再根据真假或假真得到的范围.‎ 试题解析：（1）由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，‎ 所以，解得，即.‎ ‎（2）若方程有两个不等的正根，‎ 则解得，即.‎ 因或为真，所以至少有一个为真.‎ 又且为假，所以至少有一个为假.‎ 因此，两命题应一真一假，当为真，为假时，，解得；‎ 当为假，为真时，，解得.‎ 综上，或.‎ 考点：复合命题的真假.‎ ‎18.在中，分别是内角对边，且2cos A·cos C(tan Atan C－1)＝1.‎ ‎(1)求的大小；‎ ‎(2)若，，求的面积．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)由题意结合三角函数的性质计算可得，则；‎ ‎(2)由题意结合余弦定理可得，则△ABC面积.‎ 详解：(1)由已知得2cos Acos C＝1，‎ 所以2(sin Asin C－cos Acos C)＝1，即cos(A＋C)＝－，‎ 所以cos B ＝，又0

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