【数学】2018届一轮复习人教A版考点48正态分布学案

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习人教A版考点48正态分布学案

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点48 正态分布 ‎【考纲要求】‎ 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ ‎【命题规律】‎ 在选择题、填空题考查较多,属容易题,分值5分,在解答题中结合其他知识考查属中等题.‎ ‎【典型高考试题变式】‎ 正态分布 例1.【2017课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 ‎16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.‎ ‎(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,‎ 求及的数学期望;‎ ‎(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.‎ ‎(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;‎ ‎(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:‎ ‎9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04‎ ‎10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95‎ 经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估 计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).‎ 附:若随机变量服从正态分布,则,‎ ‎,.‎ ‎【分析】(1)根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974,则零件的尺寸 在之外的概率为0.0026,而,进而可以求出的数学期望.(2)(i)判断监控生产过程的方法的合理性,重点是考虑一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小,若小即合理;(ii)根据题设条件算出的估计值和的估计值,剔除之外的数据9.22,算出剩下数据的平均数,即为的估计值,剔除之外的数据9.22,剩下数据的样本方差,即为的估计值.‎ ‎【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026,故.‎ 因此.‎ 的数学期望为.‎ ‎(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026,一天内抽取 的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.‎ ‎【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念,反映随机变量取值的平均水平.求解离散 型随机变量的分布列、数学期望时,首先要分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的所有取值,然后根据概率类型选择公式,计算每个变量取每个值的概率,列出对应的分布列,最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布,之前考过一次,尤其是正态分布的原则.‎ ‎【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【变式2】【广西南宁2017届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响,随机记录了该店1月份中5天的日销售量(单位:千克)与该地当日最低气温(单位: )的数据,如下表:‎ x ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ y ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎(1)求出与的回归方程;‎ ‎(2)判断与之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为,请用所求回归方程预测该店当日的销售量;学 ! ‎ ‎(3)设该地1月份的日最低气温~,其中近似为样本平均数, 近似为样本方差,求.‎ 附:①回归方程中, , .‎ ‎②, ,若~,则, .‎ ‎【解析】(1)因为令,, ,[ :学 ]‎ 所以, ‎ 所以 ‎ 所以(或者: ) ‎ 所以所求的回归方程是 ‎ ‎ ‎ ‎【数学思想】‎ ①数形结合思想.‎ ②转化与化归思想.‎ ‎【温馨提示】‎ ①曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相同.‎ ‎②P(X≤a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1.【2017云南大理统测】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考,已知数学考试成绩(试卷满分为150分).统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( )‎ A.80 B.100 C.120 D.200‎ ‎【答案】D ‎【解析】正态曲线图象的对称轴为,根据其对称性可知, 成绩不低于分的学生人数约为人,故选D.‎ ‎2.【2017年第三次全国大联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布,则114分以上的成绩所占的百分比为(附:,‎ ‎)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由已知得,故 ‎,故选D.‎ ‎3.【2017山西晋城市模拟考试】已知展开式中的常数项为,且,则( )‎ ‎(附:若随机变量,‎ 则,‎ ‎)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎4.设随机变量δ服从正态分布N(3,7),若p(δ>a+2)=p(δ<a-2),则a=( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知若p(δ>a+2)=p(δ<a-2),则 ‎5.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(l≤X≤5)=0.682 6,则( )‎ ‎ A.0.158 8 B.0.158 7 C.0.158 6 D.0.158 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意,故选B.‎ ‎6.【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布,且,则的值为( )‎ A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0. 46‎ ‎【答案】D ‎【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知所以,则,所以,应选D.‎ 7. ‎【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布,若,则函数没有极值点的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由 无相异实根得 ,因此函数没有极值点的概率是,选C.‎ 8. 设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=e (x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是(  )‎ A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10‎ ‎【答案】B ‎【解析】f(x)=e,所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2,故选B.‎ 7. 已知三个正态分布密度函数φi(x)=e-(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则(  )‎ A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3‎ C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分散,曲线越矮胖;σ越小,总体分布越集中,曲线越瘦高,则σ1=σ2<σ3.实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),则=> ,即σ1=σ2<σ3.故选D.‎ 8. ‎(2017·石家庄模拟)设X~N(1,σ2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X≥3)=0.022 8,那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为(  )‎ 附:(随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4).‎ A.12 076 B.13 174 C.14 056 D.7 539‎ ‎【答案】B ‎ ‎11.【2017年原创押题预测卷02(山东卷)】已知,且,则若,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,故由可得,解得,‎ 故.由可得,‎ 由正态曲线的对称性可知,‎ 所以.‎ ‎12.【2017四川资阳模拟】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ²),且P(0≤X≤2)=0.3,则P(X>4)=_____.‎ ‎【答案】0.2;‎ ‎【解析】由题意结合正态分布的性质可知: ,‎ 则.‎ ‎13.【2017湖北省黄石市调研】已知随机变量服从正态分布,且,则___________.‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】‎ ‎14.【2017广东省汕头市模拟】为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表: ‎ 直径/‎ ‎58‎ ‎59‎ ‎61‎ ‎62‎ ‎63‎ ‎64‎ ‎65‎ ‎66‎ ‎67‎ ‎68‎ ‎69‎ ‎70‎ ‎71‎ ‎73‎ 合计 件数 ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎33‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎100‎ 经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.‎ ‎(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);①;‎ ‎②;③.‎ 评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级. ‎ ‎(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.‎ ‎(ⅰ)从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望;‎ ‎(ⅱ)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望.‎ ‎(2)由图表知道:直径小于或等于的零件有2件,大于的零件有4件共计6件 ‎(i)从设备的生产流水线上任取一件,取到次品的概率为,‎ 依题意,故.‎ ‎(ii)从100件样品中任意抽取2件,次品数的可能取值为0,1,2‎ 故.‎ ‎15.(2014·新课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:学 ‎ ‎(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);‎ ‎(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ 近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.‎ ‎①利用该正态分布,求P(187.8
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