【数学】2019届一轮复习人教A版 函数的图象 学案
第7讲 函数的图象
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
考点2 利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
2.伸缩变换
y＝f(x) ＝f(ωx)；
y＝f(x)y＝Af(x)．
3．对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
4．翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.
[必会结论]
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( )
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( )
(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)
的图象关于直线x＝1对称．( )
(4)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．[课本改编]函数y＝log2|x|的图象大致是( )
答案 C
解析 函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称．应选C.
3．[2018·山东师大附中月考]函数y＝2x－x2的图象大致是( )
答案 A
解析 易探索知x＝2和4是函数的两个零点，故排除B，C；再结合y＝2x与y＝x2的变化趋势，可知当x→－∞时，0<2x<1，而x2→＋∞，因此2x－x2→－∞，故排除D.选A.
4．[2018·北京海淀一模]下列函数f(x)图象中，满足f>f(3)>f(2)的只可能是( )
答案 D
解析 因为f>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，不选A，B.又C中，f
f(0)，即f0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图(3)实线部分．
(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图(4)所示．
考向 识图与辨图
命题角度1 知式选图
例 2 [2017·全国卷Ⅲ]函数y＝1＋x＋的部分图象大致为( )
答案 D
解析 当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B.
当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除选项A，C.
故选D.
命题角度2 知图选式
例 3 [2018·泉州五中质检]已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)
的解析式可以是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－
答案 A
解析 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C；若函数图象为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D.故选A.
命题角度3 知图选图
例 4 已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
答案 B
解析 y＝f(x)y＝f(－x)
y＝f(2－x)
y＝－f(2－x)．选B.
触类旁通
函数图象的识辨
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
考向 函数图象的应用
例 5 [2015·北京高考]如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－11时，y＝x＋1，当－10，所以B错误；指数型函数远比幂函数上升的快，故当x→＋∞时，y→0，所以D错误．故选C.
4．[2018·温州模拟]函数y＝－2sinx图象大致为( )
答案 C
解析 当x＝0时，y＝0，由此排除选项A；当x＝2π时，y＝π<4，由此排除B；当x→＋∞时，y>0，由此排除选项D.故应选C.
5．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是( )
答案 B
解析 ∵lg a＋lg b＝0，∴a＝，又g(x)＝－logbx＝logx＝logax(x>0)，∴函数f(x)与g(x)的单调性相同．故选B.
6．[2018·黑龙江模拟]函数f(x)＝－x的图象大致为( )
答案 B
解析 因为f(－x)＝＋x＝－(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)＝－x是奇函数，排除C，D.又f(1)＝1－1＝0，f＝－＝－＝>0，排除A.选B.
7．[2018·安徽淮南模拟]二次函数y＝ax2＋bx及指数函数y＝x的图象只可能是( )
答案 A
解析 根据指数函数y＝x可知a，b同号且不相等，∴－<0，可排除B，D；
由选项C中的图象可知，a－b>0，a<0，∴>1，
∴指数函数y＝x单调递增，故C不正确，排除C.选A.
8．[2018·洛阳统考]已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0
有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a>1.
9．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
10．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是
________．
答案 5
解析 方程2f2(x)－3f(x)
＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
[B级 知能提升]
1．[2018·山西忻州模拟]已知函数f(x)＝
则函数y＝f(1－x)的大致图象是( )
答案 D
解析 y＝f(1－x)＝故选D.
2．[2018·启东模拟]函数f(x)＝的图象大致为( )
答案 D
解析 f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，则图象关于原点对称，故排除A，B；当x＝时，f＝＝>0，排除C.故选D.
3. 下列四个函数中，图象如图所示的只能是( )
A．y＝x＋lg x
B．y＝x－lg x
C．y＝－x＋lg x
D．y＝－x－lg x
答案 B
解析 特殊值法：当x＝1时，由图象知y>0，而C，D中y<0，故排除C，D；又当x＝时，由图象知y>0，而A中y＝＋lg ＝－<0，排除A.故选B.
4．[2018·铜陵模拟]已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
解 (1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当00)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，
应有m≤0，
即所求m的取值范围为(－∞，0]．
5．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
解 f(x)＝
作出图象如图所示．
(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，[2,3)．
(2)原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象(如图)，
则当直线y＝x＋a过点(1,0)时，a＝－1；
当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，
由得x2－3x＋a＋3＝0.
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－.
由图象知当a∈时，方程至少有三个不等实根．
