【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）排列与组合学案

【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）排列与组合学案

第2讲　排列与组合 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　排列与排列数 ‎1．排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ ‎2．排列数 ‎ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.‎ 考点2　组合与组合数 ‎1．组合 ‎ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．‎ ‎2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.‎ 考点3　排列数、组合数的公式及性质 ‎ [必会结论]‎ 解决排列组合问题“四项基本原则”‎ ‎(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．‎ ‎(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．‎ ‎(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．‎ ‎(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)‎ ‎(2)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)‎ ‎(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)‎ ‎(4)A＝nA.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．[2018·广东汕头模拟]某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)‎ A．4种 B．10种 ‎ C．18种 D．20种 答案　B 解析　分两类：第一类是取出1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有C＝4种；第二类是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C＝6种，故赠送方法共有4＋6＝10种．‎ ‎3．[2018·辽宁模拟]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A．144 B．120 ‎ C．72 D．24‎ 答案　D 解析　使用“插空法”．第一步，3个人先坐一排，有A种，第二步，由于3个人必须隔开，因此在1号与2号之间摆放一把椅子，2号与3号之间摆放一把椅子，剩余的一把椅子可以选择三个人的左右共4个空档摆放，有C种，故共有AC＝24种．‎ ‎4．[2017·全国卷Ⅱ]安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)‎ A．12种 B．18种 ‎ C．24种 D．36种 答案　D 解析　由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．故选D.‎ ‎5．[2016·四川高考]用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B．48 ‎ C．60 D．72‎ 答案　D 解析　由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72.故选D.‎ ‎6．7位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有________种．‎ 答案　20‎ 解析　最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C种，则剩下三位同学的位置已定．故共有C＝20种．‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　排列问题 例1　[2015·四川高考]用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有(　　)‎ A．144个 B．120个 ‎ C．96个 D．72个 答案　B 解析　当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有CA＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有CA＝72个，所以比40000大的偶数共有48＋72＝120个．选B.‎ ‎　用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的自然数，可组成多少个不同的四位偶数？‎ 解　由题意知四位数个位数上必须是偶数；同时暗含了首位不能是0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”‎ ‎，应优先处理；另一方面，0既是偶数，又不能排在首位，属“特殊元素”应重点对待．‎ 解法一：(直接法)0在个位的四位偶数有A个；0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在首位，应有AAA个．综上所述，共有A＋AAA＝156个．‎ 解法二：(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A·A，其中第一位是0的有AA个，故适合题意的数有AA－AA＝156个．‎ ‎　用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的自然数，有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？‎ 解　不考虑0在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A个，2,3去排四个空档，有A个，即有AA个；而0在首位时，有AA个，即有AA－AA＝252个含有2,3，但它们不相邻的五位数．‎ ‎　用数字0,1,2,3,4,5组成无重复的自然数，有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？‎ 解　在六个位置先排0,4,5，不考虑0在首位，则有A个，去掉0在首位，即有A－A个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A－A＝100个六位数．‎ 触类旁通 排列应用问题分类与解法 ‎(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．‎ ‎(2)‎ 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．‎ ‎【变式训练1】　(1)[2017·天津高考]用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)‎ 答案　1080‎ 解析　①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960.‎ ‎②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120.‎ 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080(个)．‎ ‎(2)6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有多少种不同站法？‎ 解　解法一：(位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：‎ 第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A种站法；‎ 第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A种站法．‎ 由分步乘法计数原理可知，共有AA＝480(种)不同的站法．‎ 解法二：(元素分析法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步： ‎ 第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；‎ 第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A种站法．‎ 由分步乘法计数原理可知，共有AA＝480(种)不同的站法．‎ 解法三：(间接法)6人无限制条件排队有A种站法，甲站在最左边或最右边时6人排队有2A种站法，因此符合条件的不同站法共有A－2A＝480(种)．‎ 考向　组合问题 例　2　(1)[2018·太原模拟]某中学秋季开设10门课程供学生选修，其中A，B，C 3门课程由于上课时间相同，至多选1门．学校规定，每位同学选修3门，则每位同学不同的选修方案种数是(　　)‎ A．120 B．98 ‎ C．63 D．56‎ 答案　B 解析　由题知可分两种情况．第一种：A，B，C 3门课程都不选，有C＝35种方案．第二种：A，B，C 3门课程中选一门，剩余7门课程中选2门，有CC＝63种方案．故共有35＋63＝98种方案．选B.‎ ‎(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为________．‎ 答案　86‎ 解析　由题意，可分三类考虑：‎ 第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝31；‎ 第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝34；‎ 第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C＋CC＋C＝21.‎ 所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.‎ 触类旁通 组合问题常有以下两类题型变化 ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”‎ ‎，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ ‎【变式训练2】　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为(　　)‎ A．232 B．252 ‎ C．472 D．484‎ 答案　C 解析　完成这件事可分为两类，第1类3张卡片颜色各不相同共有CCCC＝256种；第2类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有CCCC＝216种，由分类加法计数原理得共有472种．故选C.‎ ‎(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为________．‎ 答案　86‎ 解析　由题意，可分三类考虑：‎ 第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝31；‎ 第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝34；‎ 第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C＋CC＋C＝21.‎ 所以入选的方法种数共有31＋34＋21＝86.‎ 考向　分组分配问题 命题角度1　整体均分问题 例　3　国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．‎ 答案　90‎ 解析　先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种分派方法．‎ 命题角度2　部分均分问题 例4　[2018·安徽月考]今年，我校迎来了安徽师范大学数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有(　　)‎ A．180种 B．120种 ‎ C．90种 D．60种 答案　C 解析　将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人．另两组都是2人，有＝15(种)方法．再将3组分到3个班，共有15·A＝90(种)不同的分配方案．故选C.‎ 命题角度3　不等分问题 例　5　若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．‎ 答案　360‎ 解析　将6名教师分组，分三步完成：‎ 第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．‎ 根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法．‎ 再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，‎ 故共有60×6＝360种不同的分法．‎ 触类旁通 解决分组分配问题的策略 ‎(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．‎ ‎(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．‎ ‎(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．‎ 核心规律 排列、组合问题的求解方法与技巧 ‎(1)特殊元素优先安排．‎ ‎(2)合理分类与准确分步．‎ ‎(3)排列、组合混合问题要先选后排．‎ ‎(4)相邻问题捆绑处理．‎ ‎(5)不相邻问题插空处理．‎ ‎(6)定序问题排除法处理．‎ ‎(7)分排问题直排处理．‎ ‎(8)“小集团”排列问题先整体后局部．‎ ‎(9)构造模型．‎ ‎(10)正难则反，等价条件．‎ 满分策略 求解排列与组合问题的三个注意点 ‎(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．‎ ‎(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．‎ ‎(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题.‎ 板块三　启智培优·破译高考 易错警示系列14——排列中重复计数或遗漏计数 ‎[2018·贵阳模拟]3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有多少种排法？‎ 错因分析　本题易出现的错误是：(1)分步完成，先让3名男生站成一排，有A种排法；再让3名女生插入3名男生形成的4个空当中，有A种插法．‎ ‎(2)对于不相邻问题，用插空法是对的，但(1)只能保证女生不相邻，并不能保证先排的男生不相邻，如排法：女男女男男女．‎ 解　第1步，3名男生站成一排，有A种排法；‎ 第2步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3个空当或后3个空当中，有2A种插法．‎ 由分步乘法计数原理可知，共有2A·A＝72种排法．‎ 答题启示　排列问题重点在弄清“按怎样的顺序”，结合问题情境找出排序的依据，在求出答案后要还原实际情境，看是否每一种情况都考虑进去了，切忌重复计数或遗漏计数.‎ 跟踪训练 ‎(1)[2018·延安模拟]某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．‎ 答案　24‎ 解析　甲、乙排在一起，用捆绑法，先排甲、乙、戊，有2A种排法，丙、丁不排在一起，用插空法，有A种排法，所以共有2A·A＝24种．‎ ‎(2)将6名大学生志愿者分到三个单位，甲单位1名，乙单位2名，丙单位3名，则不同的分配方法有________种．‎ 答案　60‎ 解析　第1步，去甲单位有C种方法；第2步，去乙单位有C种方法；第3步，去丙单位有C种方法，则不同的分配方法CCC＝60.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·衡阳质检]4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(　　)‎ A．12种 B．24种 ‎ C．30种 D．36种 答案　B 解析　第一步选出2人选修课程甲有C＝6种方法；第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有2×2种选法，根据分步乘法计数原理，有6×4＝24种选法．‎ ‎2．若某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有(　　)‎ A．84种 B．98种 ‎ C．112种 D．140种 答案　D 解析　由题意分析不同的邀请方法有：CC＋C＝112＋28＝140(种)．‎ ‎3．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为 ‎(　　)‎ A．CCC B．C＋C＋C C．AAA D．C 答案　B 解析　依题意，高一比赛有C场，高二比赛有C场，高三比赛有C场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C＋C＋C.选B.‎ ‎4．[2018·东北四市联考]甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法(　　)‎ A．10 B．16 ‎ C．20 D．24‎ 答案　C 解析　一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20(种)坐法．‎ ‎5．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为(　　)‎ A．144 B．72 ‎ C．36 D．48‎ 答案　C 解析　分两步完成：第1步将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有种；第2步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A种．所以满足条件的分配方案有×A＝36(种)．‎ ‎6．[2018·大连模拟]在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有(　　)‎ A．60个 B．36个 ‎ C．24个 D．18个 答案　A 解析　依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是偶数，有A种方法；(2)3个数字中有2个是奇数，1个是偶数，有CCA种方法，故共有A＋CCA＝60种方法．故选A.‎ ‎7．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为(　　)‎ A．18 B．24 ‎ C．30 D．36‎ 答案　C 解析　排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A＝6种，所以共有CA－A＝30种分法．故选C.‎ ‎8．[2018·沧州模拟]有5个大学保送名额，计划分到3个班级，每班至少一个名额，则不同的分法种数为________种．‎ 答案　6‎ 解析　一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3份，每份至少1个(定行数)．将5个名额排成一列产生6个空，中间有4个空(定空位)．即只需在中间4个空中插入2个隔板，隔板不同的方法共有C＝6种．(插隔板)‎ ‎9．[2018·湖南衡阳八中期末]有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种(用数字作答)．‎ 答案　50‎ 解析　因为每项活动最多安排4人，所以可以有三种安排方法，即(4,2)，(3,3)，(2,4)．当安排4,2时，需要选出4个人参加第一个项目，共有C＝15种；当安排3,3时，共有C＝20种；当安排2,4时，共有C＝15种，所以共有15＋20＋15＝50种．‎ ‎10．[2018·沈阳模拟]现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________．‎ 答案　12‎ 解析　若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·福建厦门]将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(　　)‎ A．240种 B．180种 ‎ C．150种 D．540种 答案　C 解析　5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,2,1时，共有CCA＝90种方法，当5名学生分成3,1,1时，共有CA＝60种方法，根据分类计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．‎ ‎2．甲、乙等5人参加国庆阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)‎ A．12种 B．24种 ‎ C．48种 D．120种 答案　B 解析　甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AA－CAA＝24(种)．‎ ‎3．在小语种提前招生考试中，某学校获得5‎ 个推荐名额，其中俄语2个，日语2个，西班牙语1个，日语和俄语都要求有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5名推荐对象，则不同的推荐方法共有________．‎ 答案　24种 解析　每个语种各推荐1名男生，共有AA＝12种，3名男生都不参加西班牙语考试，共有CCA＝12种，故不同的推荐方法共有24种．‎ ‎4．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．‎ ‎(1)共有多少种放法？‎ ‎(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？‎ ‎(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？‎ ‎(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？‎ 解　(1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256种．‎ ‎(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法CCCA＝144种．‎ ‎(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．‎ ‎(4)先从四个盒子中任取两个有C种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C·C种放法；第二类：有C种放法．因此共有CC＋C＝14种．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C·14＝84种．‎ ‎5．[2018·武汉调研]有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：‎ ‎(1)选其中5人排成一排；‎ ‎(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；‎ ‎(3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；‎ ‎(4)全体排成一排，女生必须站在一起；‎ ‎(5)全体排成一排，男生互不相邻；‎ ‎(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．‎ 解　本题考查了有限制条件的排列问题．‎ ‎(1)从7个人中选5个人来排列，有A＝2520种．‎ ‎(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A种方法，余下4人排在后排，有A种方法，故共有A·A＝5040种．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．‎ ‎(3)(优先法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种．‎ ‎(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，也有A种方法，故共有A×A＝576种．‎ ‎(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，∴应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1440种．‎ ‎(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有A种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有A种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有A种方法，故共有A×A×A＝720种．‎