【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版2-9函数模型及其应用学案
§2.9 函数模型及其应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c
(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )
题组二 教材改编
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
答案 D
解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件．
答案 18
解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 ．
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(00)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
答案 D
解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D
解析 根据图象所给数据，逐个验证选项．
根据图象知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
题型二 已知函数模型的实际问题
例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 分钟．
答案 3.75
解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得
消去c化简得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
(2)某公司招聘员工，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数．若面试对象人数为60，则该公司的拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．70
答案 C
解析 当1≤x≤10时，y≤40；当x>100时，y>150.因此所求人数x∈(10,100]，由2x＋10＝60，得x＝25，故选C.
思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
跟踪训练1 (1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为 元．
答案 4.24
解析 ∵m＝6.5，∴[m]＝6，
则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
(2)西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝－(x>0)，则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．
答案 4
解析 ∵＋≥2＝4(x>0)，
当且仅当x＝4时，min＝4，
∴当x＝4时，Lmax＝－4＝(万元)．
题型三 构建函数模型的实际问题
命题点1 构造一次函数、二次函数模型
例2 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg.
答案 19
解析 由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.
(2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝
答案 B
解析 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
命题点2 构造指数函数、对数函数模型
例3 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年降低的百分比为x(00)型函数
例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为 ．
答案 5
解析 根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润＝12－，
∵x＋≥10，当且仅当x＝5时等号成立．
∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.
(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝
米．
答案 2
解析 由题意可得BC＝－(2≤x<6)，
∴y＝＋≥2 ＝6.
当且仅当＝(2≤x<6)，即x＝2时等号成立．
命题点4 构造分段函数模型
例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润．
解 (1)当040时，
W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以W＝
(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2 ＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以W取最大值5 760.
综合①②，当年产量为32万只时，W取最大值6 104万美元．
思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤 次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈
0.301 0，lg 3≈0.477 1)
答案 8
解析 设至少过滤n次才能达到市场要求，
则2%n≤0.1%，即n≤，
所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，该门面经营的天数是 ．
答案 300
解析 由题意，总利润
y＝
当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，ymax＝25 000；
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000.
综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．
用数学模型求解实际问题
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征．
例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过 小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)
答案 4
解析 设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．
(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70
套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为
元．
答案 3 300
解析 设利润为y元，租金定为3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤502，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．
素养提升 例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题．
1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
答案 A
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2018年5月1日
12
35 000
2018年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
答案 B
解析 5月1日到5月15日，汽车行驶了35 600－35 000＝600(千米)，实际耗油48
升，所以该车每100千米平均耗油量为＝8(升)．
3．(2018·大同模拟)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )
A．85元 B．90元 C．95元 D．100元
答案 C
解析 设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)[400－(x－90)·20]＝－20·[(x－95)2－225]，∴当x＝95时，y最大．
4．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
答案 D
解析 设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有
＝(p＋0.25)%，
解得x＝320.故该公司的年收入为320万元．
5．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2017年 B．2018年 C．2019年 D．2020年
答案 D
解析 设从2016年起，过了n(n∈N＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥≈＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2 016＝2 020.故选D.
6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
答案 C
解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润
y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.12＋0.1×10.52＋32.
因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
答案 2ln 2 1 024
解析 当t＝0.5时，y＝2，∴2＝，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
8.(2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克．
答案
解析 前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b(k≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得
解得k＝，b＝，所以y＝x＋，
则当x＝6时，y＝.
9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 m.
答案 20
解析 设内接矩形另一边长为y m，
则由相似三角形性质可得＝，
解得y＝40－x，
所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x
＝－(x－20)2＋400(00，
则(150－x)＋
≥2 ＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，
即x＝140时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.
所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．
13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/时时，总费用最小．
答案 40
解析 设每小时的总费用为y元，
则y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，
解得k＝0.06，
所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为 小时，故总费用为W＝y＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋≥2＝48，
当且仅当0.6v＝，即v＝40时等号成立．
故总费用最小时轮船的速度为40海里/时．
14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0
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