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文档介绍
2019届二轮复习解题技巧第3讲 圆锥曲线的综合问题课件(62张)(全国通用)
第 3 讲 圆锥曲线的综合问题 专题 五 解析 几何 板块三 专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,考查范围、最值问题,定点、定值问题,探索性问题 . 2 . 试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法,对计算能力也有较高要求,难度较大 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 热点一 范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题 ( 以所求式子或参数为函数值 ) ,或者利用式子的几何意义求解 . 例 1 已知 N 为圆 C 1 : ( x + 2) 2 + y 2 = 24 上一动点,圆心 C 1 关于 y 轴的对称点为 C 2 ,点 M , P 分别是线段 C 1 N , C 2 N 上的点, 且 (1) 求点 M 的轨迹方程; 解答 解 连接 MC 2 , 所以 P 为 C 2 N 的中点, 所以点 M 在 C 2 N 的垂直平分线上, 所以 | MN | = | MC 2 | , 所以点 M 在以 C 1 , C 2 为焦点的椭圆上, (2) 直线 l : y = kx + m 与点 M 的轨迹 Γ 只有一个公共点 P ,且点 P 在第二象限,过坐标原点 O 且与 l 垂直的直线 l ′ 与圆 x 2 + y 2 = 8 相交于 A , B 两点,求 △ PAB 面积的取值范围 . 解答 (3 k 2 + 1) x 2 + 6 kmx + 3 m 2 - 6 = 0 , 因为直线 l : y = kx + m 与椭圆 Γ 相切于点 P , 所以 Δ = (6 km ) 2 - 4(3 k 2 + 1) (3 m 2 - 6) = 12(6 k 2 + 2 - m 2 ) = 0 ,即 m 2 = 6 k 2 + 2 , 因为点 P 在第二象限,所以 k >0 , m >0 , 设直线 l ′ 与 l 垂直交于点 Q , 则 | PQ | 是点 P 到直线 l ′ 的距离, 解决范围问题的常用方法 (1) 数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后,利用数形结合法求解 . (2) 构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解 . (3) 构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域 . 思维升华 解答 由 Δ = 128 - 32(8 - a 2 ) = 0 ,得 a 2 = 4 , 解答 解 根据已知,得 M (0 , m ) , 设 A ( x 1 , kx 1 + m ) , B ( x 2 , kx 2 + m ) , 且 Δ = 4 m 2 k 2 - 4( k 2 + 4)( m 2 - 4)>0 , 即 k 2 - m 2 + 4>0 , ∴ 3( x 1 + x 2 ) 2 + 4 x 1 x 2 = 0 , 即 m 2 k 2 + m 2 - k 2 - 4 = 0 , 当 m 2 = 1 时, m 2 k 2 + m 2 - k 2 - 4 = 0 不成立, ∵ k 2 - m 2 + 4>0 , ∴ 1< m 2 <4 ,解得- 2< m < - 1 或 1< m <2 , 综上所述,实数 m 的取值范围为 ( - 2 ,- 1) ∪ (1,2). 热点二 定点、定值问题 1. 由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ,则直线必过定点 ( x 0 , y 0 ) ;若得到了直线方程的斜截式: y = kx + m ,则直线必过定点 (0 , m ). 2. 解析几何中的定值问题是指某些几何量 ( 线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等 ) 的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值 . 例 2 (2018· 北京 ) 已知抛物线 C : y 2 = 2 px 经过点 P (1,2) ,过点 Q (0,1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A , B ,且直线 PA 交 y 轴于 M ,直线 PB 交 y 轴于 N . (1) 求直线 l 的斜率的取值范围; 解答 解 因为抛物线 y 2 = 2 px 过点 (1,2) , 所以 2 p = 4 ,即 p = 2. 故抛物线 C 的方程为 y 2 = 4 x . 由题意知,直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 y = kx + 1( k ≠ 0) , 依题意知 Δ = (2 k - 4) 2 - 4 × k 2 × 1>0 , 解得 k <0 或 0< k <1 . 又 PA , PB 与 y 轴相交,故直线 l 不过点 (1 ,- 2). 从而 k ≠ - 3. 所以直线 l 的斜率的取值范围是 ( - ∞ ,- 3) ∪ ( - 3,0) ∪ (0,1). 证明 证明 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , (1) 动直线过定点问题的两大类型及解法 ① 动直线 l 过定点问题,解法:设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y = kx + t ,由题设条件将 t 用 k 表示为 t = mk ,得 y = k ( x + m ) ,故动直线过定点 ( - m, 0). ② 动曲线 C 过定点问题,解法:引入参变量建立曲线 C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点 . 思维升华 (2) 求解定值问题的两大途径 ② 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值 . 跟踪演练 2 (2018· 荆州质检 ) 已知倾斜角 为 的 直线经过抛物线 Γ : y 2 = 2 px ( p >0) 的焦点 F ,与抛物线 Γ 相交于 A , B 两点,且 | AB | = 8. (1) 求抛物线 Γ 的方程; 解答 令 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 则 x 1 + x 2 = 3 p , 由抛物线的定义得 | AB | = x 1 + x 2 + p = 4 p = 8 , ∴ p = 2. ∴ 抛物线的方程为 y 2 = 4 x . (2) 过点 P (12,8) 的两条直线 l 1 , l 2 分别交抛物线 Γ 于点 C , D 和 E , F ,线段 CD 和 EF 的中点分别为 M , N . 如果直线 l 1 与 l 2 的倾斜角互余,求证:直线 MN 经过一定点 . 证明 证明 设直线 l 1 , l 2 的倾斜角分别为 α , β , 直线 l 1 的斜率为 k ,则 k = tan α . ∵ 直线 l 1 与 l 2 的倾斜角互余, ∴ 直线 CD 的方程为 y - 8 = k ( x - 12) , 即 y = k ( x - 12) + 8. 设 C ( x C , y C ) , D ( x D , y D ) , 可得点 N 的坐标为 (12 + 2 k 2 - 8 k, 2 k ) , 显然当 x = 10 时, y = 0 , 故直线 MN 经过定点 (10 , 0). 1. 解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型,解决这类问题通常采用 “ 肯定顺推法 ” ,将不确定性问题明确化 . 其步骤为:假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在;否则,元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . 2. 反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 . 热点三 探索性问题 解答 设椭圆的焦点 F 1 (0 , c ) , 由 F 1 到直线 4 x + 3 y + 12 = 0 的距离为 3 , 又 a 2 = b 2 + c 2 ,求得 a 2 = 4 , b 2 = 3. 解答 设直线 AB 的方程为 y = kx + 1( k ≠ 0) , 消去 y 并整理得 (4 k 2 + 1) x 2 + 8 kx - 12 = 0 , Δ = (8 k ) 2 + 4(4 k 2 + 1) × 12 = 256 k 2 + 48>0. 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 假设存在点 P (0 , t ) 满足条件, 所以 PM 平分 ∠ APB . 所以直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补, 所以 k PA + k PB = 0. 即 x 2 ( y 1 - t ) + x 1 ( y 2 - t ) = 0 . (*) 将 y 1 = kx 1 + 1 , y 2 = kx 2 + 1 代入 (*) 式, 整理得 2 kx 1 x 2 + (1 - t )( x 1 + x 2 ) = 0 , 整理得 3 k + k (1 - t ) = 0 ,即 k (4 - t ) = 0 , 因为 k ≠ 0 ,所以 t = 4. 解决探索性问题的注意事项 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在 . (1) 当条件和结论不唯一时,要分类讨论 . (2) 当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件 . (3) 当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径 . 思维升华 跟踪演练 3 (2018· 山东、湖北部分重点中学模拟 ) 已知长轴长为 4 的 椭 圆 ( a > b >0 ) 过点 P , 点 F 是椭圆的右焦点 . ( 1) 求椭圆方程; 解答 解 ∵ 2 a = 4 , ∴ a = 2 , (2) 在 x 轴上是否存在定点 D ,使得过 D 的直线 l 交椭圆于 A , B 两点 . 设点 E 为点 B 关于 x 轴的对称点,且 A , F , E 三点共线?若存在,求 D 点坐标;若不存在,说明理由 . 解答 解 存在定点 D 满足条件 . 设 D ( t, 0) ,直线 l 方程为 x = my + t ( m ≠ 0) , 消去 x ,得 (3 m 2 + 4) y 2 + 6 mt · y + 3 t 2 - 12 = 0 , 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 E ( x 2 ,- y 2 ) , 由 A , F , E 三点共线,可得 ( x 2 - 1) y 1 + ( x 1 - 1) y 2 = 0 , 即 2 my 1 y 2 + ( t - 1)( y 1 + y 2 ) = 0 , 解得 t = 4 , 此时由 Δ >0 得 m 2 >4. ∴ 存在定点 D (4,0) 满足条件,且 m 满足 m 2 >4. 真题押题精练 1.(2017· 全国 Ⅰ 改编 ) 已知 F 为抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l 1 , l 2 ,直线 l 1 与 C 交于 A , B 两点,直线 l 2 与 C 交于 D , E 两点,则 | AB | + | DE | 的最小值为 ________. 真题体验 解析 16 答案 解析 因为 F 为 y 2 = 4 x 的焦点, 所以 F (1,0). 由题意知,直线 l 1 , l 2 的斜率均存在且不为 0 ,设 l 1 的斜率为 k , 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 同理可得 | DE | = 4(1 + k 2 ). 即 k = ±1 时,取得等号 . 解答 解答 解 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 由题意知, Δ >0 , 押题预测 押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题,体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查 . 关注知识交汇,突出综合应用是高考的特色 . 解答 押题依据 已知椭圆 C 1 : ( a >0 ) 与抛物线 C 2 : y 2 = 2 ax 相交于 A , B 两点,且两曲线的焦点 F 重合 . (1) 求 C 1 , C 2 的方程; 解 因为 C 1 , C 2 的焦点重合, 所以 a 2 = 4. 又 a >0 ,所以 a = 2. 抛物线 C 2 的方程为 y 2 = 4 x . (2) 若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M , Q 两点,与抛物线分别交于 P , N 两点,是否存在斜率为 k ( k ≠ 0) 的直线 l , 使得 = 2 ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由 . 解答 当 l ⊥ x 轴时, | MQ | = 3 , | PN | = 4 ,不符合题意, ∴ 直线 l 的斜率存在, ∴ 可设直线 l 的方程为 y = k ( x - 1)( k ≠ 0) , P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) , M ( x 3 , y 3 ) , N ( x 4 , y 4 ).查看更多