高一数学 函数及表示综合复习

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函数及其表示法 1、函数的定义： 设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法 则 f，都有唯一确定的数 y 与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数。 记作 y=f(x),x∈A 其中 x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 A）叫做这个函数 的定义域。 所有函数值构成的集合｛y︱y=f(x),x∈A｝叫做这个函数的值域。 2、函数的三要素：定义域，值域，对应法则 3、相同函数：如果两个函数的定义域相同， 并且对应法则完全一致，则两个函数相同。 （2）一一映射：如果映射 f是集合A到集合B的映射，并且对 于集合B种的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象， 则这两个集合的元素之间存在一一对应关系，那么这个映射叫 做从集合A到集合B上的一一映射。 注：映射是一种特殊的对应，即“一对一”或“多对一”但 不能是“一对多”。 5、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。 求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零的零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它 的定义域是由各基本函数定义域的交集。 6、复合函数定义域：已知f(x)的定义域为x∈[a,b] ,其复合函数 f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x) ≤b 解出。 8、在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不 同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。 1、映射是一种特殊对应关系，只有一对一、多对一的 对应才是映射，函数是一种特殊的映射。 2、判断两个函数是否同一，紧扣函数概念两个要素是 解题关键。 3、用适当的方法求解函数的解析式。 （1）对于映射概念的理解，函数的定义的掌握。 （2）求解函数的解析式。 例1、下列各对函数中，相同的是（ ）       xxgxxfA  ,2       xxgxxfB lg2,lg 2           1lg1lg, 1 1lg     xxxg x xxfC       v vvg u uufD       1 1, 1 1       xxgxxfA ln2,ln 2          xxgaaaxfB x a  ,1,0log        1,1(1,1 2  xxxgxxfC       3 3),1,0(log xxgaaxfD xa a  下列各组函数中，表示相同函数的事（ ）D     的值分别为（） 和的一个映射，则到是从映射 、已知集合例 nmNMxyxf NnmnnnNmM 13: ,,,3,,7,4,,3,2,12 24    （A）2，5 （B）5，2 （C）3，6 （D）6，3 B 设” f：A→B”是从A到B的一个映射， 其中   RyxyxBA  ,,    xyyxyxf ,,:  ,则A中元素（1，-2）的象是 ， B中的元 素（1，-2）的原象是 。 (-1,-2) (-1, 2)或（2，-1） 例 3、求下列函数的定义域： ① 12 1 2 2    xx xy ② 0 2 )23( )12lg( 2)( x x xxxf     ]2, 2 3() 2 3,1()1, 2 1(  x y     1 11 11 11求函数 的定义域 例 4. 已知函数  f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： (1) 2( ) 23f x  ； (2) 2 1 2 ( ) 1 log (2 ) f xy x    。 1、 若函数 )(xfy  的定义域为[1,1]，求函数 ) 4 1(  xfy ) 4 1(  xf 的定义域。 2、已知 2( )f x 的定义域为[ 1,1] ，则 (2 )xf 的定义域为 待定系数法 例 6、已知 f（ x x   1 1 ）= 2 2 1 1 x x   ，则 f（x）= 换元法 例 7、已知 3 3 1 1( )f x x x x    ，求 ( )f x ； 配凑法 例 8、已知 ( )f x 满足 12 ( ) ( ) 3f x f x x   ，求 ( )f x 。 解： 12 ( ) ( ) 3f x f x x   ①， 把①中的 x 换成 1 x ， 得 1 32 ( ) ( )f f x x x   ②， ① 2 ②得 33 ( ) 6f x x x   ， ∴ 1( ) 2f x x x   。 方程组法          .05 , )10(5 )10(2 ,9 的值和求 、已知例 ff nnff nn nfNn                      2 2 )21(2 )1(2 2 xx xx xx xf已知函数                      4 71 fff求     .,32 的值求若 aaf  例 10、设 f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 x≤－1 时，y=f(x)的 图像是经过点(－2，0)，斜率为 1 的射线，又在 y=f(x)的图像中 有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写 出函数 f(x)的表达式 f(x)=         1,2 11,2 1,1 2 xx xx xx 已知两个函数 )(xf 和 )(xg 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定 义如下表. 则 g(f(1))、g(f(2))、g(f(3))的值依次为 x 1 2 3 f（x） 2 3 1 g(x) 1 3 2 1．了解映射的概念, 理解函数概念及实质，能用函数思想分 析解决问题； 2.掌握基本初等函数的定义域,能由所给函数式求定义域； 3．理解函数的三种表示方法，能根据函数所具有的性质、 关系求出函数的解析式，掌握一些函数解析式的变形和运用。