2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷（理科）

2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷（理科）

‎2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足，则=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．8‎ ‎2．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为（　　）‎ A．6里 B．12里 C．24里 D．48里 ‎3．（5分）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（　　）‎ A．（4，5） B．（﹣3，﹣2）∪（4，5） C．（4，5] D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]‎ ‎4．（5分）已知等差数列{an}中，a5+a7=sinxdx，则a4+a6+a8=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎6．（5分）m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）‎ A．m⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β C．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β ‎7．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定 ‎8．（5分）已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（　　）‎ A．直线x= B．直线x= C．直线x= D．直线x=‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎11．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．0≤a＜1 D．a≥1‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知向量满足，且，则的夹角是　 　．‎ ‎15．（5分）已知tanα=2，则的值等于　 　．‎ ‎16．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn，若an+1+（﹣1）nan=n，则S40=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.‎ ‎17．（12分）已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．‎ ‎（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=2，Sn+1=4an+2．‎ ‎（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎21．（12分）已知f（x）=ln（a+x）﹣x．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当x＞0时，恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）求证：当时，．‎ ‎　‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=，l与C交于A，B两点，求|AB|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+3|．‎ ‎（1）求不等式f（x）≤3的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）＜a2﹣6a解集非空，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足，则=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．8‎ ‎【解答】解：由，得，‎ 则，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为（　　）‎ A．6里 B．12里 C．24里 D．48里 ‎【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，‎ 由题意知{an}是公比的等比数列，‎ 由S6=378，得=378，‎ 解得：a1=192，‎ ‎∴=12（里）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜‎ ‎0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（　　）‎ A．（4，5） B．（﹣3，﹣2）∪（4，5） C．（4，5] D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，‎ ‎∴不等式可能为（x﹣1）（x﹣a）＜0，‎ 当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，‎ 则4＜a≤5，‎ 当a＜1时，得a＜x＜1，‎ 则﹣3≤a＜﹣2，‎ 故a的取值范围是[﹣3，﹣2）∪（4，5]．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知等差数列{an}中，a5+a7=sinxdx，则a4+a6+a8=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，a5+a7=sinxdx=（﹣cosx）|=﹣（﹣1﹣1）=2，‎ 可得a4+a8=2a6=a5+a7=2，‎ 则a4+a6+a8=3，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，‎ 其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，‎ 且PA=AB=1，‎ ‎∴几何体的最长棱为PC==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）‎ A．m⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β C．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β ‎【解答】解：由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；‎ 若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行与可能相交，故错误；‎ m∥α，n∥α，则m、n可能平行、相交或异面，故错误；‎ α∥γ，β∥γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α∥β，正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定 ‎【解答】解：如果甲说的是真话，则乙丙都是真话，与在这三名同学中，只有一人说的是假话，相矛盾，‎ 如果甲说的是假话，乙丙说的是真话，那乙就是满分，‎ 故选：B ‎　‎ ‎8．（5分）已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y=1，‎ 则1，化为：xy≤，当且仅当2x=y=时取等号．‎ ‎∴xy的最大值为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（　　）‎ A．直线x= B．直线x= C．直线x= D．直线x=‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），‎ ‎∴向右平移个单位而得到g（x）=2sin[2（x﹣）﹣]=﹣2cos2x，‎ ‎∴令2x=kπ，k∈Z，可解得x=，k∈Z，k=1时，可得x=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，∴f′（x）=2lnx+2﹣，‎ ‎∴f′（1）=1‎ ‎∵函数f（x）是偶函数，‎ ‎∴f′（﹣1）=﹣1，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：令，，，‎ 如图所示：则，‎ 又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，‎ 易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，‎ 所以的取值范围为[﹣1，+1]．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．0≤a＜1 D．a≥1‎ ‎【解答】解：∵函数，‎ 若f（f（a））=2f（a），‎ 则f（a）≥1，‎ 当a＜1时，由3a﹣1≥1得：≤a＜1，‎ 当a≥1时，2a≥1恒成立，‎ 综上可得：，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为　﹣4　．‎ ‎【解答】解：作表示的平面区域如下，‎ z=x﹣2y可化为y=﹣，‎ 故当过点（0，2）时，﹣有最大值，z=x﹣2y有最小值﹣4；‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知向量满足，且，则的夹角是　‎ ‎　．‎ ‎【解答】解：向量满足，且，‎ 可得﹣=﹣6，‎ ‎﹣4=﹣6，‎ 可得cos=﹣．‎ 则的夹角是：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知tanα=2，则的值等于　　．‎ ‎【解答】解：=cos（2α++π）=﹣sin（2α）=﹣cos2α 而cos2α=且tanα=2‎ 则原式=﹣2cos2α===‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn，若an+1+（﹣1）nan=n，则S40=　420　．‎ ‎【解答】解：由an+1+（﹣1）nan=n，‎ ‎∴当n=2k时，有a2k+1+a2k=2k，①‎ 当n=2k﹣1时，有a2k﹣a2k﹣1=2k﹣1，②‎ 当n=2k+1时，有a2k+2﹣a2k+1=2k+1，③‎ ‎①﹣②得：a2k+1+a2k﹣1=1，‎ ‎①+③得：a2k+2+a2k=4k+1，‎ ‎∴a2k﹣1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2．‎ ‎∴S40=4（1+3+…+19）+20=+20=420．‎ 故答案为：420．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.‎ ‎17．（12分）已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．‎ ‎【解答】解：由已知得到函数f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1‎ ‎=cos2x+sin2x ‎=2cos（2x﹣）；‎ 所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x﹣）∈[2kπ﹣π，2kπ]，即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；‎ ‎（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A﹣）=2，所以A=，又B=，边AB=3，‎ 所以由正弦定理得，即，解得BC=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得 解得，‎ ‎∴an=4n+2；‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．‎ ‎（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PC⊥DC，‎ ‎∵DC⊥AC，PC∩AC=C，‎ ‎∴DC⊥平面PAC；‎ ‎（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，‎ ‎∴AB⊥AC，‎ ‎∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴PC⊥AB，‎ ‎∵PC∩AC=C，‎ ‎∴AB⊥平面PAC，‎ ‎∵AB⊂平面PAB，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．‎ ‎∵点E为AB的中点，‎ ‎∴EF∥PA，‎ ‎∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，‎ ‎∴PA∥平面CEF．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=2，Sn+1=4an+2．‎ ‎（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【解答】（1）证明：由已知得a1+a2=4a1+2，解得a2=8，b1=a2﹣2a1=4．‎ 又有an+2=Sn+2﹣Sn+1=4an+1+2﹣（4an+2）=4an+1﹣4an，‎ 所以an+2﹣2an+1=2（an+1﹣2an），即bn+1=2bn，‎ 因此数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列．‎ ‎（2）解：由（1）得等比数列{bn}中b1=4，q=2，‎ 所以，，‎ 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，，‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知f（x）=ln（a+x）﹣x．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当x＞0时，恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）求证：当时，．‎ ‎【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣1=，‎ 令f′（x）=0，解得：x=1﹣a，‎ ‎∴x∈（﹣a，1﹣a）时，f′（x）＞0，x∈（1﹣a，+∞）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（﹣a，1﹣a）递增，在（1﹣a，+∞）递减；‎ ‎（2）令g（x）=f（x）+=ln（x+a）+﹣x=ln（x+a）﹣＞0，‎ 故x+a＞，即a＞﹣x恒成立，‎ 令t=∈（0，1），则a＞et+恒成立，‎ 令φ（t）=et+，则φ′（t）=﹣，‎ 下面证明φ′（t）＜0，‎ ‎∵e﹣t＞﹣t+1，且t∈（0，1）时，（t﹣1）2﹣（﹣t+1）=t2﹣t＜0，‎ ‎∴e﹣t＞﹣t+1＞（t﹣1）2＞0，‎ ‎∴φ′（t）=et﹣＜0，∴φ（t）递减，‎ ‎∴a≥φ（0）=1，即a的范围是[1，+∞）；‎ ‎（3）由（2）可知：a=1，x＞0时，ln（x+1）＞，‎ 当x∈（0，）时，令m（x）=x﹣sinx，则m′（x）=1﹣cosx＞0，‎ ‎∴m（x）递增，∴m（x）＞0，即x＞sinx＞0，‎ 又n（x）=在（0，+∞）递增，‎ 故＞，‎ 故．‎ ‎　‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=‎ ‎，l与C交于A，B两点，求|AB|的值．‎ ‎【解答】解：（1）圆C的参数方程为（α为参数），普通方程为x2+（y+6）2=25，‎ 极坐标方程为ρ2+12ρsinθ+11=0；‎ ‎（2）设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=﹣12sinα0，ρ1ρ2=11‎ ‎∵tanα0=，∴sin2α0=，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==6．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+3|．‎ ‎（1）求不等式f（x）≤3的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）＜a2﹣6a解集非空，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得|x﹣2|﹣|x+3|≤3，‎ 当x≤﹣3时2﹣x+x+3≤3解集为空集；‎ 当﹣3＜x＜2时2﹣x﹣（x+3）≤3解得﹣2＜x＜2；‎ 当x≥2时x﹣2﹣（x+3）≤3解得x≥2；‎ 故所求不等式的解集为[﹣2，+∞）．‎ ‎（2）因为|f（x）|=||x﹣2|﹣|x+3||≤|x﹣2﹣x﹣3|=5，‎ 所以﹣5≤f（x）≤5，即f（x）的最小值为﹣5，‎ 要不等式f（x）＜a2﹣6a解集非空，需f（x）min＜a2﹣6a，‎ 从而a2﹣6a+5＞0，解得a＜1或a＞5，‎ 所以a的取值范围为（﹣∞，1）∪（5，+∞）．‎ ‎　‎